《线性系统理论》主要介绍基于状态空间模型的线性定常系统理论.《线性系统理论》系统介绍了输入输出规范型理论,并用之解决了极点配置、不变因子配置、解耦控制、*小相位系统的输出反馈镇定、输出跟踪和状态跟踪等问题;详细讨论了函数能控能观性、强能控能观性、强能检测性和强能稳性等与不变零点有关的系统量,并将之与系统结构分解和设计问题相联系,深刻地揭示了线性系统的结构特点;充分利用二次*优性能指标的特殊性,完整介绍了基于配方法的二次*优控制理论;全面讨论了观测器设计问题,在统一的框架下介绍了全维/降维/函数观测器、对偶观测器-控制器、未知输入观测器以及干扰观测器的设计理论.《线性系统理论》既有基础知识,也有先进理论,还有部分*新研究进展,特别是包含了作者的部分研究成果.

第1章 状态空间模型与解
　　用**控制理论来进行控制系统设计的思路十分成熟.不过在设计过程中只采取根轨迹和Bode图等手段，既要保证稳定性，又要兼顾控制性能，往往难以获得满意的参数.一旦得不到合适的参数，通常要从头开始作图，费时费力.另外，当系统的阶数很高时，画图并不是很方便，精确程度也难以满足实际需求.所幸现代控制理论提供了一种不错的方案.现代控制理论基于状态空间模型，在线性情形下可借助于强大的矩阵分析工具，不仅在理论上更为完善，还更便于利用现代的计算机辅助进行控制系统的分析和设计.
　　本书主要讨论现代控制理论中*为基础的一个分支:线性系统理论，特别是基于时域方法的线性系统理论.作为线性系统理论的基础，本章介绍线性系统(linearsystem)的状态空间模型以及状态空间模型的解.严格来讲，这部分内容属于微分方程和矩阵分析的结合部分，专属于控制理论的概念较少，部分内容如矩阵指数早在控制理论诞生之前就是熟知的结论了.
　　1.1 状态空间模型
　　1.1.1 动态系统
　　“系统”一词是英文“system”的音译，意指若干部分相互联系和相互作用，形成的具有某些功能的整体，如人体的神经系统.许多大系统是由若干小系统组成的，即由系统组成的系统，例如人体是由运动系统、神经系统、循环系统、呼吸系统和消化系统等组成的复杂系统.系统一般根据其功能命名.本书主要讨论控制系统.
　　控制系统一般是由传感器、控制器、执行器和被控对象等组成的系统.由于传感器、执行器和被控对象一样，都是物理实体，一般将它们三者合并称为广义被控对象.这样一来，一个控制系统仅包含广义被控对象和控制器两部分.由于广义被控对象一般都是物理实体，在不引起混淆的前提下可称之为物理系统或系统.控制指采用自动控制装置对物理系统的关键性参数进行自动调节，使它们在受到外界扰动的影响而偏离正常状态时，能够自动调节回期望的数值范围内.
　　在控制理论中，一般把系统看成这样一个装置:当对该装置施加一定的输入信号时，该装置产生一定的输出信号.如图1.1(a)所示，其中，ui(t)(i=1，2， ，m)表示输入信号，yi(t)(i=1，2， ，p)表示输出信号.显然，输出信号和输入信号有关，或者说输出信号是输入信号的函数.根据这种函数关系，可以把系统分为静态系统和动态系统.如果当前的输入立即决定当前的输出，即系统的响应具有瞬时性，则称为静态系统;反之，如果系统的输出受过去的输入信号的影响，则称为动态系统.静态系统是无记忆的，而动态系统是有记忆的.
　　例1.1.1 一个电阻R可以看成一个系统，其输入为通过它的电流i，其输出为两端的电压v.那么v=Ri.显然，系统的输入i立即决定输出v，所以该系统是一个静态系统.一个电容C也可以看成是一个系统，其输入为通过它的电流i，其输出为它两端的电压v.那么，这里t0是初始时刻.由此可见该系统的输出v和历史的输入i有关，所以该系统是一个动态系统.
　　图1.1 带有输入、输出的系统和带有输入、输出、状态的系统
　　本书主要考虑动态系统.若非特别指出，下文的系统均指动态系统.
