本书以现代数学尤其是泛函分析和分布论为主线，与电磁理论紧密结合并以电磁理论为对象论述现代数学的基本知识。绪论中着重论述了数学，尤其是近现代数学在电磁理论发展中的重要作用。第2章和第3章中首先讨论了现代数学的基本概念，着重讨论了抽象空间—线性空间、度量空间、赋范空间和内积空间的基本理论。第4章讨论了线性算子和线性泛函，着重讨论了电磁理论中常见的线性算子，并用算子形式对麦克斯韦方程加以表述。第5章讨论了算子方程的基本理论，着重讨论了算子的本征值问题和谱论，讨论了求解算子方程的本征值展开法及近似求解的加权余量法。第6章讨论了广义函数的基本理论和δ函数的基本性质。第7章集中讨论了算子方程的格林函数解法，并以平行板分层介质波导为例讨论了本征值方法在电磁理论中的应用。第8章讨论了微分算子方程的变分原理及其在电磁理论中的应用。第9章专门讨论了积分算子方程及其在电磁理论中的应用，特别讨论了奇异积分算子方程及其在微带线分析中的应用。第10章讨论了小波分析基本理论及其在电磁理论中的应用，重点讨论了小波矩量法和电磁场计算的时域多分辨分析法。 本书可供高等院校理工类学科的研究生和高年级本科生阅读使用，也可供对现代数学或现代电磁理论感兴趣的科技工作者参考。

第1章 绪论
　　麦克斯韦宏观电磁理论的诞生过程与正确的数学表达相关，该理论的发展更是有赖于各种数学方法的正确应用。也可以说，电磁理论与数学科学的发展总是相伴而行。本章中我们将对这一过程进行简要的回顾，也为后续各章所涉及内容的叙述作一些必要的准备。
　　1.1 麦克斯韦宏观电磁理论要点及其数学表述
　　在当代，麦克斯韦宏观电磁理论由四个方程组成的方程组表示，它们是（本书在涉及电磁理论时，均采用MKSA单位制）
　　(1.1.1)
　　(1.1.2)
　　(1.1.3)
　　(1.1.4)
　　对式（1.1.2）两侧求散度，并利用式（1.1.3）就可得到电荷连续性方程
　　（1.1.5）
　　这里的几个方程并不是完全相互独立的。通常我们把式（1.1.1）和式（1.1.2）看成是独立的，而式（1.1.3）和式（1.1.4）则是辅助方程。
　　麦克斯韦方程组建立在宏观实验所获得的规律之上，因此其适用范围应该是宏观电磁现象。的确如此，自20世纪初发现量子效应并建立了量子论，人们就认识到微观世界的物理规律与宏观世界大不相同，不能把在宏观世界中建立的物理规律简单地应用到微观世界中。但是，以上所列出的麦克斯韦方程组是用微分方程形式来表达的，并要求在它应用的每个空间点上方程成立。这实际上是要方程中的各物理量在空间和时间上都是连续变化的，并可取值于无限小的空间点。这样看来，方程组所要求的条件与量子论的微观现象是不一致的。那么，这里所用的数学表述的合理性又该如何理解呢？
　　为了正确理解以上问题，我们先来了解实际的物理现象。在微观上，电磁场是以光子为基本单位，是分立的。但是，单个光子的能量是非常微小的。例如，当频率为108Hz时，5μV/cm均方根场强相当于1012个光子/（cm2 s）的流量。宏观测量到的是许多光子的积累效应，少数光子的起伏在一般宏观测量中是观察不到的，从而可以认为在宏观上电磁场的变化是连续的。
　　此外，作为电磁场之源的电荷及其运动也是分立的，其基本单元为e，它的量级是
　　e＝1.60217733×10-19C
　　任何实际电荷的电量只能是e的整数倍。但是，从宏观上看，基本电荷e的电量是足够小的，所以完全可以认为从宏观上看电荷的变化是连续的。例如，在1V电压下1μF的电容器每一极板上至少要有1012个基本电荷的电量，而1μA的电流就相当于6.2×1012个基本电荷/秒，这说明在宏观上可以认为电流也是连续变化的。
　　根据以上所述，我们可以这样理解，在量子效应不起明显作用的情况下，描述宏观电磁场规律的麦克斯韦方程组是成立的，它适用的空间点只限于宏观区域。从宏观上看，区域的尺度可视为无限小，以致在数学上也可以接受。即使如此，麦克斯韦方程组也只能是宏观电磁现象的一种数学模型，它的正确性还必须接受实践的检验。
　　当应用麦克斯韦方程组解决各种电磁问题时，往往还需要对方程组中的物理量进行求导或积分运算。为了保证数学运算的顺利进行，要求它们具有必要的数学性质。我们将假设这些物理量是单值有限的，有足够的连续性和连续可微性，可以自由地交换微分和积分的顺序。当这些条件不满足时，要做特殊处理。
　　此外，在以下的讨论中我们总是假定介质是静止的，其特性参数不随时间而变化。
　　显然，上面的麦克斯韦方程组不是完备的，因为其中未知量的个数多于方程的个数。为了保证方程组的完备性，还需要知道介质空间的电磁性质，也就是要知道介质的本构关系。对于线性介质，一般地可以表示为
