第1章结构优化设计的基本概念
　　人们在进行工程结构设计时，总是希望设计方案尽可能好，能够得到一个比较“优”的设计。在传统的结构设计中，设计人员往往会根据经验对设计方案反复修改，从而选出相对较优的设计。结构优化设计是利用适当的*优化方法从所有可能设计方案中选择*优的设计方案，其思想方法与传统的结构设计完全不同。本章首先阐明结构优化设计与传统结构设计的区别；然后讨论结构优化设计的数学模型与求解途径；*后简单介绍结构优化设计的发展历程。
　　1.1传统结构设计与结构优化设计
　　结构优化设计是相对于传统的结构设计而言的。下面以一个简单结构的设计说明两者的异同。
　　图1.1对称两杆桁架
　　例1.1图1.1所示的对称两杆桁架，由空心圆钢管构成。顶点承受的荷载2P=600kN，支座间距2B=6m，圆管壁厚t=0.005m。钢的弹性模量E=2.1×105MPa，容重ρ=78kN/m3，容许压应力为[σ]=160MPa。设计要求选择桁架高度H和圆管平均直径d，使桁架的重量*轻，并满足强度条件、稳定条件和工艺要求2m.H.6m、0.1m.d.0.3m。
　　这个桁架总重量的数学表达式为
　　(1.1.1)
　　式中，A≈πdt为圆管横截面的面积；L=√B2+H2为杆长。
　　圆管的压应力σ为
　　(1.1.2)
　　两端铰支压杆失稳时的欧拉临界应力σcr为
　　(1.1.3)
　　式中，
　　为圆管横截面的惯性矩。
　　圆管的强度条件是压应力不超过容许压应力，即
　　(1.1.4)
　　稳定条件是压应力不超过欧拉临界应力，即
　　(1.1.5)
　　为了设计这个桁架，传统的结构设计方法是先假设桁架高度H，然后根据强度要求利用
　　(1.1.6)
　　确定圆管平均直径d，再校核是否满足压杆稳定条件式(1.1.5)。
　　例如，取H=2m，将各数据代入式(1.1.6)可得d=0.215m，经检验满足稳定条件式(1.1.5)，得到一个满足要求的设计方案，对应的桁架重量为1.901kN。为了获得重量较轻的设计方案，往往要选择几个方案进行比较。如取H=4m，可得d=0.149m，也是一个满足要求的设计方案，对应的桁架重量为1.828kN；如取H=6m，由式(1.1.6)可得d=0.133m，经检验不满足稳定条件式(1.1.5)，需要修改设计，增大圆管直径，取d=0.15m，由式(1.1.2)、式(1.1.3)可得圆管压应力σ=142.35MPa，欧拉临界应力σcr=162.00MPa，故修改后的设计是一个满足要求的设计方案，对应的桁架重量为2.466kN。比较三个方案可知H=4m，d=0.149m对应的桁架重量*轻，是较优的设计。
　　从上述过程可以看出，传统的结构设计在选择设计方案和修改设计时都只是从设计需要满足的限制条件出发，而没有考虑评判设计优劣的目标。结构优化设计则不同，它在设计过程中把设计所追求的目标与应满足的限制条件有机结合起来，在满足设计条件的前提下寻求使设计目标*优的方案。在本例中，就是选择桁架高度H和圆管平均直径d，使桁架的重量W(H，d)*小，并满足强度条件式(1.1.4)、稳定条件式(1.1.5)以及工艺要求。写成数学形式就是
　　(1.1.7)
　　式中，s.t.是subjectto的缩写，表示“受 的约束”或“满足 条件”。
　　可以用计算函数极值的方法求上述问题的解。假定*优化设计发生在杆件中应力达到容许应力的情形，即强度条件为等式(1.1.6)，则
　　(1.1.8)
　　将此式代入目标函数W(H，d)的表达式(1.1.1)，消去变量d，使目标函数成为只有一个变量H的函数
　　(1.1.9)
　　为求得使重量W为*小值时的H值，计算函数W(H)对变量H的一阶导数，并使之等于零。即
　　(1.1.10)
　　解得H=B。
　　将H=B代入式(1.1.8)可得。代入具体数据得H=3m，d=0.169m。不难检验，此时稳定条件式(1.1.5)自然满足。因此，对本桁架，H=3m，d=0.169m就是满足所有设计条件且总重量*轻的设计，桁架总重量为1.755kN。
　　从本例的设计可以看出，传统的结构设计与结构优化设计既有区别也有联系。传统的结构设计要求设计者根据设计要求和实践经验去选择设计方案，然后进行结构分析计算以校核是否满足强度、刚度、稳定性等各方面的设计要求，并决定是否需要修改设计方案。因此，传统的结构设计本质上是结构分析，其过程大致是假设—分析—校核—重新设计。重新设计的目的也是要选择一个合理的方案，但它仍然只是“分析”的范畴，且只能凭设计者的经验作很少几次重复以期能通过“校核”。结构优化设计实质上是结构综合，它在设计过程中综合考虑了设计目标和设计要求，采用适当的优化方法寻找*优设计方案。这里采用了求函数极值的方法。但是，对大多数实际工程问题，一般需要采用数值方法寻找*优解，其过程大致是假设—分析—搜索—*优设计。这里的搜索过程也是修改设计的过程，但这种修改是按一定的优化方法以使设计方案达到“*佳”的修改，是一种主动的、有规划的、以达到“*优”为目标的搜索过程。
