第1章 绪论
　　第1章作为本专著的绪论分成 3 节，内容做了如下安排：
　　(1)1.1 节共 7 个小节，除了 1.1.1 节概述了结构拓扑优化领域研究的发展历程，其余 1.1.2～1.1.7 共 6 个小节，分别以我们团队近期即自 2014 年以来的研究工作为背景，叙述了与之相关的国内外同行包括我们团队的研究进展；
　　(2) 1.2 节共 5 个小节，是对本专著用到的数学基础和相关算法的介绍，其中1.2.5 节叙述了我们团队提出的互逆规划的研究思路；
　　(3) 1.3 节概述了 ICM 方法前期研究和近期进展，其中近期进展也包括其他学术同行运用和发展 ICM 方法的研究成果。
　　1.1 结构拓扑优化总体和六个专题的发展简介
　　1.1.1 结构拓扑优化方法概述
　　结构拓扑优化的研究内容是指：在给出的边界条件下，考虑静、动载荷或多学科载荷环境的制约，满足一定的力学与多学科性能或成本约束，把结构成本或某类性能取为目标函数，通过寻求最优的目标函数，确定组成结构的构件或子域相互组合的空间位置。结构拓扑优化虽然借用了数学上拓扑的概念，但是它还不是结构的纯粹拓扑优化。
　　原因在于，数学的拓扑是比几何更抽象、更深奥的概念。通俗地讲，当几何图形连续改变形状后，那些保持不变的性质是拓扑。如果几何图形是用可变形橡胶体制作的，那么当橡胶体任意变形时，我们看到的不变量就是拓扑；因而拓扑不反映几何图形的形状和大小，只表达构成图形元素之间的相互关联。至于结构拓扑优化，并不是对于结构纯粹数学拓扑意义上的优化，其结果不仅体现了组成结构的数学拓扑的要素，也体现了组成结构的几何形状的要素，还体现了截面等要素。
　　由于上述结构最优构型的结果以结构拓扑为主导因素，同时还包括结构几何形状和截面等诸多辅助因素，所以被称为结构拓扑优化。因此，以为结构拓扑优化只包含拓扑一个因素，是望文生义导致的误解。另外，当今说到的结构拓扑优化，实际上不单是承受力学载荷，还要承受物理、化学等多方面的载荷作用，还要适用于复杂的工程环境，其实它常常是结构与多学科拓扑优化的简称。
　　如果把最优解称为合理的设计，那么，我们认为未达到最优的不可行或可行设计都是不合理的。因此，从工程观点理解结构拓扑优化，可以把连续体拓扑优化得到的最终构型理解成传递载荷或承受响应的合理路径 [1-3]。尽管结构拓扑优化问题的求解难度大，但由于其比尺寸及形状优化具有更大的优化空间，可以取得更好的经济效益，目前成为结构与多学科优化领域内的研究热点，并已在航空航天、汽车、机械、医学、材料及土木等诸多领域得到广泛应用。
　　对于结构拓扑优化问题的研究，可追溯到 19 世纪末和 20 世纪初，1890 年Maxwell 研究了桁架布局优化，1904 年 Michell[4] 研究了框架构型优化提出了相关的准则，这两项是针对离散结构或称为骨架结构 (包括桁架、框架等) 的结构拓扑优化的解析方法研究，但是只能给出少数几个典型问题的解。
　　尽管 1960 年，Schmit 倡导把数学规划和有限元方法结合起来求解结构优化问题 [5]，从而 Maxwell 和 Michell 开创的结构拓扑优化的超前研究可以由艰难的解析方法向可行的数值方法转换，可是，多数结构优化研究领域的学者们采用的方法与 Schmit 的方法类似，研究结构优化的层次从结构截面优化起步，经过结构几何形状优化，一点一点地向结构拓扑优化层次上提升。1964 年，Dorn[6] 提出了离散结构的基结构方法，获得了类似 Michell 结构的桁架。
　　1988 年，Bends.e 和 Kikuchi 提出均匀化方法 [7]，以设计区域替代了离散结构组成的基结构，于是出现了连续体的基结构；换句话说，不经意间，这篇文章成为原有的离散结构拓扑优化向新兴起的连续体结构拓扑优化的转捩点。关键之处在于，连续体结构拓扑优化的结果接近于骨架结构。不仅学者而且工程师都为之振奋，从此之后，各种方法如雨后春笋般大量涌现。
