第1章运动稳定性的基本概念
稳定性的研究对象是系统的运动，它是系统运动受到扰动后的一种重要性质［114］。首先，1,1节引入描述系统运动的微分方程，并介绍几个典型运动的微分方程描述；1,2节给出了微分方程解的存在性与唯一性等一般性质，在此基础上，引入李雅普诺夫稳定性的概念。稳定性的概念，虽然在表面上看并不复杂，并被广泛地应用，但含义很深刻，很容易被误解；1,3节详细地阐述了李雅普诺夫稳定性的严格定义，并给出了清晰的说明，为了进一步理解概念，利用了数学分析中的εδ语言描述；最后，对不同稳定性的定义给出了示例说明。
1,1系统的微分方程描述与稳定性的初步概念〖1〗
1,1,1系统运动的微分方程描述
我们研究系统，总要定义系统内部的变量，然后分析它们之间的关系，对各种关系进行描述，其中最常用且最有力的一种数学描述就是微分方程。
微分方程是一个包含自变量、未知函数以及未知函数导数的方程。如果微分方程只有一个自变量（如一般的实际问题中时间t通常为自变量）就称为常微分方程；如果有两个或两个以上的自变量（如研究一个房间中的温度变化，除时间是自变量，温度在三维空间中的分布也是不同的，则三维坐标也是自变量）称为是偏微分方程［1026］。本书只研究常微分方程或方程组的稳定性问题。
系统中变量的变化一般称为系统的运动，如力学系统中的位置与速度的改变、机电系统中电压电流的增减等。系统的运动可以通过一组变量的变化来完全充分地表示出来，那么这组变量就称为系统的状态变量，记为
x1，x2，…，xn，对于力学系统可以取为广义坐标以及广义速度变量。称状态变量的向量形式x=［x1，x2，…，xn］T为状态向量。
系统的运动方程可以表示为如下一阶微分方程组的形式：
i=fi（t，x1，…，xn），i=1，…，n（1,1,1）
其中，x1，…，xn是t的未知函数；f1，…，fn是t，x1，…，xn的已知函数。方便起见，可以写为向量形式，即
=f（t，x）（1,1,2）
其中，t∈R，x=（x1，…，xn）T∈Rn（n维实欧氏空间）；f=（f1，…，fn）T∈Rn是定义在n+1维的（t，x）空间中某个区域Ω上的n维向量函数，即f：ΩRn+1→Rn。
有时也称式（1,1,2）为一个微分系统，称f为系统的向量场。如果f与t无关，即对于所有（t，x）Ω，f（t，x）=f（x），式（1,1,2）变为
=f（x）（1,1,3）
称为定常微分方程，所描述的系统称为自治的系统。否则，向量场f显含时间变量t，则称为非自治微分方程，所描述的系统称为非自治系统。
如果向量场函数f（t，x）可以写成线性的形式，则称为线性系统。
根据系统矩阵A是否随时间变化，可把线性系统分为自治的和非自治的，但对于线性系统一般称为定常的和时变的。
对于时变的线性系统具有如下形式：
=A（t）x（1,1,4）
其中，A（t）是n×n矩阵。
定常的线性系统具有如下形式：
=Ax（1,1,5）
假设x=φ（t）是定义在时间开区间I=（a，b）R上的可微函数（I可以是有限区间或者无限区间），对于一切t∈I，有（t，φ（t））∈ΩRn+1，并满足式（1,1,2），则有
（t）=f（t，φ（t））
成立，则称φ（t）为式（1,1,2）在I上的一个解。解x=φ（t）在（t，x）空间中的几何图形是一条曲线，称为式（1,1,2）的积分曲线，或称为系统的轨线。
我们知道，在航空航天、生物工程、社会经济等领域有大量的动态系统可以用常微分方程来描述，这些微分方程的轨线表现出了纷繁多姿的奇妙的动力学行为。其中，系统运动的稳定性就是最基本最重要的性质之一［1，2，19］。
下面举例来说明系统运动的概念，如状态、平衡点等，并简单提及运动稳定性的初步概念。
1,1,2稳定性的初步概念
