《有向几何学 平面点集重心线有向度量理论与应用（上）》是《有向几何学》系列成果之四.在《平面有向几何学》和《有向几何学》系列研究的基础上,创造性地、广泛地综合运用多种有向度量法和有向度量定值法,特别是有向面积法和有向面积定值法,对平面2n点集、2n多角形(多边形)重心线的有关问题进行深入、系统的研究,得到一系列的有关平面2n点集、2n多角形(多边形)重心线的有向度量定理,主要包括2n点集、2n多角形(多边形)重心线三角形有向面积的定值定理;点到2n点集、2n多角形(多边形)重心线有向距离的定值定理;共点2n点集重心线有向距离定理;2n点集、2n多角形(多边形)重心线的共点定理、定比分点定理;2n点集各点、2n多角形(多边形)各顶点到重心线的有向距离公式等,以及以上定理和公式的应用,从而揭示这些定理之间,这些定理与**数学问题、数学定理之间的联系,较系统、深入地阐述了平面2n点集、2n多角形(多边形)重心线有向度量的基本理论、基本思想和基本方法.它对开拓数学的研究领域,揭示事物之间本质的联系,探索数学研究的新思想、新方法具有重要的理论意义;对丰富几何学各学科,以及相关数学学科的教学内容,促进大、中学数学教学内容改革的发展具有重要的现实意义;此外,有向几何学的研究成果和研究方法,对数学定理的机械化证明和工程有关学科也具有重要的应用和参考价值.

第1章 平面点集重心线的基本概念与基本知识
　　1.1 平面点集重心线的基本概念与性质
　　众所周知，点是构成平面点集和平面图形的基本要素.但点既没有大小，也没有方向.因此，就平面上单个点而言，其大小的有向度量(度量)是零，方向的有向度量(度量)不确定，或者说是.180～180(0～360)度的任何方向.除此之外，单点集不具有本书所指的其他有向度量(度量)性质.
　　然而，随着点的个数的增加，平面点集的有向度量(度量)性质，会越来越广泛，越来越丰富.诸如有向距离(距离)、有向面积(面积)、有向角度(角度)等等.平面点集重心线有关这些有向度量(度量)，以及这些有向度量(度量)之间的关系，即这些有向度量(度量)的不变量，就是构成了本系列研究的主要对象.而有向度量(度量)和有向度量定值法就是本系列研究，乃至整个有向几何学研究的基本方法.这些研究的结果，主要是有向度量(度量)的定值定理，就构成有向几何学的基本内容.
　　在重力场中，重心是物体处于任何方向时所有各组成支点的重力的合力都通过的那一点.例如，一点S={P}的重心G就是该点本身，即G=P;两点集S={P1，P2}的重心G就是这两点连线P1P2的中点，即G=(P1+P2)/2;等等.
　　一般地，规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心.因此，可以推断平面n点集S={P1，P2， ，Pn}的重心就是G=(P1+P2+ +Pn)/n.
　　但在数学上，我们怎样才能严格证明平面n点集重心公式？怎样才能系统地研究、刻画平面n点集重心的稳定性?本书通过引进点集重心线的概念，以一点和两点重心的公式为基础，逐步建立平面三点、四点，乃至一般的n点集重心线有向度量的定值定理，以构成关于这些点集重心稳定性的方程和方程组，从而在本质上利用类似于数学归纳法的思想方法，来推导证明平面n点集重心公式G=(P1+P2+ +Pn)/n，并比较系统深入地刻画、揭示这些点集重心的稳定性.因此，我们亦把这些点集重心线有向度量的定值定理(即关于点集重心稳定性的方程和方程组)，称为点集重心的稳定性系统和子系统;并根据点集重心线有向度量的定值定理成立是否需要前提条件，将点集重心稳定性系统(子系统)分为无条件重心稳定性系统(子系统)和条件重心稳定性系统(子系统)，无条件重心稳定性系统(子系统)亦简称重心稳定性系统(子系统).本节主要论述平面点集重心线的概念与性质.*先，给出平面点集完备集对的概念与性质;其次，给出平面点集完备集对重心线的概念与性质;*后，给出平面点集完备集对重心线的分类和序化.