　　1.1.2 状态和状态空间模型
　　为了定量描述系统，需对系统建立数学模型.在不考虑建模误差的前提下，可以认为数学模型就是其描述的系统本身.当运用数学方法对系统进行分析和设计时，系统“状态”的概念至关重要.我们说“系统状态为x”的直观含义是，通过了解x在某一个时刻的值，可以知道系统在未来时刻的所有行为.下面给出比较正式的定义.为了简便，除非必要，时间t的函数均省略(t).
　　定义1.1.1 考虑n个变量，即时间的函数x1，x2， ，xn.如果动态系统的p个输出变量y1，y2， ，yp完全由x1(t0)，x2(t0)， ，xn(t0)以及m个输入量u1(s)，u2(s)， ，um(s)在时间区间[t0，t]内的历史决定，则称x1，x2， ，xn为系统的状态变量(state variable).此外，分别称为系统的输入向量、状态向量和输出向量(有时直接省略“向量”而称为输入、状态和输出)，其中，正整数m、n和p分别称为系统的输入维数、状态或系统维数和输出维数.
　　为了理解状态的概念，考虑工程中广泛使用的描述物理系统的高阶微分方程模型
　　(1.1)
　　在实际工程问题中，系统的输出或者感兴趣的变量往往是z，z(1)， ，z(n.1)和u的静态函数，即
　　根据定义1.1.1，如果x是该系统的状态，对任意时刻t.t0，由状态x的初值x(t0)和输入u(s)(s2[t0，t])能确定该系统在任何时刻t的输出y(t).设
　　由微分方程理论可知，对任意t.t0，如果z(i.1)(t0)(i=1，2， ，n)和u(s)(s2[t0，t])已知，在比较宽泛的条件下，例如h满足Lipschitz条件，就可以确定该系统在t时刻的解z(t)以及其导数z(k)(t)(k=1，2， ，n-1)(该问题在数学上称为Cauchy问题)，进而可以确定输出y(t).因此，z(i.1)(i=1，2， ，n)可以作为系统(1.1)的状态变量，向量可作为系统(1.1)的状态向量.当然，上述x并不是系统(1.1)状态向量的唯一选择.
　　有了状态向量，可以将系统(1.1)转化成一阶微分方程组.由系统(1.1)和xi的定义可知
　　写成向量的形式为
　　(1.2)
　　其中，和是适当定义的向量值函数.这是一个一阶微分方程组.根据上面的讨论，对任意t.t0，状态x在初始时刻t0的值x(t0)和输入u(s)(s2[t0，t])决定了时刻t的状态x(t)，从而也决定了时刻t的输出y(t).
　　如果f和g是一般的非线性函数，则系统(1.2)称为非线性系统.如果函数f或g显含t，则系统(1.2)称为非线性时变(time-varying)系统;如果f和g都不显含t，则系统(1.2)称为非线性定常(time-invariant)系统.通常称系统(1.2)的第1个方程为状态方程，第2个方程为输出方程.由系统(1.2)可见，输入u引起系统状态x的变化，而状态x和输入u*终影响系统的输出y.如图1.1(b)所示.
　　说明1.1.1 在很多实际问题中，如果一个形如式(1.1)的高阶微分方程不足以完整描述系统，可以采用多个高阶微分方程形成高阶微分方程组
　　(1.3)
　　进行描述.相应的输出方程为
　　此时状态向量可以取成
　　(1.4)
　　其中，n=n1+n2+ +nr.需要指出的是，如果微分方程(1.1)含有u的导数项，即
　　则一般情况下将之转化为形如式(1.2)的一阶微分方程组是一个比较复杂的问题.线性情形将在后面进行讨论(见1.3节).
　　显然，对于一个给定的系统，取不同的初始状态x(t0)和不同的输入u(s)(s2[t0，t])就会得到不同的状态x(t).系统所有可能的状态构成的集合称为该系统的状态空间.因此，n维系统的状态空间是Rn的子空间.
