《（数学科学文化理念传播丛书）（第一辑）数学的本性（01）》：
4.17 假如我们想摆脱猜想与概率而去进行一些推理的训练，并且不再完成权衡证据或由结合实例而上升到普遍命题的困难任务，如果我们只是简单地希望知道如何处理所获之命题，以及如何根据这些命题去进行演绎推理，那么显然地我们就必须在自己的思想宝库中存放那些正确的原理，特别是那些最原始的公理或原则都必须正确无误。事实上，如果我们的思维过程导致了错误的结论，这可能就是由于一开始就接受了错误的前提，在此情况下，无论我们的推理过程如何无误，也不可能再从错误的结论中解救出来。另一种情况可能是原始依据无误，但在推理过程中出现失误，因而导致错误结论。在数学或其他科学中，在几何、算术、代数、三角学以及关于变量或曲线的微积分中，其最原始的原则是没有也不可能有错误的，因而我们在此就只需把注意力集中于推理过程。上述这些学科都是基于空间与数的原始真理的，因而通常认为这些学科所提供的理论都是正确的理论。柏拉图曾在他的哲学学校门口张榜声明：“不熟悉几何学的人请勿入内。”但这并不表示那些涉及线与面的问题要在他的各种课程中进行讨论。相反地，柏拉图所注意的那些论题，却都是关于社会的、政治的和道德的深刻问题。对于这些问题的探索，思维本身也能受到锻炼，柏拉图及其追随者试图得到关于人的存在、责任、尊严及人们与他们所面对的上帝与未知世界之关系的结论。然而几何与这些事情有什么关系呢？简言之，一个人如果没有经过系统的推理思维的严格训练，他就不能适应对上述那些高级的论题的讨论和探索。人们所需获得的逻辑知识与从几何学中获得的知识十分相似。几何学在柏拉图时代是唯一被系统化了的科学。在英国，我们未来的律师、牧师和政治家都要在大学里学习有关曲线、角度、数量及比例等数学知识，这并不是因为这些数学课程与他们的生活需要或攻读方向有多大的关系，而是因为他们通过学习这些数学知识，就能养成坚定不移的、严格而精确的思维习惯，这对于今后取得成功是必不可少的。
——J.C.费契（J.C。Fitch）
4.18 众所周知，善于推理的能力不是天生的。经验告诉我们，教育能促使那些潜在能力的发展，如果没有教育，这些潜在能力就发展不起来，正如要获得游泳和筑围墙的技术，就必须先去学习游泳和筑围墙一样；要获得推理的技巧和具有推理的能力，也必须先去学习推理。为了推理，我们要选取和掌握各种思想与材料，要研究语言、数学与历史，当我们对某些事物进行推理时，只要这些事物确实是可以进行推理的，那么推理本身与事物自身之间究竟是什么关系的问题不是最重要的，关键是在推理之外，还要用其他方法去验证推理结果之真伪，在推理过程中，我们一旦确认了磁铁的指向性，就要对这一新发现去做应用性研究，并在应用中前进。我们在发现新航道以前，必须在已知的港口之间构筑许多航道。因此，我们的推理能力就在于：在我们完全相信可以推理之前，我们可以用其他方法来确证推理要素的真与假，基于下列原则，可以确认数学是最适合于进行推理的学科：
（1）任何术语都被清楚地解释，且仅有唯一的含义。很少用两个词来定义同一个概念。
（2）原始公理来自大量的观察，并且都是十分明确的。
（3）证明过程都严格地合乎逻辑而毫不含糊，不受任何权威意见的约束或限制。
（4）推理结果的真伪总能用其他方法进行验证。例如，几何学中可用实际测量的办法去验证，代数计算的结果可用算术计算去验证等。
（5）数学中不存在那种意义含混的词，种种表示程度差别的或言辞过甚的形容词、副词都不予使用。
——A.德·摩根（A.De Morgan）
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