　　1.1.1 平面点集完备集对的概念与性质
　　定义1.1.1 设S={P1，P2， ，Pn}是n点(指平面n个不同的点，其余类同)的集合，是S中m个点的集合，Tn.m={Pim+1，Pim+2， ，Pin}是S中其余n.m个点的集合，则称这两个子集所构成的集对(Sm，Tn.m)为S的一个(m，n.m)完备集对.
　　特别地，我们把S看成是S的(0，n)或(n，0)完备集对，即把S看成是S的(m，n.m)完备集对的特殊形情形.
　　显然，n点集S的完备点集对(Sm，Tn.m)中两个集合的交集是空集，即Sm∩Tn.m=.;两个集合的并集是n点集S本身，即Sm∪Tn.m=S.
　　有时，为明确起见，n点集S={P1，P2， ，Pn}的(m，n.m)完备集对(Sm，Tn.m)，亦记为，其中i1，i2， ，in=1，2， ，n且互不相等.
　　定理1.1.1 设S={P1，P2， ，Pn}是n点的集合，Sm={Pi1，Pi2， ，Pim}是S中m个点的子集，是S中其余n.m个点的子集，则S的(m，n.m)完备集对(Sm，Tn.m)共有Cmn个.
　　证明 显然，由组合数的知识易知，从S中取出m个点的所有子集Sm共有Cmn个.而一旦确定了Sm，S中其余n.m个点的子集Tn.m也随之确定，从而S的一个(m，n.m)完备集对(Sm，Tn.m)也就完全确定.因此，S的(m，n.m)完备集对(Sm，Tn.m)共有Cmn个.
　　定理1.1.2 设S={P1，P2， ，Pn}是n点的集合，则S的所有完备集对共有2n个.
　　证明 因为S的所有完备集对是S的(m，n.m)(m=0，1， ，n)集对个数的和，故由定理1.1.1和n元集组合数定理可得，S的所有完备集对的个数为
　　1.1.2 平面点集完备集对重心线的概念与性质
　　定义1.1.2 设S={P1，P2， ，Pn}是n点的集合，(Skm，Tkn.m)(k=1，2， ，Cmn)是S的一个(m，n.m)完备集对，Gkm，Hkn.m分别是Skm，Tkn.m(k=1，2， ，Cmn)的重心，则称这两个重心点之间的连线GkmHkn.m(k=1，2， ，Cmn)为该(m，n.m)完备集对的重心线，简称重心线.特别地，我们把S的重心，即S的(0，n)和(n，0)完备集对的重心，看成是S的(m，n.m)完备集对重心线的特殊情形，并称之为S的奇异重心线;而其余的重心线称为S的非奇异重心线.
　　显然，S的奇异重心线，实际上就是S的重心.一点的重心线就是该点自身.且当两重心点重合时，我们把这个重合的点看成是非奇异重心线的特殊情形，并称为(非奇异)退化重心线;否则，称为(非奇异)非退化重心线.
　　可以证明，对任意的k=1，2， ，Cmn，若GkmHkn.m为退化重心线(非退化重心线)，则;反之亦然.
　　关于重心线的表述，在一些特殊情形下，我们还用到如下几个更为直观的记号.现说明如下：
　　当m=1，即Sk1={Pk}(k=1，2， ，n)时，n点集S的(1，n.1)的完备集对通常记为，其重心线通常记为PiHin.1(i=1，2， ，n)，而较少上述抽象概括中的表述.
　　当m=2，即Sk2={Pi1，Pi2}(k=1，2， ，C2n)时，n点集S的(2，n.2)的完备集对通常记为，其重心线通常记为Gj2Hjn.2或Gi1i2Hjn.2(j=1，2， ，C2n)，这里Gi1i2是线段Pi1Pi2的中点;也可以用上述抽象概括中的表述.
