第一篇 空间帆板展开动力学与控制
第1章 绪论 1：空间帆板展开动力学与控制
1.1 研究目的和意义
随着人类对太空的不断探索以及空间科学技术的飞速发展，航天器的空间任务日趋多样化，部件结构越来越复杂化。为满足航天器轻量化、运输载荷有效化以及发射成本低耗化等的要求，轻质和柔性附件在航天器中大量使用。航天器对空间定位、机械臂抓获等作业任务的要求越来越高，铰链之间的摩擦、间隙等非光滑因素对展开机构动力学的影响愈发重要。柔性问题和摩擦等非光滑问题已经成为当前航天器动力学的研究热点，同时也是难点之一。帆板 (太阳阵) 是航天器的重要部件之一，它为航天器的在轨工作提供电力。航天任务的多样化和航天器部件的复杂化往往意味着需要在轨消耗更多能源，这就要求太阳阵尺寸足够大且质量轻，因此现行航天器通常带有大型柔性太阳阵。太阳阵在发射入轨前通常处于收拢状态，入轨后通过释放压紧机构并依靠展开机构动作，从而实现各基板的展开与锁定。只有在太阳阵顺利实现展开与锁定动作后，航天器才能获得足够的动力来开展正常的空间活动。太阳阵的展开与锁定是航天器入轨后极为关键的操作之一，该过程伴随有复杂的动力学行为，需要进行精准的动力学建模与分析。此外，太阳阵和航天器本体之间存在着刚柔耦合，太阳阵的展开及锁定会对航天器本体姿态造成影响，航天器的姿态调整会引起太阳阵的弹性振动。综上所述，开展航天器太阳阵展开动力学与控制的研究具有重要意义和工程价值。
1.2 空间帆板展开动力学研究综述
帆板展开动力学的研究主要是以多体系统动力学理论为基础，以下针对多体系统动力学的研究和空间帆板展开动力学的研究进行简要综述。
1.2.1 多体系统动力学
多体系统动力学是一门主要研究机械系统动力学的学科。多体系统往往是由通过某种方式相互连接的多个物体 (包括质点、刚体、弹性体等) 组成的复杂系统。组成系统的各成员物体是以铰链等形式相互连接，受到来自不同方向或不定大小的力作用，这些力一方面源于铰链内的铰约束反力、摩擦力、接触力、重力、外力等，另一方面源于作动器如阻尼、弹簧等施加的力，当然也包括其他外部物体如机车、轮胎等施加的力。在多体系统中，铰链形式灵活多样，既有一些特殊用途的组合铰，也有一些比较常规的铰，如滑移铰、圆柱铰、旋转铰、球铰、胡克铰。多体系统所涉及的工程领域很宽泛，如船舶、汽车、航天、兵器、机器人等工程领域中有着大量的多体系统，诸如风电设备、机械臂、汽车底盘系统、航空发动机系统，绝大多数机械系统均可归结为多体系统。随着国民经济的快速发展以及国防建设的日趋完善，各行业各领域对机械系统产品动态性能的要求也越来越高。因此，对复杂的大型机械系统进行精细的动力学行为分析成为当前的热点和难点问题，多体系统动力学便在这样的工程背景下应运而生。多体系统动力学通常研究机械系统各部件的位移、速度、加速度以及力之间的复杂关系，并在综合理论力学、材料力学、分析动力学、计算数学等多领域学科的研究成果上，充分结合现代电子计算机的发展，经过多年不断地改善和经验累积，逐步发展成熟并自成体系。多体系统动力学在工业领域正在发挥着巨大的应用价值，是力学在工程上运用*为广泛的热点领域之一。纵观前人的研究可以发现，多体系统动力学分析的核心主要包括动力学建模方法和数值计算，而如何快速、精准地建立合理的系统动力学方程，并能够结合当前计算机技术进行高效的数值求解而且可以保证良好的通用性，这是非常具有挑战性的。