运动稳定性的概念起源于力学系统，它刻画了一个刚体运动的平衡状态的性质。通常说一个平衡状态是稳定的，是指刚体处于静止的平衡状态，受到一个小的扰动力的作用偏离了平衡位置后，仍能回到原来的位置或者原来位置的附近；反之，如果它不能回到原来的位置或原来位置的附近，则称为是不稳定的。
例1,1,1如图1,1,1所示，小球在曲面上的运动，有两个静止的位置，位置A受到扰动力的影响，偏离了平衡位置后，将不能回到原来的位置，因此是不稳定的，而位置B是稳定的。
图1,1,1小球在曲面上的运动示意图
例1,1,2图1,1,2所示为简化了的物理中的下垂摆与倒立摆，文献中也称为平面数学摆的振动问题。其运动微分方程为
+glsinθ=0
其中，θ为摆杆相对于铅垂线的偏角；l为摆杆的长度；g为重力加速度。
图1,1,2下垂摆与倒立摆
图1,1,2（a）中，下垂摆的最低点是一个平衡位置，在此处，θ=0，
=0，如果球的初始速度为0，它将一直在这个位置上。如果受到一个扰动力的作用，偏离了平衡点，那么小球将在平衡点附近以一个小的角度摆动，这种现象一般称为稳定。再考虑图1,1,2（b），在倒立摆的最高点，此处也有θ=0，=0，显然也是一个平衡点，但是即使是受到一个非常小的扰动力的作用，小球也将偏离平衡点而达到新的位置，这种现象则称为不稳定。
再来考察图1,1,2（a），如果考虑到实际物理系统中存在的铰链摩擦和空气阻力，则描述运动的微分方程为
+2μ+k2sinθ=0（1,1,6）
其中，k为常数；μ为阻尼系数；0<μ<k。
在平衡点，小球受到扰动力的作用，进行摆动，由于阻尼力的作用，摆角将逐渐减小，最后减为0，即摆停在平衡位置上。系统在这一情况下当然是稳定的，但比无阻尼情况有更强的性质，我们称系统的平衡位置是渐近稳定的。
说明以上两个例子中所说的稳定性都是对于平衡点的稳定性，而在前面反复说过，我们所研究的是运动的稳定性，实际上，平衡点是一种特殊的运动形式，这里简单的例子是为了清晰地说明稳定性的初步概念，在后面将指出，对于任何一种系统的运动稳定性的讨论都可以转化为对另一个变形后系统的平衡点的稳定性的讨论。
1,1,3几个典型的运动微分方程
为了方便以后进一步的讨论说明，下面给出了一些描述系统运动的典型微分方程的例子［2，8，19，25］。
例1,1,3刚体的姿态运动问题。研究刚体由于惯性绕固定点的转动，即陀螺运动的欧拉情况，其运动微分方程为
A+（C-B）qr=0
B+（A-C）rp=0
C+（B-A）pq=0（1,1,7）
其中，p、q、r为瞬时角速度矢量ω=［p，q，r］T在活动坐标轴上的投影，这些坐标轴与刚体对于固定点的中心矢量主轴相重合；A、B、C是刚体对于这些轴的惯量矩。式（1,1,7）有特解为
p=p0=const，q=r=0（1,1,8）
令x=p-p0，y=q，z=r，则描述刚体转动的式（1,1,7）可转化为
A+（C-B）yz=0
B+（A-C）（x+p0）z=0
C+（B-A）（x+p0）y=0（1,1,9）
研究式（1,1,7）对于式（1,1,8）的运动稳定性，实际上等价于研究式（1,1,9）对于零平衡点的稳定性问题。
例1,1,4机械和电路的振动问题。机械系统和电路系统通常可以用微分方程（组）描述。一个典型的方程形式为二阶方程，即
+p（t，x，）=q（t），x∈R（1,1,10）
其中，p、q是已知函数。许多著名的振动方程都是式（1,1,10）的特殊形式，具体如下。
（1） 单自由度强迫线性振子方程：
+2μ+k2x=Acosωt
（2） 李纳（Lienard）方程：
+f（x）+g（x）=0
（3） 范德坡（Vander Pol）方程：
+μ（x2-1）+x=0
（4） 瑞利（Rayleigh）方程：
-μf（）+k2x=0