　　当m=2，n=4，即Si2={Pi1，Pi2}，Ti2={Pi3，Pi4}(i=1，2， ，6)时，四点集S={P1，P2，P3，P4}的(2，2)的完备集对通常记为(Sj2，Tj2)(j=1，2， ，6)，其重心线通常记为重心线，而较少用上述抽象概括中的表述Gk2Hk2(k=1，2， ，6).
　　一般地，当Sim={Pi1，Pi2， ，Pim}(i=1，2， ，Cmn)时，n点集S的(m，n.m)的完备集对(Sim，Tin.m)的重心线，亦记为，这里k=k(i1，i2， ，ik)=1，2， ，Cmn
　　必须指出，不管哪种记号，其中k=k(i1，i2， ，im)只与Skm={Pi1，Pi2， ，Pim}(k=1，2， ，Cmn)中的m个点有关，而与这m个点的顺序无关.因此，对i1，i2， ，im任一排列i′1i′2 i′m，均有k(i′1，i′2， ，i′m)=k(i1，i2， ，im).
　　定义1.1.3设S={P1，P2， ，Pn}是多角形(多边形)P1P2 Pn顶点的集合，(Skm
　　，Tkn.m)(k=1，2， ，Cmn)是S的一个(m，n.m)完备集对，Gkm，Hkn.m分别是的重心.
　　(1)若(Skm，Tkn.m)(k=1，2， ，Cmn)中两个集合都是P1P2 Pn单个顶点、一边或一条对角线上两个端点的集合，则称该(m，n.m)完备集对的重心线GkmHkn.m(k=1，2， ，Cmn)为P1P2 Pn的重心线.(2)若(Skm，Tkn.m)(k=1，2， ，Cmn)中两个集合中至少有一个不是P1P2 Pn单个顶点、一边或一条对角线上两个端点的集合，则称该(m，n.m)完备集对的重心线为P1P2 Pn的m-级重心线.
　　显然，当n=3时，三角形P1P2P3顶点集合S={P1，P2，P3}的1-类重心线，就是P1P2P3的重心线，即三角形P1P2P3的中线;当n=4时，四角形(四边形)P1P2P3P4顶点集合S={P1，P2，P3，P4}的(2，2)的完备集对(Sk2，Tk2)的2-类重心线Gi1i2Gi3i4，也是P1P2P3P4的重心线，即P1P2P3P4的中位线.
　　除以上两种情形外，多角形(多边形)P1P2 Pn顶点集合S={P1，P2， ，n}所有的m-类重心线，都不是P1P2 Pn的重心线，而只是P1P2 Pn相应的m-级重心线.
　　定理1.1.3n点集S={P1，P2， ，Pn}所有的(m，n.m)完备集对的重心线和所有的(n.m，m)完备集对的重心线的条数相等，方向相反.
　　证明因为n点集S的每个(m，n.m)完备集对(Sm，Tn.m)和(n.m，m)完备集对(Sn.m，Tm)，既可以从S中取出m个点来确定，也可以从S中取出n.m来确定.因此，它们的重心线是一一对应的，即S的(m，n.m)完备集对的重心线和(n.m，m)完备集对的重心线的条数相等.
　　又显然，n点集S的(m，n.m)完备集对(Sm，Tn.m)的重心线GkmHkn.m(k=k(i1，i2， ，im))和(n.m，m)完备集对(Sn.m，Tm)的重心线Gkn.mHkm(k=k(im+1，im+2， ，in))反向重合.
　　定理1.1.4若不论正反方向，则n点集S={P1，P2， ，Pn}共有2n.1条不同的重心线，共有2n.1.1条非奇异重心线.
　　证明根据定理1.1.2和定理1.1.3，易知S所有不同重心线的条数为
　　非奇异重心线的条数为2n.1.1.