截至目前，国内外学者对多体系统动力学的探究主要历经了两个重要阶段，即多刚体系统动力学阶段和柔性多体系统动力学阶段。多刚体系统动力学是多体系统动力学的发展初始阶段，主要是依托经典力学而得以发展和成熟。伴随科技的不断进步和工程应用的日趋广泛，学者们已经在该领域开展了大量的研究工作，取得了非常可观而成熟的理论研究成果。著名学者 Wittenburg[1] 出版了第一本较为全面地阐述多刚体系统动力学的著作 Dynamics of Systems of Rigid Bodies，随后国际理论与应用力学联盟 (IUTAM) 主持了首届国际性的多体系统动力学学科交流会议，意味着多刚体系统动力学的建模方法已经得以基本解决。随着科学研究的深入与工程技术的跨越式进步，机械系统日益复杂，系统的运行速度越来越快，而对系统精度的要求却越来越高，以往的基于刚体假设的多体系统动力学的分析方法已经无法适用于现代工程系统的分析。在这种背景下，多体系统动力学理论得到了新发展，柔性多体系统动力学顺势诞生，并且得到不断发展，变得成熟。顾名思义，柔性多体系统通常是指由许多个刚体或者柔性体以某种连接方式 (如铰链等) 组成的复杂多体系统，它可以说是多刚体系统动力学的自然拓展和提升。在某种程度上可以认为柔性多体动力学是结构力学和多刚体动力学的组合，主要研究弹性体的振动变形与系统大范围空间运动的彼此作用或耦合，以及该耦合所产生的动力学效应。但是，柔性多体系统动力学又不等同于多刚体系统动力学或者结构动力学，其原因也是考虑到了上述耦合效应。因此从严格意义上说，柔性多体系统动力学综合了有限元理论、理论力学、牛顿经典力学、现代计算机技术和控制理论等多学科知识，是极富有工程应用价值和科学研究意义的新兴领域 [2]。
自 20 世纪 60 年代以来，人们对多体系统动力学的相关研究取得了显著成绩，诸多学者对多体系统的各个方面开展了深入研究。以下将分别对多体系统动力学两个发展阶段的主要研究成果进行简述。
对于多刚体系统动力学问题，目前各种成果层出不穷，如下所述。Wittenburg[1] 撰写了第一本系统阐述多体系统动力学的专著，将图论方法运用到了多体系统动力学的研究中，该著作已成为多刚体系统动力学中拉格朗日 (Lagrange) 方法的基石。Schiehlen[3] 首次提出了连续系统和有限元离散系统近似等效性的观点，并撰写了较为权威的多体系统动力学研究指南。Kane[4] 在综合分析并比较现有动力学原理的基础上，提出了兼具矢量力学和分析力学特点的 Kane 方法，并进一步探讨了 Kane 方法在航天器动力学等领域的具体应用。Nikravesh[5] 研究了多体系统建模和数值求解的计算机实现方法，出版了基于计算机辅助分析的多体系统仿真方面的专著。Haug[6] 提出了多刚体系统动力学的笛卡儿建模方法，为后续通用多体系统仿真分析软件的程序开发提供了理论基础。Roberson 等 [7] 从多体系统的发源、刚性体建模、线性方程求解以及计算机实现等方面进行了综述性的研究工作。贾书惠、刘延柱等 [8.11] 对多刚体系统动力学的建模和数值计算问题进行了理论研究，并各自出版了多体系统动力学的论著。休斯敦 (Huston) 和刘又午 [12，13] 在 Kane 研究成果的基础上，给出了多体系统拓扑结构的低序体阵列描述方法和空间物体相对位置的欧拉 (Euler) 参数表述方法，通过相关数学变换提出了具有计算机程式化的高效建模方法。Shabana[14] 对多刚体系统的动力学建模和数值求解问题进行了详细研究，并提出了卓有成效的计算多刚体系统动力学方法。de Jaln 等 [15] 给出了多刚体系统的完全笛卡儿坐标描述方法，提出了一种有效的多刚体系统动力学建模方法，并给出了高效的数值求解策略。Stejskal 等 [16] 从复杂的空间机构的虚拟样机设计角度出发，采用一种新的方法来描述高、低两类运动副的运动学约束，并基于此描述方法进一步讨论了动力学建模与数值仿真的相关问题。陈立平等 [17] 在对 ADAMS 通用多体计算程序进行概括性总结的基础上，详细介绍了多刚体系统动力学的建模方法在解决工程问题上的广泛应用。芮筱亭等 [18.20] 提出并逐渐完善了多体系统的离散时间传递矩阵方法，该方法解决了由多体系统自由度大、求解速度慢而引起的一系列的工程难题，实现了多刚体系统数值计算的高效性、快速性的工程要求。Wittenburg[21] 系统全面地介绍了多体系统建模的方法，并着重讨论了图论方法和接触碰撞动力学问题。Featherstone[22]分别针对开环和闭环的多刚体系统进行了正、逆向动力学建模分析，并讨论了接触碰撞问题的数值求解算法。
