第 1章绪论
随着模糊集理论的发展 ,在描述和求解不确定、不精确、信息不完全的问题过程中 ,产生了多种拓展形式 .这种情形 ,既反映出模糊集理论研究与应用的活跃态势,又反映出客观对象的复杂性对于应用研究的反作用 .在这诸多的拓展形式中 ,直觉模糊集理论的研究最为活跃 ,也最富有成果 . L-模糊集、区间值模糊集等都可以与之相结合,从而形成 L-直觉模糊集、区间值直觉模糊集等 .
1.1引言
人工智能主要研究用人工的方法和技术 ,模仿、延伸和扩展人的智能 ,实现机器智能 .人工智能可以分成两大类：一类是符号智能 ,一类是计算智能 .符号智能是以知识为基础 ,通过推理进行问题求解 ,也即传统意义上的人工智能 .计算智能是以数据为基础 ,通过训练建立联系 ,进行问题求解 .以模糊数学为基础的模糊系统以及人工神经网络、遗传算法、进化程序设计、人工生命等都属于计算智能 .
模糊系统是一种基于知识或基于规则的系统 .模糊数学是运用数学方法研究和处理模糊性现象的一门数学新分支 .它以 “模糊集合论 ”为基础 .模糊数学提供了一种处理不确定性和不精确性问题的新方法 ,是描述人脑思维处理模糊信息的有力工具 .它既可用于 “硬”科学方面 ,又可用于 “软”科学方面 .
ZAdeh教授多年来致力于 “计算机 ”与 “大系统 ”的矛盾研究 ,集中思考了计算机为什么不能像人脑那样进行灵活的思维与判断问题 .尽管计算机记忆超人 ,计算神速 ,然而当其面对外延不分明的模糊状态时 ,却 “一筹莫展 ”.可是 ,人脑的思维 ,在其感知、辨识、推理、决策以及抽象的过程中 ,对于接受、储存、处理模糊信息却完全可能 .计算机为什么不能像人脑思维那样处理模糊信息呢？其原因在于传统的数学 ,例如康托尔集合论 (CAntor’s sets),亦称为经典集合论 ,不能描述 “亦此亦彼 ”现象 .集合是描述人脑思维对整体性客观事物的识别和分类的数学方法 .康托尔集合论要求其分类必须遵从形式逻辑的排中律 ,论域 (即所考虑的对象的全体 )中的任一元素要么属于集合 A,要么不属于集合 A,两者必居其一 ,且仅居其一 .这样 , CAntor集合就只能描述外延分明的 “分明概念 ”,只能表现 “非此即彼 ”,而对于外延不分明的 “模糊概念 ”则不能反映 .
所谓模糊现象 ,是指客观事物之间难以用分明的界限加以区分的状态 ,它产生于人们对客观事物的识别和分类之时 ,并反映在概念之中 .外延分明的概念 ,称为分明概念 ,它反映分明现象 .外延不分明的概念 ,称为模糊概念 ,它反映模糊现象 .一般说来 ,分明概念是扬弃了概念的模糊性而抽象出来的 ,是把思维绝对化而达到的概念的精确和严格 .然而模糊集合不是简单地扬弃概念的模糊性 ,而是尽量如实地反映人们使用模糊概念时的本来含义 .这是模糊数学与普通数学在方法论上的根本区别 .
模糊数学产生的直接动力 ,与系统科学的发展有着密切的关系 .在多变量、非线性、时变的大系统中 ,复杂性与精确性形成了尖锐的矛盾 . ZAdeh教授从实践中总结出这样一条互克性原理： “当系统的复杂性日趋增长时 ,我们做出系统特性的精确 ,然而有意义的描述能力将相应降低 ,直至达到这样一个阈值 ,一旦超过它 ,精确性和有意义性将变成两个几乎互相排斥的特性 .”这就是说 ,复杂程度越高 ,有意义的精确化能力便越低 .复杂性意味着因素众多、时变性大 ,其中某些因素及其变化是人们难以精确掌握的 ,而且人们又常常不可能对全部因素和过程都进行精确的考察 ,而只能抓住其中主要部分 ,忽略掉所谓的次要部分 .这样 ,在事实上就给对系统的描述带来了模糊性 .常规数学方法的应用对本质上是模糊系统的分析来说是不协调的 ,它将引起理论和实际之间的很大差距 .因此 ,必须寻找到一套研究和处理模糊性的数学方法 .这就是模糊数学产生的历史必然性 .模糊数学用精确的数学语言去描述模糊性现象 ,它代表了一种与基于概率论方法处理不确定性和不精确性的传统不同的思想 ,不同于传统的新的方法论 .它能够更好地反映客观存在的模糊性现象 ,因而成为描述模糊系统的有力工具 .
