目录
第1章 流体与几何中的孤子方程 1
1.1 弱非线性作用下的浅水波方程 1
1.1.1 流体在刚床中流动的定解问题 1
1.1.2 浅水波与KdV方程 3
1.1.3 曲面波与KP方程 5
1.2 曲面论中的非线性波动方程 7
1.2.1 微分形式的外微分 7
1.2.2 曲面的基本方程 9
1.2.3 负常曲率曲面与sine-Gordon方程 10
习题— 12
第2章 双线性导数法 14
2.1 双线性导数的性质 14
2.2 KdV方程的n孤子解及物理意义 15
2.2.1 n孤子解 15
2.2.2 孤子解的行列式表示 17
2.2.3 孤子相互作用的弹性散射性质 20
2.3 修正KdV方程的n孤子解 24
2.3.1 双孤子解 24
2.3.2 n孤子解 27
2.4 其它非线性波动方程的n孤子解 30
2.4.1 sine-Gordon 方程的 n 孤子解 30
2.4.2 非线性Schrodinger方程的n孤子解 32
2.4.3 散儒非线性Schrodinger方程的n孤子解 35
2.4.4 Toda链的多孤子解 39
2.4.5 KP方程的线n孤子解 42
习题二 44
第3章 Lax可积与孤子方程族 46
3.1 Lax可积的概念 46
3.2 KdV与修正KdV方程族 48
3.2.1 KdV 方程族 48
3.2.2 修正KdV方程族 51
3.2.3 Miura 变换 54
3.3 AKNS方程族及其约化 57
3.3.1 AKNS 方程族 57
3.3.2 约化为KdV与修正KdV方程族 61
3.3.3 约化为非线性Schriodinger方程族 63
3.3.4 约化为 sine-Gordon 方程族 65
习题三 67
第4章 矩阵线性问题的规范变换 69
4.1 规范变换的概念 69
4.2 规范变换的构成 71
4.2.1 不依赖于谱参数的规范变换 71
4.2.2 例如 73
4.3 JM与AKNS方程族的简单关系 76
4.3.1 JM方程族 76
4.3.2 转换算子及其性质 79
4.3.3 方程族的简单关系 82
4.4 KN与AKNS方程族的等价性 83
4.4.1 KN方程族 83
4.4.2 转换算子及其性质 87
4.4.3 方程族的等价性 90
4.5 Heisenberg与AKNS方程族的等价性 91
4.5.1 Heisenberg 方程族 91
4.5.2 转换算子及其性质 94
4.5.3 方程族的等价性 97
习题四 98
第5章 Backlund变换与多孤子解 101
5.1 KdV方程族的Backhand变换 101
5.1.1 Darboux变换与相关的Backlund变换 101
5.1.2 Backlund 变换的求解 104
5.1.3 WE形式的Backlund变换及等价性 106
5.1.4 n孤子解的Wronski行列式表不 107
5.1.5 n孤子解两种表示的一致性 110
5.1.6 Backlund变换解的Wronski行列式表示 111
5.2 AKNS方程族的Backlund变换 112
5.2.1 Darboux变换与相关的Backlund变换 112
5.2.2 Backlund 变换的约化 115
5.3 sine-Gordon 方程的 Backlund 变换 118
5.3.1 Backlund 变换与求解 118
5.3.2 Backlund变换的等价性 119
5.3.3 n孤子解的Wronski行列式表示 120
习题五 122
第6章 低维反散射变换 125
6.1 KdV方程族的正散射问题 125
6.1.1 Jost函数的存在性 125
6.1.2 Jost函数的可微性 127
6.1.3 反射系数与穿透系数 131
6.1.4 谱的分布 133
6.2 KdV方程族的反散射问题 134
6.2.1 平移变换 134
6.2.2 GLM积分方程 137
6.2.3 散射数据随时间的变化规律 138
6.2.4 无反射势与多孤子解 142
6.3 AKNS方程族的正散射问题 143
6.3.1 Jost函数的存在性 143
6.3.2 Jost函数的可微性 146
