为了适应“计算物理一科学与工程计算一高性能计算”发展的需要，《抛物型方程定解问题的有限差分数值计算》专门为在计算机（尤其是超高速大型计算机）上大规模数值求解抛物型方程各种类型的适定问题而写。《抛物型方程定解问题的有限差分数值计算》将在解决实际问题计算过程中可能涉及到的各类问题尽可能地加以叙述，但主要是围绕典型方程所采用的有限差分方法的格式和技巧展开的。力求简明扼要，通俗易懂，学了能用。《抛物型方程定解问题的有限差分数值计算》共分10章，包括：抛物型方程定解问题的提出、有限差分方法的基础知识、求稳定性条件的方法、抛物型方程的差分格式、非线性抛物型方程、高于二阶的抛物型方程和抛物型方程组、退化抛物型方程、抛物型方程有限差分的并行计算、数值计算中的若干问题以及数值计算的实际应用之例。<br>    《抛物型方程定解问题的有限差分数值计算》可作为从事与抛物型方程相关的广大科技工作者的使用手册和高等院校的大学生和研究生学习“偏微分方程数值解”课程的参考书以及从事专业研究工作的参考资料。

    第二章 有限差分方法的基础知识<br>    2.1 引 言<br>    能用解析方法求解的抛物型偏微分方程是仅限于少数常系数的线性方程，绝大多数是不能用公式求通解的，必须采用近似方法。在各种不同的近似方法中，差分方法是最重要的方法之一。我们对要求的解不是函数的表达式，而只要求在空间、时间平面上某些点上的值。由于快速电子计算机的出现，这种方法的应用更为容易，且更为广泛，这就助长了有限差分方法的发展。差分方法是求空间时间平面上某些特定点的值，它是随着所选取的空间网格和时间步长而定的，其主要思想是用函数值的线性组合来代替导数，把微分方程变为函数值的线性代数方程，微分方程的边值问题就变成线性代数方程组的问题。<br>    由于椭圆型方程原则地区别于抛物型方程和双曲型方程，差分法对这两类微分方程的应用也有很大的差别。椭圆型方程的差分问题直接归结为解线性代数方程组，其主要问题是讨论解法（直接法和间接法）的好坏。而抛物型和双曲型方程（亦统称为发展方程或演化方程）是沿时间t轴“按步地”（或“按层地”）求解差分的问题，当然最终也是归结为求解线性代数方程组的问题。但它们的基本问题是每个差分方程的收敛性和稳定性，尤其是稳定性问题。由Lax等价定理告诉我们，对一个适定的线性的初值问题，对相容的差分逼近式来说，稳定性则是差分方程的解收敛于微分方程的解的充分必要条件。而抛物型差分方程的稳定性又要比双曲型差分方程麻烦得多，所以我们在第三章中专门介绍各种求稳定性条件的方法。<br>    用差分法解抛物型方程（对双曲型方程亦是如此）时所产生的困难基本上是两点：一是最简单格式，乍一看来，特别是从实用的观点看来是很诱惑人的，但对稳定因素特别敏感。为了保证收敛，必须对时间步长加上与空间步长有关的限制条件。二是从稳定性观点看来是很好的格式，实际应用时却不方便。所以出现了一系列的研究工作，提出了各种不同的格式。未必能指出哪个格式是绝对好的，每个格式都各有优缺点，针对不同的问题采用不同的差分格式，这正是我们要不断地研究和发展各种格式的意义所在。在通常的情况下，是要寻找较弱的条件限制，较高的精确度，较方便的编制程序和较少的机器计算时间的格式。要注意，不要追求逼近阶太高，以致逻辑复杂得没有必要；又如逻辑太简单而稳定性要求太严，以致机器计算的时间太多。总之，选取差分格式要全面地具体地考虑。苏联索伯列夫院士说得好，判别一个数值方法好坏的唯一原则是“每个解的数字值多少卢布”。

前言：计算学是科技进步的重要推动力量——浅谈计算物理和高性能计算学<br>第一章 定解问题的提出<br>1.1 引言<br>1.2 方程的建立<br>1.3 定解条件<br>1.4 抛物型方程的特征<br>1.5 方程举例<br><br>第二章 有限差分方法的基础知识<br>2.1 引言<br>2.2 差分方程的形成<br>2.2.1 离散化及由此产生的问题<br>2.2.2 离散化的主要途径<br>2.3 差分方程的基本要求<br>2.3.1 局部截断误差和相容性<br>2.3.2 离散误差和收敛性<br>2.3.3 舍入误差和稳定性<br>2.3.4 线性差分方程的Lax等价定理<br>2.3.5 其他一些概念<br><br>第三章 求稳定性条件的方法<br>3.1 引言<br>3.2 逋冀夥<br>3.3 矩阵方法（直接方法）<br>3.4 Fourier级数法（von Neumann条件）<br>3.5 Routh Hurwitz判别法<br>3.6 最大值原理<br>3.7 能量估计法（能量不等式方法）<br>3.8 启发式稳定性分析——内插原则<br>3.9 Hirt启发性方法<br><br>第四章 抛物型方程的差分格式<br>4.1 定义与记号<br>4．