ZAdeh教授于 1975年所发表的长篇论文《语言变量的概念及其在近似推理中的应用》提出了语言变量的概念并探索了它的含义 .模糊语言的概念是模糊集合理论中最重要的发展之一 ,语言变量的概念是模糊语言理论的重要方面 .语言概率及其计算、模糊逻辑及近似推理则可以当作语言变量的应用来处理 .人类语言表达主客观模糊性的能力特别引人注目 ,或许从研究模糊语言入手就能把握住主客观的模糊性 ,找出处理这些模糊性的方法 .这一理论和方法对控制理论、人工智能等作出了重要贡献 .
模糊数学诞生至今仅短短的几十年 ,然而它发展迅速、应用广泛 .它涉及纯粹数学、应用数学、自然科学、人文科学和管理科学等方面 .在人工智能、自动控制、信息处理、图像识别、经济学、心理学、社会学、生态学、语言学、管理科学、医疗诊断、哲学研究等领域中 ,都得到广泛应用 .把模糊数学理论应用于决策研究 ,形成了模糊决策技术 .只要经过仔细深入研究就会发现 ,在多数情况下 ,决策目标与约束条件均带有一定的模糊性 ,对复杂大系统的决策过程尤其是如此 .在这种情况下,运用模糊决策技术 ,会显得更加自然 ,也将会获得更加良好的效果 .
我国学者对模糊数学的研究始于 20世纪 70年代中期 ,将模糊数学理论应用于气象预报、中医医疗诊断、地质探矿、生态环境、企业管理、生物学、心理学等领域,取得了一系列较好的应用成果 ,标志着我国将模糊集理论应用于人工智能、知识处理领域已形成一个体系 .
1.2模糊集概述
德国数学家 CAntor于 19世纪末创立了集合论 ,在 CAntor的集合论中 ,对于在论域中的任何一个对象 (元素 ),它与集合之间的关系只能是属于或者不属于的关系 ,即一个对象 (元素 )是否属于某个集合的特征函数的取值范围被限制为 0和 1两个数 .这种二值逻辑已成为现代数学的基础 .
人们在从事社会生产实践、科学实验的活动中 ,大脑形成的许多概念往往都是模糊概念 .这些概念的外延是不清晰的 ,具有亦此亦彼性 .例如 ,“肯定不可能 ”“极小可能 ”“极大可能 ”等.然而只用经典集合已经很难刻画如此多的模糊概念了 .随着社会和科学技术的发展 ,人们在对某个事情或事件进行判断、推理、预测、决策时,所遇到的大部分信息常常是不精确的、不完全的或模糊的 ,这就要求人们在计算机中模拟人的智能行为时 ,计算机能够处理这类信息 .为此 ,在 CAntor的集合论的基础上 ,美国加利福尼亚大学控制论专家 ZAdeh教授于 1965年发表了关于模糊集合的第一篇开创性论文 ,由此建立了模糊集理论 .在模糊集中 ,一个对象 (元素 )是否属于某个模糊集的隶属函数 (特征函数 )可以在 [0, 1]中取值 ,这就突破了传统的二值逻辑的束缚 .模糊集理论使得数学的理论与应用研究范围从精确问题拓展到了模糊现象的领域 .模糊集理论在近代科学发展中有着积极的作用：它为软科学 (如经济管理、人工智能、心理教育、医学等 )提供了数学语言与工具 ;它的发展使计算机模仿人脑对复杂系统进行识别判决得以实现 ,提高了自动化水平 . 1975年, MAmdAni和 AssiliAnl创立了模糊控制器的基本框架 ,并将模糊控制器用于控制蒸汽机 .这是关于模糊集理论的另一项开创性研究 ,它标志着模糊集理论有其实际的应用价值 .