　　因此，根据定理1.1.4，为避免重复，在讨论n点集S={P1，P2， ，Pn}重心线GkmHkn.m时，必须对m进行限制，即要求
　　这样，在不论正反方向的情况下，就可以完全避免重心线重复或遗漏的问题.但为方便起见，当n=2n′，m=n′时，有时我们也使用正反两个方向所有的重心线，此时，与均是反向重合的.1.1.3 平面点集完备集对重心线的分类与序化
　　为方便讨论，可以按不同的标准对点集重心线进行分类.*先，根据定义1.1.2，平面n点集S的重心线可分为奇异重心线和非奇异重心线两种;其次，根据定理1.1.3，可以按m的大小，来进行S的(m，n.m)完备集对(Sm，Tn.m)(m=0，1， ，[n/2])重心线的分类.
　　定义1.1.4 n点集S={P1，P2， ，Pn}的完备集对(Sm，Tn.m)的重心线，称为S的m-类重心线，其中m=0，1， ，[n/2].
　　显然，S的0-类重心线，即S的奇异重心线;而1-类～[n/2]-类重心线，统称为S的非奇异重心线.因此，点集完备集对重心线的分类为
　　必须指出，非奇异重心线是本书讨论的重点.显然，根据定理1.1.4，当n为奇数时，对每个m=0，1， ，[n/2]，n点集S的m-类重心线共有Cmn条;当n为偶数时，对每个m=0，1， ，[n/2].1，n点集S的m-类重心线亦共有Cmn条，但对m=[n/2]，n点集S的[n/2]-类重心线共有C[n/2]n/2=Cn/2n/2条.
　　例如，不共线三点集S={P1，P2，P3}只有0-类重心线和1-类重心线两种.其中0-类重心线有一条，即三角形P1P2P3的重心;1-类重心线共有三条，即三角形P1P2P3的三条中线.
　　四点集S={P1，P2，P3，P4}只有0-类重心线、1-类重心线和2-类重心线

目录
前言
第1章 平面点集重心线的基本概念与基本知识1
1.1 平面点集重心线的基本概念与性质1
1.1.1 平面点集完备集对的概念与性质2
1.1.2 平面点集完备集对重心线的概念与性质2
1.1.3 平面点集完备集对重心线的分类与序化5
1.2 基础点集重心线三角形有向面积的定值定理与应用6
1.2.1 点集直和的基本概念与性质6
1.2.2 重心线三角形有向面积的基本概念与引理7
1.2.3 基础点集重心线三角形有向面积的定值定理与应用8
1.2.4 基础点集重心线的共点定理和定比分点定理与应用12
1.3 点到基础点集重心线的有向距离与应用14
1.3.1 乘数有向距离的概念与引理14
1.3.2 点到基础点集重心线有向距离的定值定理与应用15
1.3.3 共线基础点集重心线有向距离定理与应用17
1.3.4 三点集各点到重心线有向距离公式与应用19
第2章 四点集重心线有向度量的定值定理与应用21
2.1 四点集1-类重心线有向度量的定值定理与应用21
2.1.1 四点集1-类重心线三角形有向面积的定值定理21
2.1.2 四点集1-类重心线三角形有向面积定值定理的应用23
2.1.3 点到四点集1-类重心线有向距离的定值定理与应用27
2.1.4 共线四点集1-类重心线有向距离定理与应用29
2.2 四点集1-类2-类重心线有向度量的定值定理与应用32
2.2.1 四点集1-类2-类重心线三角形有向面积的定值定理33
2.2.2 四点集1-类2-类重心线三角形有向面积的定值定理的应用35
2.2.3 点到四点集1-类2-类重心线有向距离的定值定理与应用38
2.2.4 共线四点集1-类2-类重心线有向距离定理与应用43
2.3 四点集重心线的共点定理和定比分点定理与应用47
2.3.1 四点集各类重心线的共点定理及其应用47
2.3.2 四点集各类重心线的定比分点定理及其应用49
2.3.3 四点集各类重心线有向度量定值定理的物理意义51
第3章 四点集各点到重心线的有向距离与应用52
3.1 四点集各点到1-类重心线有向距离公式与应用52