　　传统的结构设计的另一个特点是所有参与计算的量必须以常量出现。结构优化设计中待确定的量是以变量形式出现的，可以形成全部可能的结构设计方案集。在这个设计方案集中既有众多满足设计规范和要求的可行设计方案，也有众多不满足设计规范和要求的不可行设计方案。优化设计利用数学手段，按预定的设计目标，从设计方案集中选出一个*好的可行设计方案。由于结构优化设计与传统结构设计采用的是相同的结构分析理论、同样的计算公式，遵守的是同样的设计规范和设计要求，因而优化设计所得的设计方案，不但是传统设计中可行的设计方案，而且是众多可行方案中*优的设计方案。
　　1.2结构优化设计的数学模型
　　根据例1.1的分析可以看出，结构优化设计的数学描述包含三个基本要素：设计变量、目标函数和约束条件。下面对它们作具体的讨论。
　　1.2.1设计变量
　　一个结构的设计方案是由若干个参数来描述的，这些参数可以是构件的截面尺寸几何参数，如面积、惯性矩等，也可以是结构的形状布置几何参数，如高度、跨度等，还可以是结构材料的力学或物理特性参数。这些参数中的一部分是按照某些具体要求事先给定的，它们在优化设计过程中始终保持不变，称为预定参数；另一部分在优化设计过程中是可以变化的、需要设计人员确定的参数，称为设计变量。在式(1.1.7)中P、B、t、ρ、[σ]是预定参数，H、d这两个待定参数是设计变量。设计变量的个数称为*优化问题的维数，对n维*优化问题的设计变量x1，x2， ，xn常用列向量表示成x=[x1，x2， ，xn]T。
　　设计变量的个数越多，结构优化问题越复杂，所需要的计算时间越长，但设计的自由度越大，可望获得的结果越好。因此设计者要精心选择那些对优化结果*有影响的参数作为设计变量，合理选择设计变量的数目。
　　在优化设计中，设计变量可以是允许在连续区间取值的连续变量，也可以是只能在某些离散值中取值的离散变量。例1.1中，圆管直径d允许在0.1～0.3m取任意值，即是连续设计变量。实际上，圆管都是从工厂中成批按一定的规格生产的，其直径也许只能在0.10m、0.11m、0.12m等有限个不同的尺寸中进行选择，即是离散设计变量。在很多情况下，按离散设计变量优化得到的结果更符合工程实际，但优化问题求解的难度要大得多，需要采用专门的方法。设计者为了简化计算，有时权宜地视为连续变量，而在*后决定方案时，再选取*为接近的离散值，但这往往只能得到一个接近*优解的设计方案。
　　1.2.2目标函数
　　结构优化设计中表示设计方案优劣标准的数学表达式称为目标函数。它是所有设计变量的函数，对n个设计变量的优化问题，目标函数可写成f(x)=f(x1，x2， ，xn)。目标函数是用来作为选择“*优设计”的标准的，故应代表结构的某个*重要的特征或指标。结构的造价、体积、重量、刚度、承载能力、自振频率、振幅等都可以根据需要作为优化设计中的目标函数。例如，航空工业中的飞行器优化设计，一般取重量为目标函数，希望一个飞行器设计得尽可能轻，以便节省燃料，使飞行器达到更高的飞行高度和更快的飞行速度；土木、水利工程中的结构，建造成本比较重要，因而通常取造价为目标函数；机械工业中的许多零部件设计，常常以应力集中系数为目标函数，因为降低了应力集中，结构的抗疲劳和断裂能力就可提高，结构的使用寿命也就得到延长；对动力基础的设计，关键在于使机器的运转处于*佳状态，可把结构的振幅*小或机器与结构之间的相对振幅*小取作目标函数；等等。总之，目标函数随着问题的要求不同，表现的形式也是不一样的，因此，具体问题需进行具体分析。
　　1.2.3约束条件