近年来兴起的模糊推理方法是针对带有模糊性的推理而提出的 ,模糊控制的理论基础核心就是模糊推理理论 .通过用模糊集表示模糊概念 , ZAdeh于 1973年提出了著名的推理合成规则算法 ,即 CRI(compositionAl rule of inference)算法 .随后 , MAmdAnit和 ZimmermAnn以及 Wuf分别对 CRI方法做了进一步的讨论 .模糊推理一经提出 ,立即引起了工程技术界的关注 . 20世纪 70年代以后各种模糊推理方法纷纷被提出 ,并被应用于工业控制与家电的制造中 ,取得了很大的成功 .
模糊集理论的核心思想是把取值仅为 1或 0的特征函数扩展到可在闭区间 [0,1]中任意取值的隶属函数 ,而把取定的值称为元素 x对集合的隶属度 .下面简要介绍模糊集的基本概念 .
定义 1.1(模糊集 )设 U为非空有限论域 ,所谓 U上的一个模糊集 A,即一个从 U到 [0, 1]的一个函数 μA(x): U → [0, 1],对于每个 x ∈ U, μA(x)是 [0, 1]中的某个数 ,称为 x对 A的隶属度 ,即 x属于 A的程度 ,称 μA(x)为 A的隶属函数 ,称 U为 A的论域 .
如给 5个同学的性格稳重程度打分 ,按百分制给分 ,再除以 100,这样给定了一个从域 X = {x1, x2, x3, x4, x5}到 [0, 1]闭区间的映射 .
x1 : 85分,μA(x1)=0.85
x2 : 75分,μA(x2)=0.75
x3 : 98分,μA(x3)=0.98
x4 : 30分,μA(x4)=0.30
x5 : 60分,μA(x5)=0.60
这样确定出一个模糊子集 A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.30, 0.60).
模糊集完全由隶属函数所刻画 , μA(x)的值越接近于 1,表示 x隶属于模糊集合 A的程度越高 ; μA(x)越接近于 0,表示 x隶属于模糊集合 A的程度越低 ;当 μA(x)的值域为 {0,1}时, A便退化成为经典集合 ,因此可以认为模糊集合是普通集合的一般化 .
模糊集可以表示为以下两种形式：
(1)当 U为连续论域时 , U上的模糊集 A可以表示为
卜
A =μA(x)/x, x ∈ U
U
(2)当 U= {x1, x2, , xn }为离散论域时 ,
nA = LμA(xi)/xi,xi ∈ Ui=1
定义 1.2(模糊集的运算 )若 A, B为 X上两个模糊集 ,它们的和集、交集和余集都是模糊集 ,其隶属函数分别定义为
(AVB)(x) = mAx(μA(x),μB(x))
(A^B)(x) = min(μA(x),μB(x))
AC(x)=1 . μA(x)
关于模糊集的和、交等运算 ,可以推广到任意多个模糊集中去 .
定义 1.3(λ截集 )若 A为 X上的任一模糊集 ,对任意 0《 λ《 1,记 Aλ = {x|x ∈ U, μA(x) . λ},称 Aλ为 A的 λ截集 .
Aλ是普通集合而不是模糊集 .由于模糊集的边界是模糊的 ,如果要把模糊概念转化为数学语言 ,需要选取不同的置信水平 λ (0《 λ《 1)来确定其隶属关系 . λ截集就是将模糊集转化为普通集的方法 .模糊集 A是一个具有游移边界的集合 ,它随 λ值的变小而增大 ,即当 λ1 <λ2时,有 Aλ1 . Aλ2.
对任意 A ∈ F (U),称 A1(即 λ=1时 A的 λ截集 )为 A的核 ,称 supp(A)={x| A(x) >0}为 A的支集 .模糊关系是模糊数学的重要概念 .普通关系强调元素之间是否存在关系 ,模糊关系则可以给出元素之间相关的程度 .模糊关系也是一个模糊集合 .定义 1.4(模糊关系 )设 U和 V为论域 ,则 U × V的一个模糊子集 R称为从 U到 V的一个二元模糊关系 .对于有限论域 U= {u1, u2, , um }, V = {v1, v2, , vn },则 U对 V的模糊关系 R可以用一个矩阵来表示： R=(rij)m×n, rij =μR(ui,vj )
隶属度 rij =μR(ui,vj)表示 ui与 vj具有关系 R的程度 .特别地 ,当 U = V时, R称为 U上的模糊关系 .如果论域为 n个集合 (论域 )的直积 ,则模糊关系 R不再是二元的 ,而是 n元的 ,其隶属函数也不再是两个变量的函数 ,而是 n个变量的函数 .