3.1.1 四点集各点到1-类重心线有向距离公式52
3.1.2 四点集各点到1-类重心线有向距离公式的应用53
3.1.3 四点集1-类自重心线三角形有向面积公式及其应用54
3.2 四点集各点到2-类重心线有向距离公式与应用58
3.2.1 四点集各点到2-类重心线有向距离公式58
3.2.2 四点集各点到2-类重心线有向距离公式的应用60
3.2.3 四点集2-类重心线三角形有向面积公式及其应用61
第4章 六点集同类重心线有向面积的定值定理与应用67
4.1 六点集1-类重心线有向度量的定值定理与应用67
4.1.1 六点集1-类重心线有向面积的定值定理67
4.1.2 六点集1-类重心线有向面积定值定理的应用68
4.1.3 点到六点集1-类重心线有向距离的定值定理与应用72
4.1.4 共线六点集1-类重心线有向距离定理与应用75
4.2 六点集2-类重心线有向度量的定值定理与应用77
4.2.1 预备知识与记号78
4.2.2 六点集2-类重心线有向面积的定值定理78
4.2.3 六点集2-类重心线有向面积定值定理的应用80
4.2.4 点到六点集2-类重心线有向距离的定值定理与应用81
4.2.5 共线六点集2-类重心线有向距离定理与应用83
4.3 六点集3-类重心线有向度量的定值定理与应用84
4.3.1 预备知识与记号85
4.3.2 六点集3-类重心线有向面积的定值定理86
4.3.3 六点集3-类重心线有向面积定值定理的应用88
4.3.4 点到六点集3-类重心线有向距离的定值定理与应用90
4.3.5 共线六点集3-类重心线有向距离定理与应用92
第5章 六点集两类重心线有向度量的定值定理与应用95
5.1 六点集1-类2-类重心线有向度量的定值定理与应用95
5.1.1 六点集1-类2-类重心线有向面积的定值定理95
5.1.2 六点集1-类2-类重心线有向面积定值定理的应用98
5.1.3 点到六点集1-类2-类重心线有向距离的定值定理与应用102
5.1.4 共线六点集1-类2-类重心线有向距离定理与应用107
5.2 六点集1-类3-类重心线有向度量的定值定理与应用111
5.2.1 六点集1-类3-类重心线三角形有向面积的定值定理111
5.2.2 六点集1-类3-类重心线三角形有向面积定值定理的应用113
5.2.3 点到六点集1-类3-类重心线有向距离的定值定理与应用116
5.2.4 共线六点集1-类3-类重心线有向距离定理与应用121
5.3 六点集2-类3-类重心线有向度量的定值定理与应用124
5.3.1 六点集2-类3-类重心线三角形有向面积的定值定理124
5.3.2 六点集2-类3-类重心线三角形有向面积定值定理的应用127
5.3.3 点到六点集2-类3-类重心线有向距离的定值定理与应用130
5.3.4 共线六点集2-类3-类重心线有向距离定理与应用135
5.4 六点集重心线的共点定理和定比分点定理与应用138
5.4.1 六点集各类重心线的共点定理及其应用139
5.4.2 六点集各类重心线的定比分点定理及其应用141
5.4.3 六点集各类重心线有向度量定值定理的物理意义143
第6章 六点集各点到重心线的有向距离与应用146
6.1 六点集各点到1-类重心线的有向距离公式与应用146
6.1.1 六点集各点到1-类重心线有向距离公式146
6.1.2 六点集各点到1-类重心线有向距离公式的应用147
6.1.3 六点集1-类自重心线三角形有向面积公式及其应用150
6.2 六点集各点到2-类重心线的有向距离公式与应用154
6.2.1 六点集各点到2-类重心线有向距离公式154
6.2.2 六点集各点到2-类重心线有向距离公式的应用156
6.2.3 六点集2-类自重心线三角形有向面积公式与应用158
6.3 六点集各点到3-类重心线的有向距离公式与应用164