　　（1.1.6）
　　其中，ε=和μ=为并矢，表示介质为各向异性的。这样，两个旋度方程就成为
　　（1.1.7）
　　（1.1.8）
　　如果采用下列形式的傅里叶变换：
　　则相应的方程可以变为频域的形式：
　　（1.1.9）
　　（1.1.10）
　　（1.1.11）
　　为了应用方便，有时也把麦克斯韦方程表示成对称的形式：
　　（1.1.12）
　　（1.1.13）
　　其中，M称为磁流源。
　　从方程（1.1.12）和（1.1.13）中分别消去H或E，就可得到电场和磁场分别满足的方程
　　（1.1.14）
　　（1.1.15）
　　如果介质是均匀各向同性的，则上面两个方程变为
　　（1.1.16）
　　（1.1.17）
　　在电磁理论中，对有界域问题，电磁场在边界上还必须满足必要的边界条件。当边界为理想电导体或理想磁导体时，分别有以下边界条件：
　　理想电导体
　　（1.1.18）
　　理想磁导体
　　（1.1.19）
　　其中，s为有界域的边界。
　　在求解电磁场时，有时也使用势函数作为辅助，其中有电型矢势A和标势φ。对于均匀各向同性介质空间，它们与电磁场的关系为
　　（1.1.20）
　　（1.1.21）
　　在规范条件
　　（1.1.22）
　　下，A和φ分别满足方程
　　（1.1.23）
　　（1.1.24）
　　在频域，这些方程变为
　　（1.1.25）
　　（1.1.26）
　　而电场与A和φ的关系为
　　（1.1.27）
　　在这种情况下，先通过解方程（1.1.25）和（1.1.26）求得A和φ。可通过式（1.1.27）求得电场，再求得磁场。一般来讲，解方程（1.1.25）和（1.1.26）要比直接求解方程（1.1.16）和（1.1.17）容易些，这也是采用辅助函数的直接意义。当然，其中的物理含义要深刻得多。
　　1.2 经典数学之于麦克斯韦电磁理论
　　为摸清各种深奥复杂、难以捉摸的电磁物理现象的运动变化规律，并创立严谨、完备自洽的系统理论，除了有反映现象本质的正确概念和原理之外，还必须寻找到恰当的数学工具给予定量表述。现在以历史的进程简要地回顾这一问题是怎样解决的，从而了解经典数学在电磁理论的建立中所起的作用。
　　牛顿力学是*先发展起来的物理学科，同时开始了微积分的发明、发展和应用。早在1777年，拉格朗日（Lagrange）就开始用引力势描述引力场。他定义了引力势v(x，y，z)，并把引力F表示为
　　（1.2.1）
　　其中，为梯度算符，且。
　　1789年拉普拉斯（Laplace）给出了直角坐标系中引力势满足的微分算子方程：
　　（1.2.2）
　　其中。后来，上式被称为拉普拉斯方程。
　　1831年泊松（Poisson）指出，如果点（x，y，z）在物体内部，则方程（1.2.2）应该修改为
　　（1.2.3）
　　其中，ρ为质量密度。该方程就是著名的泊松方程。
　　以上就是引力问题的势理论，它提供了引力问题求解的新途径，即用求解偏微分方程的方法解决引力问题，尽管直到19世纪20年代以前人们还不知道这些方程解的一般性质。
　　1785年确立了点电荷之间相互作用的库仑（Coulomb）定律，开启了静电学研究的新纪元。
　　库仑定律表明，电力与引力类似，都是与距离的平方成反比。泊松首先注意到了这一点，他把引力势理论移植到静电学中，认为可把式（1.2.3）中的v视为电势，F就是电力，其中ρ为电荷密度。这样，原来用于引力势的泊松方程（1.2.3）也成了静电学中的一个基本方程。1824年泊松还以磁荷的观点，使以上方程也适用于静磁问题。到此，泊松方程就成了静电磁学的数学理论。
　　1828年，格林（Green）把势函数概念引入静电磁学中，把满足泊松方程的函数称为势函数，并给出了一般公式：
　　（1.2.4）
　　其中，ρ(x′，y′，z′)是点（x′，y′，z′）上的体电荷密度；r是点(x，y，z)到点（x′，y′，z′）的距离；势函数v（x，y，z）后来又被称为格林函数。与此同时，格林还给出了以下公式：
　　（1.2.5）
　　其中，u和v是（x，y，z）的两个任意函数，它们的导数在任何点上都是有限的；n为区域表面的内法向单位矢量;Δ＝2为拉普拉斯算符。式（1.2.5）称为格林定理，格林利用它讨论了许多静电磁学问题。
　　1839年高斯（Gauss）从平方反比定律出发证明了静电学的高斯定律，把库仑定律提高到了新的高度，其表述为
　　（1.2.6）
　　此外，早在1831年奥斯特洛格拉德斯基（Ostrogradsky）就已给出了公式：