　　专著 [2] 综述了 2013 年以前研究结构拓扑优化的成果，下面罗列 2014 年以后重要的相关研究。
　　针对连续体结构拓扑优化最近发展的一类基于几何组件的方法，通过组件或孔洞的移动、变形及融合等进行拓扑优化，有可移动变形组件 (Moving MorphableComponents，MMC) 法 [8，9]、可移动变形孔洞 (Moving Morphable Void，MMV)法 [10]、移动可变形杆件法 [11]、移动节点法 [12]、几何投影法 [13，14] 等，Simone等通过分析上述方法，提出了一种统一的几何投影法 [15]。Fabian 等对基于几何组件的方法进行了综述 [16]。
　　等几何分析 (Isogeometric Analysis， IGA) 采用与几何描述相同的非均匀有理样条函数对物理场进行插值，直接在几何模型上进行分析，达到几何模型与力学分析模型的统一，不仅可省去传统有限元方法非常耗时的网格划分的前处理操作，还由于非均匀有理样条函数具有更高阶的连续性从而使 IGA 具有更高的计算精度及效率。替代基于传统的有限元分析方法，而是基于等几何分析方法，与结构拓扑优化各种方法相结合，即为基于等几何分析的结构拓扑优化方法，相关内容可参见综述文献 [17]。3D 打印 (或称增材制造) 技术的发展，使得复杂拓扑结构的制造成为可能，从而促进了多尺度拓扑优化的发展，多尺度结构在超轻、多功能材料及结构方面表现出比传统单一尺度的宏观结构具有更大优势，Wu 等 [18]对多尺度拓扑优化进行了综述。增材制造可实现复杂拓扑结构的制造，但也提出了一些工艺方面的限制，增材制造与拓扑优化可参考文献 [19]。
　　回顾结构拓扑优化的发展历程，值得指出的是四个重要的时间点：其一是 1890 年 Maxwell 和 1904 年 Michell，进行结构拓扑优化研究的滥觞点；
　　其二是 1960 年 Schmit，各个层次结构优化由解析方法向数值方法的过渡点；其三是 1964 年 Dorn，提出基结构使离散结构拓扑优化得以实施的可行点；其四是 1988 年 Bends.e 和 Kikuchi，由离散结构拓扑优化向连续体结构拓扑优化的转捩点。
　　上述第四点也是连续体结构拓扑优化基结构提出的时间点。
　　前面曾经提到，在 1988 年之后，连续体结构拓扑优化成为热点研究方向，至今仍然热度不减。值得思考的是，今后应当如何把这一领域的研究引向更多创新呢？也许第五个时间点还没有来临；也许只缘身在 “庐山”，虽然该时间点已来临，但是彼真面目，我们也许尚未能识别出来。
　　不管怎样，还是该回答今后应如何做。我们的想法是：既然方法繁多，宜回归基本概念，予以检验，进而以道驭术，寻求在基础上能够有所突破；从设计变量、目标函数、约束条件、相应的数学基础、目标函数和约束条件的交互关系、安全理念、各种方法的相互关系着手，主要从 7 个基本方面进行深入思考，柳暗花明，实现新的突破。
　　上述从 7 个基本方面进行的突破研究，演化出结构拓扑优化 ICM 方法近期进展的 7 个方面，在本专著的第 2～8 章进行了详细的阐述。为了方便读者阅读这 7 章，本专著第 1 章的 1.1.2～1.1.7 节和 1.2.5 节分别同这 7 章有所关联，这 7个小节分别进行了相关专题的简介，以便读者从文献综述的角度，了解本专著工作的源头。
　　1.1.2 拓扑变量由离散到连续化的必要性
　　1.1.1 节指出，结构拓扑优化以结构的数学拓扑为主导因素，同时还包括结构几何形状和截面等诸多辅助因素。这些因素也就分别涉及拓扑、几何形状和截面多层次的设计变量。其中，几何形状和截面设计变量在数学上都是求出数量大小的问题，即确定连续变量的值。而拓扑设计变量却不然，它是回答相关的构件或子域的离散指标：若保留则为 1，若删掉则为 0。换句话说，拓扑变量是个 0/1 的离散值。