　　例1.1.2 考虑如图1.2(a)所示的小车倒立摆系统.倒立摆的支点装在一个沿水平方向运动的小车上，小车与电机相连，电机在小车上施加水平方向的力F.该系统的受力分析如图1.2(b)所示.设匀质摆杆的质量为m，长度为2l，摆杆与垂直方向的夹角为θ(以顺时针方向为正)，支点的位移为w.因此摆杆质心的坐标为(w+lsin(θ)，lcos(θ)).设摆杆受到的水平方向的作用力为H，竖直方向的反作用力为V.忽略一切摩擦力.根据Newton运动定律有
　　(1.5)
　　(1.6)
　　其中，g是重力加速度.
　　图1.2 小车倒立摆系统及其受力分析
　　对摆杆的质心应用动量矩定理可得
　　(1.7)
　　其中，J=m(2l)2/12是摆杆对质心的转动惯量.
　　根据Newton运动定律，小车在水平方向上满足的方程为
　　(1.8)
　　其中，M是小车的质量.
　　联立式(1.5)式(1.8)消去V和H可得
　　以w和θ为未知变量解之可得
　　(1.9)
　　该方程具有式(1.3)的形式.根据式(1.4)可取状态向量.设F为输入u，位移w为输出y.那么非线性系统(1.9)可以写成系统(1.2)的形式，其中
　　这是一个非线性时不变系统.
　　1.1.3 线性系统模型
　　在非线性系统(1.2)中，如果f(x，u，t)和g(x，u，t)都是u的仿射函数，即
　　则称该系统为仿射非线性系统.如果进一步限定f(x，u，t)和g(x，u，t)为x和u的线性函数，即
　　(1.10)
　　则称该系统为线性时变系统，其中，A(t)2Rn×n称为系统矩阵，B(t)2Rn×m称为控制矩阵，C(t)2Rp×n称为输出矩阵，D(t)2Rp×m称为前馈矩阵.如果A(t)、B(t)、C(t)和D(t)都与t无关，则系统(1.10)可以写成
　　(1.11)
　　此系统称为线性时不变系统或者线性定常系统.线性定常系统是本书考虑的主要对象，若非特别强调，本书直接称之为线性系统.若无特别说明，本书的剩余部分均对(B，C，D)按下述方式分块，即
　　(1.12)
　　说明1.1.2 为了讨论的方便，通常假设每个控制输入都对系统(1.11)有影响，即
　　(1.13)
　　以及系统(1.11)的每个输出都是*立的，即
　　(1.14)
　　如果式(1.13)和/或式(1.14)不成立，令使得
　　再令使得
　　(1.15)
　　那么，如果设
　　(1.16)
　　则原系统(1.11)可以写成
　　(1.17)
　　其中，此时根据引理A.1.1有
　　式(1.15)和上式表明变换后的系统(1.17)满足式(1.13)和式(1.14).注意到变换(1.16)是合理的:系统(1.17)的输出.y由原系统(1.11)的输出y确定，而任何针对系统(1.17)设计的控制信号.u可以确定原系统(1.11)的控制信号u.
　　如果m=p=1，为了显示其特殊性，经常将B、C、D分别写成b、c、d，即

目录
前言
符号表
第1章 状态空间模型与解1
1.1 状态空间模型1
1.1.1 动态系统1
1.1.2 状态和状态空间模型2
1.1.3 线性系统模型5
1.2 非线性系统的线性化9
1.2.1 近似线性化9
1.2.2 精确线性化13
1.3 状态空间模型与传递函数17
1.3.1 状态空间模型的传递函数17
1.3.2 传递函数的状态空间模型20
1.4 线性系统的解25
1.4.1 解的含义和性质26
1.4.2 状态转移矩阵与解28
1.4.3 脉冲响应31
1.5 矩阵指数与解32
1.5.1 状态转移矩阵与矩阵指数32
1.5.2 矩阵指数的性质33
1.5.3 矩阵指数的计算37
1.5.4 线性系统的模态39
1.6 极点和零点42
1.6.1 传递函数矩阵的极点和传输零点42
1.6.2 状态空间模型的极点和不变零点43
1.6.3 线性系统的可逆性与不变零点46
1.6.4 不变零点的系统意义47
本章小结48
本章习题49
本章附注54
参考文献56
第2章 能控性与能观性57
2.1 能控性57
2.1.1 能控性的定义57
2.1.2 Kalman判据和Gram矩阵判据58
2.1.3 PBH判据和Jordan判据60
2.1.4 能达性64
2.2 能观性65
2.2.1 能观性的定义65
2.2.2 能观性判据65