　　（1.2.7）
　　其中，F为矢量函数；n为面元ds的法向单位矢量。
　　1854年斯托克斯（Stokes）提出了后来被称为斯托克斯定理的公式：
　　（1.2.8）
　　该公式由麦克斯韦给出证明。
　　公式（1.2.7）和（1.2.8）为矢量分析的基本定理，它们奠定了矢量分析的基础，也是电磁理论的初步数学理论基础，为麦克斯韦创立电磁理论准备了必要的数学理论基础。
　　麦克斯韦正是在继承并发展了法拉第的力线思想，在提出涡旋电场等的基础上，利用已发展起来的数学理论表达出了关于电磁理论的新体系。
　　麦克斯韦通过三篇重要论文，即“论法拉第力线”（1855~1856）、“论物理力线”（1861~1862）和“电磁场的动力学理论”（1865），逐步完善了他的电磁场的普遍理论。
　　麦克斯韦认真审查了在他之前已知的电磁学定理和定律，在弄清它们正确含义和成立条件的基础上，根据他对电磁场本质特性的深刻理解和应有的内在联系的认识，经过修正、补充和推广给出了电磁理论的普遍方程组，在其中引进了关于涡旋电场的概念，并以位移电流的形式加入到安培定律中进行修正。他的方程组中设了20个变量，其中有总电流p′、q′、r′，传导电流p、q、r，电位移f、g、h，磁强度α、β、γ，电磁动量F、G、H，电动力P、Q、R，自由电量e和电势ψ。麦克斯韦所提出的方程组为分量形式并可分为八组，分别为
　　（1.2.9）

目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 麦克斯韦宏观电磁理论要点及其数学表述 1
1.2 经典数学之于麦克斯韦电磁理论 4
1.3 电磁理论发展中数学的重要作用 10
1.4 现代数学与现代电磁理论 12
第2章 线性函数空间 15
2.1 集合与映射 15
2.2 线性空间 20
2.3 度量空间 24
2.4 度量空间可分性、完备性和紧性 28
2.5 常见的度量空间 33
第3章 赋范空间和内积空间 42
3.1 赋范空间 42
3.2 内积空间 47
3.3 内积空间中的正交和投影 54
3.4 内积空间的标准正交基 58
3.5 赋范和内积空间中的逼近问题 64
第4章 线性算子和线性泛函 69
4.1 线性算子 69
4.2 有界线性算子 74
4.3 有界线性泛函和对偶空间 80
4.4 希尔伯特空间上的伴随算子 85
4.5 希尔伯特空间自伴算子 90
4.6 伪伴随和伪对称性 93
4.7 投影算子 96
4.8 希尔伯特空间的无界线性算子 102
4.9 各向异性介质填充均匀波导中电磁场的算子表示 108
第5章 算子方程和算子谱论 115
5.1 算子方程的一般概念 115
5.2 算子谱的一般问题 119
5.3 算子的本征值问题 128
5.4 本征函数展开 135
5.5 求解算子方程的加权余量法 140
第6章 广义函数(分布论) 147
6.1 引入广义函数概念的必要性 147
6.2 基本空间和广义函数 152
6.3 广义函数的基本运算 158
6.4 作为广义函数的δ函数 167
6.5 广义函数的傅里叶变换 174
6.6 偏微分算子方程的广义解 182
第7章 格林函数与边值问题 191
7.1 微分算子的自伴边值问题 191
7.2 常规施图姆刘维尔边值问题 197
7.3 奇异施图姆刘维尔边值问题 208
7.4 非自伴施图姆刘维尔边值问题 215
7.5 均匀填充平行板波导问题中的应用 220
7.6 无限大接地平面介质层问题中的应用 227
7.7 矢量微分算子边值问题 238
7.8 电磁理论中的并矢格林函数 243
第8章 微分算子方程变分原理 248
8.1 泛函的极值问题 248
8.2 泛函的微分（变分） 250
8.3 泛函的无约束极值 255
8.4 求泛函极值问题的下降法 258
8.5 算子方程的变分原理 267
8.6 瑞利里茨法 273
8.7 电磁场问题的变分原理 275
第9章 积分算子方程 289
9.1 积分算子方程的一般概念 289
9.2 电磁理论中常见积分算子方程 302
9.3 奇异积分算子方程 315
第10章 小波分析与电磁理论 341
10.1 窗口傅里叶变换 341
10.2 连续小波变换 346
10.3 离散小波变换 353
10.4 多分辨分析和小波正交基 358
10.5 紧支集正交小波基 368
10.6 计算电磁学中的小波矩量法 378
10.7 电磁场计算的时域多分辨分析法 383
参考文献 398
《现代物理基础丛书》已出版书目 401