　　由于结构拓扑优化的主导因素是由离散变量决定的，对应的优化问题则是以离散变量为主、连续变量为辅的数学规划，以往得心应手的连续变量问题寻优算法不再适用。如果直接应用数学规划的离散解法，那么会因为不连续优化问题导致组合爆炸的算法。其实这只是表面的困难，更深层次的困难在于，优化模型用到的结构成本和力学性能难以表达为离散拓扑变量的显函数，而这两类函数是优化模型中目标函数和约束函数的来源。原因是，力学性能对应的约束函数只与连续变量有关，而与取 0/1 值拓扑变量无关。
　　很显然，如果能把离散变量用连续变量取代，那么离散数学规划的组合爆炸困难不复存在。于是出现了以单元厚度、人工密度、微结构尺寸等代替离散拓扑变量的一批方法，其中挂靠于板的厚度为变厚度法 [20]、挂靠于单元人工密度 (亦称伪密度) 为变密度方法 [21]、挂靠于微结构尺寸为均匀化方法 [7]。这些方法都是把拓扑变量挂靠在低层次的优化变量上，赢得了建立结构拓扑优化模型的方便，也就是说，离散拓扑优化的组合爆炸和难以建模的两个困难都迎刃而解了。代价是：放弃了拓扑变量的独立性。
　　能不能不放弃拓扑变量的独立性，使之仍然保持在一个独立的结构拓扑优化的层次上？要做到这一点是有难度的，这个思考促使 ICM 方法的提出，在实现拓扑变量的连续化的同时，保持了连续拓扑变量应当具有的独立性。也就是说，我们团队的工作表明：拓扑变量的独立性与连续性可以兼顾，而且可以为建模和求解都带来好处。为此，本专著第 4 章详细说明由于拓扑变量独立性，方可以移植ICM 方法某些进展，推动变密度方法研究的发展。
　　ICM 方法除了拓扑变量的独立和连续这两个要素，还有第 3 个要素，即映射：利用连续光滑的磨光函数逼近阶跃函数，过滤函数逼近跨栏函数，以映射函数变换优化模型，实现了近似模型逼近精确模型，求解得到连续最优解之后，反演得到离散最优解 [1-3，22]。本专著将在第 2 章中围绕阶跃函数阐述第 3 个要素的本质及其发展。
　　ICM 方法除了采用了独立 I、连续 C 和映射 M 这 3 个措施，还倚重连续体基结构的概念，也就是说，共 4 个要素有机地构成了该方法。为了深入了解若干有代表性的方法，本专著以上述这 4 个要素为指标，逐一观察这些方法。下面把观察的结果列在表 1-1 中，供读者参考，以便于深入理解各种方法的本质和进行相互比较。
　　对于表 1-1 做如下四点说明：
　　(1) 采用双级基结构方法 (结构分析级和优化建模级都采用基结构) 或单级基结构方法 (仅在结构分析级采用基结构) 孰更优越？由于后者在寻优中需要预先设定移动边界/孔洞的部分拓扑或移动组件/孔洞的部分拓扑，因而这种人为的先验做法会影响到搜寻的结果；而前者不存在上述问题。可见，前者比后者的寻优
　　策略会更加合理。
　　表 1-1 结构拓扑优化典型方法的 4 个要素比较
　　Table 1-1 Comparison of four elements for typical methods of structural topology optimization
　　(2) 连续拓扑变量或离散拓扑变量孰更优越？前面已经指出，前者具有避免组合爆炸的算法和可以建立关于连续拓扑变量显式模型两个优点，而后者不具有这些优点，此处不复赘述。
　　(3) 独立拓扑变量或依附拓扑变量孰更优越？换一种说法：变量的 “独立连续” 与 “依附连续” 孰更优越？答案是前者，具体原因在本章、第 2 章和第 4 章里将有详细阐述。
　　(4) 建模中采用映射变换与否孰更优越？一般说，在建立优化模型时采用某种映射，通常会借助数学变换使寻优求解变得便捷。然而，各种方法是否有效和稳定，还是取决于方法本身，因此这个问题应当没有统一的答案。本专著将在第 2 章的 2.2 节里介绍我们通过连续函数逼近本质上为离散的阶跃函数，具体实现了 ICM 方法拓扑变量由离散向连续的延拓过程。