　　在结构优化设计中应该满足的某些限制条件，称为约束条件。它反映了有关设计规范、计算规程、施工、构造等各方面的要求，有的约束条件还反映了设计人员的意图。结构优化时受到的约束条件可以分成两类。一类是直接加在设计变量上的尺寸约束。如例1.1中对H和d的取值范围的约束。这种约束往往来源于设计规范、生产工艺等对设计变量在几何尺寸上的要求，而且通常是对取值范围的限制，因此也称为几何约束或界限约束。由于这类约束是直接加在设计变量上的，所以往往是以显式出现的，比较简单、易处理。另一类是加在结构性态变量上的约束，如关于结构位移、应力、自振频率、失稳临界荷载等的约束，称为性态约束。例1.1中的式(1.1.4)和式(1.1.5)，分别是对杆件应力和失稳临界应力的约束，就是性态约束。在这个例子中，由于结构十分简单，可以写出结构在外荷载下的应力及结构稳定临界应力的显式表示，因此约束是显式的。一般情况下，结构的性态变量要经过复杂的结构分析才能得到，与设计变量之间的关系是隐式的。因此，性态约束一般是隐式约束。
　　结构优化设计中约束条件绝大部分以不等式的形式出现，称为不等式约束。但是，在有些描述中也会有以等式形式出现的等式约束。
　　1.2.4结构优化设计的数学表达式
　　综合以上分析，结构优化设计问题的一般数学表达式可写为
　　(1.2.1)
　　式中，gi(x)(i=1，2， ，m)为不等式约束函数；hj(x)(j=1，2， ，l)为等式约束函数。
　　1.2.5结构优化问题的分类
　　式(1.2.1)表示的数学问题称为*优化问题或数学规划问题。当l=m=0时称为无约束*优化问题，实际上就是普通的函数极值问题；否则称为有约束*优化问题。在有约束*优化问题中，等式约束的数目l必须小于设计变量的数目n。当l=n时，问题的解是唯一的，就没有优化的意义；如果l>n，则*优化问题无解。当目标函数和所有约束函数均为设计变量的线性函数时，*优化问题是线性规划问题；否则是非线性规划问题。
　　式(1.2.1)中只有一个目标函数，称为单目标优化问题；在一些实际问题中，可能需要同时实现几个目标的优化，这时目标函数就不止一个，这类问题称为多目标优化问题，它的一般表达式为
　　(1.2.2)
　　式中，F(x)是目标函数向量，其元素是p个标量分目标函数fi(x)(i=1，2， ，p)。考虑设计变量x所代表的结构几何特征，结构优化问题一般可分为尺寸优化、形状优化和拓扑优化三类。
　　尺寸优化中设计变量x代表的是结构的几何尺寸，如桁架杆件的横截面面积或者板的厚度。图1.2(a)所示为以桁架杆件的横截面面积为设计变量的尺寸优化问题。
　　形状优化中设计变量x代表结构的外形或部分边界轮廓。例如，将桁架中的节点位置取成设计变量，修改这些设计变量时，桁架形状发生变化，

目录
第1章 结构优化设计的基本概念 1
1.1 传统结构设计与结构优化设计 1
1.2 结构优化设计的数学模型 3
1.2.1 设计变量 4
1.2.2 目标函数 4
1.2.3 约束条件 4
1.2.4 结构优化设计的数学表达式 5
1.2.5 结构优化问题的分类 5
1.3 结构优化问题的几何表示 7
1.4 结构优化设计的求解途径 7
1.5 结构优化设计的发展概况 9
第2章 *优化问题的数学基础 11
2.1 向量与矩阵 11
2.1.1 向量的范数和内积 11
2.1.2 矩阵与二次型 12
2.1.3 向量与矩阵序列的极限 14
2.2 多元函数的可微性与展开 15
2.2.1 方向导数与梯度 15
2.2.2 函数的泰勒展开与黑塞矩阵 16
2.2.3 向量值函数的雅可比矩阵 17
2.3 凸集与凸函数 18
2.3.1 凸集 18
2.3.2 凸函数 19
2.3.3 凸规划 21
2.4 *优性条件 21
2.4.1 局部*优解和全局*优解 21
2.4.2 无约束优化问题的*优性条件 22
2.4.3 等式约束优化问题的*优性条件 25
2.4.4 不等式约束优化问题的*优性条件 27
2.4.5 一般约束优化问题的*优性条件 31
第3章 迭代算法的概念与一维搜索 33
3.1 数值迭代算法一般概念 33
3.1.1 迭代算法的一般步骤 33
3.1.2 算法的收敛性 34
3.1.3 算法的终止准则 34
3.2 搜索区间与单峰函数 35
3.3 精确一维搜索的试探法 36
3.3.1 试探法的一般步骤 36
3.3.2 斐波那契法 38
3.3.3 0.618 法 41
3.4 精确一维搜索的插值法 44
3.4.1 二次插值法 44
3.4.2 三次插值法 48
3.5 不精确一维搜索方法 51
3.5.1 Goldstein 准则 51
3.5.2 Wolfe 准则 52
3.5.3 Goldstein 和 Wolfe 不精确一维搜索方法 52
3.5.4 Armijo 不精确一维搜索方法 52
第4章 无约束优化问题的解法 54
4.1 *速下降法 54
4.2 共轭梯度法 57
4.2.1 共轭方向与共轭方向法 57
4.2.2 共轭梯度法介绍 61