6.3.3 谱的分布 148
6.4 AKNS方程族的反散射问题 150
6.4.1 平移变换 150
6.4.2 GLM积分方程 153
6.4.3 散射数据随时间的变化规律 155
6.4.4 无反射势与多孤子解 159
6.4.5 简约为修正KdV方程的多孤子解 161
6.4.6 简约为非线性Schrodinger方程的多孤子解 163
6.5 Toda链方程族的正散射问题 165
6.5.1 Toda 链方程族 165
6.5.2 离散Jost函数的存在性 168
6.5.3 谱的分布 172
6.6 Toda链方程族的反散射问题 175
6.6.1 平移变换与离散GLM方程 175
6.6.2 散射数据随时间的变化规律 178
6.6.3 无反射势与多孤子解 182
习题六 184
第7章 孤子系统的Hamilton结构 187
7.1 无穷守恒律 187
7.1.1 守恒律的概念，KdV方程族的无穷守恒律 187
7.1.2 AKNS方程族的无穷守恒律 189
7.1.3 Toda链方程族的无穷守恒律 192
7.2 有限维Hamilton系统 194
7.2.1 质点系运动的Hamilton方程 194
7.2.2 Poisson括号与运动积分 196
7.2.3 Liouville可积 199
7.3 无穷维Hamilton系统 200
7.3.1 线性化方程与对称，Gateaux导数 200
7.3.2 遗传强对称算子 202
7.3.3 泛函导数 205
7.3.4 辛算子与逆辛算子 206
7.3.5 广义 Hamilton 方程 208
7.3.6 例 210
7.3.7 无穷维系统的Liouville可积 212
7.4 约束泛函导数与广义Hamilton方程 213
7.4.1 约束泛函导数的计算法则及其应用 213
7.4.2 复合泛函导数计算法则及其应用 216
7.5 离散 Hamilton 系统 219
7.5.1 离散系统的Hamilton结构 219
7.5.2 Toda链方程族的可积性 221
习题七 224
第8章 拟微分算子的约束 228
8.1 KP方程族 228
8.1.1 拟微分算子的Lax方程 228
8.1.2 等谱KP方程族 230
8.1.3 非等谱KP方程族 231
8.2 修正KP方程族 233
8.2.1 等谱修正KP方程族 233
8.2.2 非等谱修正KP方程族 235
8.3 联系于KP系统的拟微分算子之约束 236
8.3.1 零约束与GD系统 236
8.3.2 积约束与AKNS系统 240
8.3.3 A:约束与约束系统 243
8.3.4 二约束系统方程族的隐形表示 246
8.4 联系于修正KP系统的拟微分算子之约束 248
8.4.1 零约束与修正GD系统 248
8.4.2 积约束与带导数非线性Schrodinger系统 251
8.4.3 带导数非线性Schrodinger方程族的隐形表示 255
8.4.4 k约束与约束系统 257
8.4.5 二约束系统方程族的隐形表示 262
习题八 264
第9章 KP方程的反散射变换 267
9.1 线n孤子解的Wronski行列式表示 267
9.1.1 Backlund变换及等价性 267
9.1.2 Backlund 变换的求解 269
9.1.3 线孤子解的Wronski行列式表示 270
9.2 KPI方程的正散射问题 272
9.2.1 Jost函数的存在性 273
9.2.2 散射方程 274
9.2.3 散射数据 278
9.3 KPI方程的反散射问题 281
9.3.1 位势的恢复 282
9.3.2 散射数据随时间的变化规律 283
9.3.3 波浪解 285
9.4 KPII方程的反散射问题 286
9.4.1 广义Cauchy积分公式 286
9.4.2 正散射问题 288
9.4.3 反散射问题 291
习题九 292
参考文献 297
索引 304
《大学数学科学丛书》已出版书目 308
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