伴随国家经济的快速发展和国防建设的不断完备，多刚体系统模型逐渐难以满足工程精度要求，很多工程实际问题必须同时考虑机械部件的大范围运动和部件自身振动变形的相互耦合，因此关于多体系统中柔性体建模问题的研究工作愈发显得重要而紧迫。基于上述工程背景，柔性多体动力学的理论研究工作得到学者们的高度重视，并且不断发展与成熟，而且在实际工程中得到广泛运用。Huston、Bremer、黄文虎、洪嘉振和 Shabana 等 [23.28] 分别在各自撰写的著作中较为详细地探讨了柔性多体系统动力学的建模方法和数值求解策略，为柔性多体系统领域的研究工作奠定了理论基础。Geradin 和 Cardona[29] 采用有限元方法对柔性多体系统动力学的相关工程问题进行了研究和探索。艾伯哈特和胡斌等 [30] 综合了多刚体方法和有限元思想的优点，提出了有限元和多刚体混合建模方法，提高了柔性多体模型中接触问题的计算效率和精度。潘振宽等 [31] 探讨了多体系统动力学问题中的动态*优化设计问题，并对数值求解过程中模型的灵敏度问题展开了讨论。Wasfy 等 [32，33] 对柔性多体系统中的参数不确定性动力学问题开展了大量的研究工作。Wittbrodt[34] 提出了刚体有限元思想，通过一类铰坐标自动生成和数学相似变换方法建立了刚柔耦合系统的动力学方程。Eberhard 等 [35] 给出了柔性多体系统的一种模型缩聚方法，该方法是基于 Gramian 矩阵降阶方法和 Krylov 子空间方法的综合改进，能够明显地提高数值计算效率。齐朝晖等 [36，37] 给出了柔性多体系统动力学中非理想约束的建模方法，并重点讨论了多体系统铰内接触的摩擦处理方法和冗余约束的建模问题。Shabana 等 [28] 提出了柔性多体系统的大变形建模问题的绝对坐标法。胡海岩和田强等 [38.42] 采用绝对节点坐标法对多个柔性多体系统进行了动力学建模研究，并且对高效计算方法进行了深入研究。Yoo 等 [43，44] 基于绝对坐标法研究了包含梁、板、壳等大变形柔性构件的多体系统动力学问题。芮筱亭等 [45.48] 提出了弹性体变形的模态描述思想，建立了大范围运动弹性体的动力学方程，并基于弹性体全新的传递矩阵和传递函数给出了多体系统离散时间的传递矩阵法，实现了柔性多体模型的高效快速计算。方喜峰等 [49] 对多体系统的正、逆动力学问题展开研究，采用空间算子代数思想进行了模型设计与算法实现。蒋建平等 [50.52] 采用柔性多体系统动力学的相关研究理论，分别对航天器动力学、舰船机械设备隔振系统动力学，以及多体系统中的碰撞等问题进行了大量研究工作。以上研究成果显示，现有的多体系统动力学建模方法已经极大地促进了当代工业技术的发展步伐，成为解决各类复杂机械系统动力学问题的核心理论基础和强有力的计算手段。
以上给出了多体系统动力学建模方法的研究进展情况，下面简要介绍多体系统动力学的另一核心问题，即数值计算方法。一般意义上的多体系统的动力学模型是微分和代数混合方程组，其中微分方程部分为系统动力学方程，代数方程部分则为系统约束方程。该动力学模型的一般形式为
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