2 一维空间的抛物型方程<br>4．2．1 精确的差分公式推导<br>4．2．2 两层差分公式<br>4．2．3 三层差分公式<br>4．2．4 跳点法（Hopscotch Methods）<br>4．2．5 “显一隐”格式和“隐一显”格式<br>4．2．6 半显式格式（Saulyev非对称格式）<br>4．2．7 分组显式（GE）格式<br>4．2．8 Box格式<br>4．3 多维空间的抛物型方程<br>4．3．1 一维格式的自然推广<br>4．3．2 交替方向隐式法（ADI）<br>4．3．3 局部一维法（LOD）<br>4．3．4 分裂法<br>4．3．5 三角分裂法（TS）<br><br>第五章 非线性抛物型方程<br>5．1 一般情形<br>5．2 特例<br>5．3 线性化方法<br>5．3．1 Newton线性化法<br>5．3．2 Richtmyel·线性化法<br>5．3．3 三层方法<br>5．4 一类非线性抛物型方程差分迭代分析<br>5．4．1 简单迭代格式（Jacobi）<br>5．4．2 “追赶”迭代格式<br>5．4．3 超松弛迭代公式（S.O.R）<br><br>第六章 高于二阶的抛物型方程和抛物型方程组<br>6．1 一维的四阶抛物型方程<br>6．1．1 直接法<br>6．1．2 Richtmyer法<br>6．2 双抛物型方程<br>6．3 一维抛物型方程组<br>6．3．1 一种绝对稳定的经济格式（Crank-Nicolson格式）<br>6．3．2 高精度的交替计算格式<br>6．3．3 多层差分格式<br>6．4 非线性抛物型方程组的差分格式<br>6．5 耦合型方程组的差分格式<br>6．5．1 可压缩的Navier-Stokes方程组<br>6．5．2 不可压缩的Navie-Stokes方程组<br>6．5．3 定态平面流动的Navier-Stokes方程组<br><br>第七章 退化抛物型方程<br>7．1 线性退化抛物型方程的差分格式<br>7．1．1 一维问题<br>7．1．2 二维问题<br>7．2 Schrodinger·型方程的差分方法<br>7．2．1 线性情形<br>7．2．2 非线性情形<br>7．2．3 Zakharov方程<br>7．3 渗流方程的差分方法<br>7．3．1 一维模型方程<br>7．3．2 渗流运动方程<br>7．4 对流扩散方程差分方法<br>7．4．1 中心显式格式<br>7．4．2 修正中心显式格式<br>7．4．3 迎风差分格式<br>7．4．4 Samarskii格式<br>7．4．5 指数型差分格式<br>7．4．6 隐式格式<br><br>第八章 抛物型方程有限差分的并行计算<br>8．1 引言<br>8．2 分组显式（GE）方法<br>8．2．1 交替分组显式（AGE）方法<br>8．2．2 交替三点组显式（AGE-3）方法<br>8．3 显隐交替方法<br>8．3．1 交替分段显隐式（ASF-I）方法<br>8．3．2 交替分段Crank-Nicolson方法<br>8．4 二维问题的并行计算方法<br>8．4．1 引言<br>8．4．2 AGE方法<br>8．4．3 ABE-I方法<br>8．4．4 块ADI方法<br>8．4．5 交替差分块方法及其差分图<br><br>第九章 数值计算中的若干问题<br>9．1 线性代数方程组的数值计算<br>9．2 边界条件的处理<br>9．2．1 一维情形<br>9．2．2 二维情形<br>9．2．3 经济格式中的边界条件的处理<br>9．3 抛物型方程在球柱坐标下的问题<br>9．4 不等距网格<br>9．5 变系数和间断系数的问题<br><br>第十章 数值计算的实际应用之例<br>10．1 反应扩散方程之例——生物化学中的布鲁塞尔振子的数值计算<br>10．1．1 布鲁塞尔振子（Brusselator）<br>10．1．2 无扩散情形<br>10．1．3 带有扩散项情形<br>10．2 抛物与双曲耦合方程组之例——二维辐射流体力学方程组的数值计算<br>10．2．1 辐射流体力学方程组<br>10．2．2 差分格式<br>10．2．3 其它轴对称形式和数值例子<br>10．3 饱和与非饱和渗流之例——黄河土石堤坝的数值计算<br>10．3．1 二维非矩形网格的差分方法<br>10．3．2 计算实例<br>参考文献<br>后记