2.2.3 能重构性69
2.3 时间反转原理和对偶原理69
2.3.1 时间反转原理70
2.3.2 对偶原理70
2.4 输出能控性和输入能观性71
2.4.1 输出能控性71
2.4.2 输入能观性75
2.4.3 输入函数能观性76
2.4.4 输出函数能控性81
2.5 强能观性和强能控性83
2.5.1 强能观性83
2.5.2 强能控性88
2.5.3 各种能控性之间的关系94
2.6 各种指数集95
2.6.1 能控性指数集96
2.6.2 Brunovsky指数集98
2.6.3 输入重排与能控性指数集99
2.6.4 Hermite指数集100
2.6.5 其他指数集102
本章小结105
本章习题106
本章附注112
参考文献113
第3章 稳定性116
3.1 控制系统的稳定性117
3.1.1 系统的平衡点117
3.1.2 稳定性的定义119
3.2 直接判据121
3.2.1 基于特征值的判据121
3.2.2 基于特征多项式的判据127
3.3 Lyapunov方法130
3.3.1 Lyapunov方程与稳定性131
3.3.2 收敛速度的估计135
3.4 Lyapunov方法的优点和应用139
3.4.1 Routh判据的证明139
3.4.2 线性化方法的理论依据142
3.4.3 二次型积分的计算145
3.5 其他稳定性149
3.5.1 外部稳定性149
3.5.2 能检测性和能稳性与零点的稳定性153
本章小结158
本章习题158
本章附注162
参考文献164
第4章 变换和分解165
4.1 代数等价变换165
4.1.1 代数等价变换的定义165
4.1.2 代数等价变换的性质166
4.2 结构分解168
4.2.1 能控性与能观性结构分解168
4.2.2 Kalman分解和规范型171
4.2.3 传递函数的*小实现175
4.3 输入输出规范型178
4.3.1 相对阶与耦合矩阵178
4.3.2 SISO系统的输入输出规范型181
4.3.3 MIMO系统的输入输出规范型185
4.3.4 输入输出规范型的性质194
4.3.5 逆系统198
4.3.6 可解耦质系统200
4.4 能控规范型202
4.4.1 一般形式的能控规范型202
4.4.2 单输入系统的能控规范型205
4.4.3 Luenberger能控规范型208
4.4.4 能控规范型的唯一性212
4.4.5 Luenberger能控规范型的性质213
4.5 对称化子与能控规范型214
4.5.1 单输入系统214
4.5.2 Luenberger能控规范型216
4.5.3 Wonham能控规范型220
4.6 全等价变换225
4.6.1 状态反馈变换及其作用225
4.6.2 状态反馈变换下的不变量226
4.6.3 输出注入变换及其性质230
4.6.4 全等价变换及其性质231
4.7 Morse规范型及其性质231
4.7.1 Brunovsky规范型232
4.7.2 Morse规范型233
4.7.3 Morse规范型的性质237
4.7.4 代数等价变换下的Morse规范型239
4.7.5 Morse规范型与输入输出规范型243
4.7.6 Morse规范型与逆系统246
本章小结247
本章习题248
本章附注254
参考文献255
第5章 反馈镇定258
5.1 状态反馈镇定258
5.1.1 问题的描述与解258
5.1.2 降阶方法260
5.2 极点配置262
5.2.1 问题的描述与解的存在性262
5.2.2 极点配置公式265
5.2.3 单输入系统Ackermann公式268
5.3 不变因子和特征结构配置270
5.3.1 不变因子配置270
5.3.2 *小多项式配置276
5.3.3 特征结构配置279
5.4 解耦控制282
5.4.1 问题的描述与解282
5.4.2 闭环系统的稳定性286
5.4.3 内稳定解耦控制问题与解288
5.5 输出反馈镇定和极点配置293
5.5.1 静态输出反馈的定义和性质293
5.5.2 动态输出反馈的定义和性质295
5.5.3 镇定与极点配置296
5.6 *小相位系统的输出反馈299
5.6.1 高增益输出反馈299
5.6.2 基于尺度变换的输出反馈302