4.3 牛顿法 64
4.4 拟牛顿法 69
4.4.1 拟牛顿条件 69
4.4.2 DFP 算法 70
4.4.3 BFGS 算法 72
4.5 步长加速法 74
4.6 方向加速法 77
4.7 单纯形法 83
第5章 线性规划与二次规划问题的解法 89
5.1 线性规划问题的数学模型 89
5.2 线性规划问题基本解的概念与性质 91
5.3 线性规划问题的解法 94
5.3.1 单纯形解法 94
5.3.2 修正单纯形法 100
5.4 二次规划的数学模型与*优性条件 107
5.5 二次规划问题的解法 108
5.5.1 等式约束二次规划问题的解法 108
5.5.2 起作用集法 111
5.5.3 Lemke 方法 115
第6章 非线性规划问题的解法 121
6.1 约坦狄克可行方向法 121
6.2 梯度投影法 125
6.3 既约梯度法 130
6.4 复形法 135
6.5 罚函数法 139
6.5.1 罚函数法的一般概念 139
6.5.2 外点法 140
6.5.3 内点法 144
6.5.4 混合法 147
6.6 广义乘子法 148
6.6.1 等式约束问题的广义乘子法 149
6.6.2 不等式约束问题的广义乘子法 151
6.7 序列线性规划法 155
6.7.1 序列线性规划法的一般解法 155
6.7.2 切平面法 158
6.7.3 运动极限法 160
6.8 序列二次规划法 160
6.9 凸线性化与移动渐近线法 162
6.10 拉格朗日对偶规划 165
第7章 智能优化算法 169
7.1 模拟退火算法 169
7.1.1 模拟退火算法的基本思想与过程 169
7.1.2 模拟退火算法的关键参数与操作 170
7.2 遗传算法 172
7.2.1 遗传算法的基本思想与步骤 172
7.2.2 遗传算法的关键参数与操作 173
7.2.3 加速微种群遗传算法 176
7.3 粒子群算法 179
7.3.1 粒子群算法的基本思想与过程 179
7.3.2 粒子群算法的关键参数与操作 180
第8章 多目标优化方法 184
8.1 多目标优化问题的数学模型 184
8.2 多目标优化问题解的概念 185
8.3 多目标优化问题的一般解法 186
8.3.1 约束法 186
8.3.2 分层序列法 187
8.3.3 评价函数法 188
8.4 基于模糊贴近度的多目标优化方法 189
8.4.1 模糊集与模糊贴近度 189
8.4.2 多目标优化的模糊贴近度解法 190
8.5 基于灰色关联度的多目标优化方法 191
8.5.1 灰色系统与灰色关联度 191
8.5.2 多目标优化问题的灰色关联度解法 191
8.6 多目标优化的合作博弈模型与纳什仲裁解法 192
第9章 *优准则法 193
9.1 满应力设计 193
9.1.1 应力比法 193
9.1.2 齿行法 199
9.2 桁架满位移设计 202
9.3 能量准则法 209
9.4 渐进结构优化法 211
第10章 结构设计灵敏度分析与结构重分析 216
10.1 差分法计算设计灵敏度 216
10.2 解析法计算设计灵敏度 217
10.3 拟荷载的解析计算 219
10.3.1 平面桁架单元 219
10.3.2 平面等参单元 221
10.4 结构重分析的一般方法 224
10.4.1 扰动法 224
10.4.2 组合逼近法 225
10.4.3 预条件共轭梯度法 226
10.5 结构重分析的代理模型 229
10.5.1 多项式响应面模型 229
10.5.2 径向基函数模型 230
10.5.3 克里金模型 231
第11章 结构优化设计的工程应用 235
11.1 钢筋混凝土基本构件的优化设计 235
11.1.1 矩形截面简支梁的优化设计 235
11.1.2 轴心受压矩形截面柱的优化设计 237
11.2 实体重力坝断面优化设计 239
11.2.1 实体重力坝断面优化设计数学模型 239
11.2.2 重力坝深层抗滑稳定安全系数计算 241
11.2.3 工程算例 243
11.3 拱坝体形优化设计 244
11.3.1 拱坝体形的几何描述 245
11.3.2 拱坝体形优化设计数学模型 247
11.3.3 工程算例 249
11.4 土石坝断面优化设计 255
11.4.1 岩基上混凝土面板堆石坝断面优化设计 256
11.4.2 覆盖层上混凝土面板堆石坝断面优化设计 259
11.4.3 土质心墙堆石坝断面优化设计 263
主要参考文献 267