（5） 杜芬（Duffing）方程：
+2μ+k2x+ax3=Acosωt
（6） 希尔（Hill）方程：
+（α+φ（t））x=0，φ（t+T）=φ（t）
（7） 马蒂厄（Mathieu）方程：
+2μ+（a+bcosωt）x=0
式（1,1,10）可以写为标准型方程组，即
=y
=-p（t，x，y）+q（t）
（1,1,11）
例1,1,5生态问题。若有两个种群，它们的成员数分别为x和y。由于种群之间的相互作用和内部制约作用的影响，一般来说x和y的增长率都会与x和y有关，x≥0，y≥0，有
=f1（x，y）
=f2（x，y）（1,1,12）
式（1,1,12）一个重要的例子是VolterraLotka方程，即
=x（A-By）
=y（Cx-D）（1,1,13）
例1,1,6化学和生物化学问题。Prigogine和Lefever在1968年提出所谓Brusselator的三分子化学反应模型。设浓度分别为x和y的两种反应物质是空间均匀的，x≥0，y≥0，则有化学反应速率方程为
=a-（b+1）x+x2y
=bx-x2y（1,1,14）
BelousovZhabotinsky反应（1958）是一种存在周期性化学振荡行为的化学反应。Field和Noyes在1974年提出所谓的Oregonator模型去描述这种化学反应。它包含三种化学反应物质，假设浓度x、y、z是空间均匀的，则有反应速率方程为
=k1Ay-k2xy+k3Ax-2k4x2
=-k1Ay-k2xy+k5Bz
=k3Ax-k5z（1,1,15）
其中，x≥0；y≥0；z≥0；A、B、k1、k2、k3、k4、k5都为正常数。
例1,1,7生物学问题。在细胞中，令x=［x1，x2］T代表一种稳定蛋白质，y=［y1，y2］T代表这个蛋白质的活性形态。于是两个耦合的细胞中x和y的变化满足如下方程组：
1=A-Bx1-x1y21+δ1（x2-x1）
2=A-Bx2-x2y22+δ1（x1-x2）
1=Bx1+x1y21-y1+δ2（y2-y1）
2=Bx2+x2y22-y2+δ2（y1-y2）
（1,1,16）
1,2微分方程解的基本性质
研究系统运动的稳定性，首先要考察描述运动的微分方程的性质，尤其微分方程解的一般性质，如解的存在性、唯一性以及解对于初值的连续依赖性等。这些性质对于微分方程能否有效地描述系统运动是至关重要的。另外，对于一般的非线性微分方程，它的解的表达式一般是求不出来的。所以仅仅根据向量场函数来了解分析方程解的一般性质，在微分方程定性理论中也起着重要的作用［1559］。
本节简单叙述微分方程解的存在唯一性、可延拓性、解对于初值和参数的连续依赖性定理，并对自治系统与非自治系统解的性质做初步的分析，为稳定性概念的介绍作准备［57，19，56］。
考察微分方程组：
=f（t，x）
x（t0）=x0（1,2,1）
其中，时间t属于某开区间I=（t1，t2）（t1≥-∞；t2≤+∞）；状态向量x∈ΩRn；f：I×Ω∈Rn+1→Rn；f（t，x）是连续的向量函数。
1,2,1微分方程解的存在唯一性与可延拓性定理
首先看两个例子。
图1,2,1例1,2,1方程解的积分曲线
例1,2,1求初值问题=x2，x（0）=x0，（t，x）∈R2的解。
解利用初等积分法，可以得到：当x0≠0时，x（t）=x01-x0t；当x0=0时，x（t）=0。
由图1,2,1可以看出，当x0=0时，初值问题的解在（-∞，+∞）上存在；而当x0<0 1="" x0="" x0="">0时，此解在（-∞，1/x0）上存在。可见，虽然对于任何的x0∈R，本例中方程初值问题的解都
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