6.3.1 六点集各点到3-类重心线有向距离公式164
6.3.2 六点集各点到3-类重心线有向距离公式的应用166
6.3.3 六点集3-类自重心线三角形有向面积公式与应用168
第7章 2n点集同类重心线有向度量的定值定理与应用179
7.1 2n点集1-类重心线有向度量的定值定理与应用179
7.1.1 2n点集1-类重心线三角形有向面积的定值定理179
7.1.2 2n点集1-类重心线三角形有向面积定值定理的应用181
7.1.3 点到2n点集1-类重心线有向距离的定值定理与应用186
7.1.4 共线2n点集1-类重心线有向距离定理与应用190
7.2 2n点集2-类重心线三角形有向面积的定值定理与应用194
7.2.1 2n点集的单倍集组的概念与性质194
7.2.2 2n点集2-类重心线三角形有向面积的定值定理196
7.2.3 2n点集2-类重心线三角形有向面积定值定理的应用198
7.3 2n点集2-类重心线有向距离(的定值)定理与应用206
7.3.1 点到2n点集2-类重心线有向距离的定值定理与应用206
7.3.2 共线2n点集2-类重心线有向距离定理与应用212
第8章 2n点集两类重心线有向度量的定值定理与应用220
8.1 2n点集1-类2-类重心线有向度量的定值定理与应用220
8.1.1 2n点集1-类2-类重心线三角形有向面积定值定理220
8.1.2 2n点集1-类2-类重心线三角形有向面积定值定理的应用223
8.1.3 点到2n点集1-类2-类重心线有向距离的定值定理与应用228
8.1.4 共线2n点集1-类2-类重心线有向距离定理与应用235
8.2 2n点集1-类m-类重心线三角形有向面积的定值定理与应用240
8.2.1 2n点集1-类m(m8.2.2 2n点集1-类n-类重心线三角形有向面积的定值定理与应用250
8.3 点到2n点集1-类m-类重心线有向距离的定值定理与应用258
8.3.1 点到2n点集1-类m(m8.3.2 点到2n点集1-类n-类重心线有向距离的定值定理与应用268
8.4 共线2n点集1-类m-类重心线有向距离的定值定理与应用279
8.4.1 共线2n点集1-类m(m8.4.2 共线2n点集1-类n-类重心线有向距离的定值定理与应用287
8.5 2n点集重心线的共点定理和定比分点定理与应用295
8.5.1 2n点集各类重心线的共点定理及其应用295
8.5.2 2n点集各类重心线的定比分点定理及其应用298
8.5.3 2n点集各类重心线有向度量定值定理的物理意义300
第9章 2n点集各点到重心线(重心包络线)的有向距离与应用303
9.1 2n点集各点到1-类重心线的有向距离公式与应用303
9.1.1 2n点集各点到1-类重心线有向距离公式303
9.1.2 2n点集各点到1-类重心线有向距离公式的应用304
9.1.3 2n点集1-类自重心线三角形有向面积公式及其应用307
9.2 2n点集各点到2-类重心线的有向距离公式与应用314
9.2.1 2n点集各点到2-类重心线有向距离公式314
9.2.2 2n点集各点到2-类重心线有向距离公式的应用317
9.2.3 2n点集2-类自重心线三角形有向面积公式与应用319
9.3 2n点集各点到m-类重心线的有向距离公式与应用328
9.3.1 2n点集各点到m(3.m.n)-类重心线有向距离公式328
9.3.2 2n点集各点到m(3.m.n)-类重心线有向距离公式的应用332
9.3.3 2n点集m(3.m.n)-类自重心线三角形有向面积公式与应用341
9.4 2n点集各点到重心包络线的有向距离与应用346
9.4.1 2n点集重心包络线的概念与引理347
9.4.2 2n点集各点到重心包络线有向距离的关系定理347
9.4.3 2n点集各点到重心包络线有向距离关系定理的应用348
参考文献353
名词索引356