5.6.3 动态输出反馈304
5.7 模态控制306
5.7.1 模态能控性306
5.7.2 模态控制问题与解309
5.7.3 单输入控制多模态311
5.7.4 多输入控制单模态313
本章小结316
本章习题317
本章附注322
参考文献323
第6章 二次*优控制326
6.1 自由终端有限时间*优控制326
6.1.1 问题的描述与解326
6.1.2 自由终端*小能量控制330
6.1.3 微分Riccati方程的解331
6.2 固定终端有限时间*优控制334
6.2.1 *小能量控制问题334
6.2.2 一般二次性能指标情形339
6.3 无限时间*优控制341
6.3.1 自由终端无限时间*优控制341
6.3.2 固定终端无限时间*优控制345
6.3.3 代数Riccati方程的稳态解和镇定解346
6.3.4 退化代数Riccati方程的镇定解350
6.3.5 代数Riccati方程的解析解352
6.4 保证收敛速度的*优控制354
6.4.1 问题的描述与解354
6.4.2 保证收敛速度的*小能量控制356
6.4.3 参量Lyapunov方程的性质和应用359
本章小结365
本章习题365
本章附注368
参考文献372
第7章 观测器374
7.1 全维状态观测器374
7.1.1 全维状态观测器的设计374
7.1.2 观测器的构造原理377
7.1.3 基于观测器的状态反馈378
7.2 降维状态观测器380
7.2.1 降维状态观测器的设计380
7.2.2 基于观测器的状态反馈384
7.3 函数观测器385
7.3.1 函数观测器的存在性386
7.3.2 基于函数观测器的状态反馈386
7.3.3 函数观测器与状态观测器的关系387
7.3.4 观测器方程组的解388
7.3.5 函数观测器的阶次390
7.4 对偶观测器-控制器393
7.4.1 对偶方程组393
7.4.2 对偶观测器-控制器的结构394
7.4.3 对偶观测器-控制器的构造396
7.4.4 对偶方程组的解399
7.5 未知输入观测器400
7.5.1 问题的描述和转化400
7.5.2 全维状态观测器403
7.5.3 降维状态观测器404
7.5.4 函数观测器407
7.6 干扰观测器408
7.6.1 干扰的建模409
7.6.2 干扰和状态观测器410
7.6.3 干扰观测器的构造411
7.6.4 基于观测器的控制413
本章小结415
本章习题415
本章附注420
参考文献421
第8章 跟踪与调节424
8.1 输出跟踪424
8.1.1 问题描述与控制器结构424
8.1.2 常值干扰下的输出跟踪427
8.2 基于逆系统的输出跟踪428
8.2.1 逆系统429
8.2.2 理想内动态430
8.2.3 周期期望输出的理想内动态434
8.3 *小相位系统的输出跟踪435
8.3.1 等效前馈跟踪控制律435
8.3.2 常值干扰下的输出跟踪439
8.4 状态跟踪442
8.4.1 基于运动规划的状态跟踪442
8.4.2 微分平坦系统444
8.4.3 运动规划问题的解446
8.5 输出调节450
8.5.1 问题描述450
8.5.2 问题的可解性453
8.5.3 静态状态反馈454
8.5.4 动态输出反馈457
8.5.5 调节器方程组461
8.6 结构稳定的输出调节463
8.6.1 问题描述与可解性463
8.6.2 动态状态反馈465
8.6.3 动态输出反馈469
8.6.4 内模原理472
本章小结474
本章习题475
本章附注479
参考文献480
附录A 数学基础481
A.1 若干矩阵理论知识481
A.1.1 分块矩阵481
A.1.2 特征多项式和预解矩阵483
A.1.3 矩阵乘积的秩484
A.2 几种特殊矩阵485
A.2.1 Jordan矩阵和标准型485
A.2.2 Vandermonde矩阵487
A.2.3 Hankel矩阵489
A.3 矩阵函数与函数矩阵490
A.3.1 矩阵函数490
A.3.2 矩阵函数的计算493
A.3.3 多项式和有理分式矩阵496
A.4 线性方程501
A.4.1 Kronecker积与线性方程501
A.4.2 Ja