定义 1.5(模糊关系的合成 )设 R, Q分别是 U × V, V × W上的两个模糊关系 ,R与 Q的合成指从 U到 W上的模糊关系 ,记为 R . Q,其隶属函数为
μR.Q(u, w)= V (μR(u, v)^μQ(v, w))
u∈V
特别地 ,当 R是 U × U的关系 ,有
R2 Rn = Rn.1 . R
= R . R,
利用模糊关系的合成 ,可以推论事物之间的模糊相关性 .
模糊集理论最基本的特征是：承认差异的中介过渡 ,也就是说承认渐变的隶属关系 ,即一个模糊集 F是满足某个 (或几个 )性质的一类对象 ,每个对象都有一个互不相同的隶属于 F的程度 ,隶属函数给每个对象分派了一个 0或 1之间的数 ,作为它的隶属度 .但是要注意的是隶属函数给每个对象分派的是 0或 1之间的一个单值 .这个单值既包括了支持 x ∈ X的证据 ,也包括了反对 x ∈ X的证据 ,它不可能表示其中的一个 ,更不可能同时表示支持和反对的证据 .
1.3直觉模糊集
模糊信息处理技术已渐趋成熟 ,其局限性也已逐渐显现 .进而 ,引起模糊集理论出现了各种拓展 ,如区间值模糊集、 VAgue集、直觉模糊集、 L-模糊集等 .这种情形,既反映出模糊集理论研究与应用的活跃态势 ,又反映出客观对象的复杂性对于应用研究的反作用 .
在模糊集的诸多的拓展形式中 ,直觉模糊集理论的研究最为活跃 ,也最富有成果. L-模糊集、区间值模糊集等都可以与之相结合 ,从而形成 L-直觉模糊集、区间值直觉模糊集等 .
1.3.1直觉模糊集的形成与发展
直觉模糊集 (intuitionistic fuzzy set, IFS)[1]最初由保加利亚学者 AtAnAssov于 1986年提出 ,是对 ZAdeh模糊集理论最有影响的一种扩充和发展 .
在语义描述上 ,经典的康托尔集合只能描述 “非此即彼 ”的 “分明概念 ”. ZAdeh模糊集 (ZFS)理论可以扩展描述外延不分明的 “亦此亦彼 ”的 “模糊概念 ”.直觉模糊集增加了一个新的属性参数 ——非隶属度函数 ,进而还可以描述 “非此非彼 ”的 “模糊概念 ”,亦即 “中立状态 ”的概念或中立的程度 ,更加细腻地刻画客观世界的模糊性本质 ,因而引起众多学者的关注 .
AtAnAssov在Fuzzy Sets And Systems等杂志发表的一组论文 [1.15],系统提出并定义了直觉模糊集及其一系列运算和定理 ,研究了直觉模糊集与 L-模糊集、区间值模糊集相结合 ,从而形成 L-直觉模糊集、区间值直觉模糊集等 ;提出了直觉模糊逻辑命题及 “与”“或”算子等 ,发展了直觉模糊逻辑的若干基本概念 . Gun和 Buehrer于 1993年提出的 VAgue集 [16] , Bustince等证明了 VAgue集是一种直觉模糊集 [17],并研究了直觉模糊关系的一些运算性质 [18,19]、直觉模糊集的构造和熵等 [20.25].
对于直觉模糊集的研究 ,最初十多年基本处于纯数学的角度 ,进入 21世纪后除继续从数学角度进行深入研究外 ,逐渐出现了相关应用研究 ,并形成了多个研究热点 .例如 ,直觉模糊集间的距离、直觉模糊熵、相似度等直觉模糊集之间的度量及应用 ,直觉模糊聚类分析 ,直觉模糊推理与应用 ,直觉模糊集在决策领域的应用等 .
EulAliA Szmidt等提出了直觉模糊集间的距离 [26]及以距离为基础的相似度 [27]; PrzemyslAw Grzegorzewski等研究了基于 HAusdor.度量的直觉模糊集之间的距离问题 [28,29]; Weiqiong WAng等给出了更一般的直觉模糊距离定义和几种新的距离量度 [30],并将其应用于模式识别 ; TAmAlikA ChAirA等提出用直觉模糊散度表示距
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