围绕声波、水波、电磁波与工程结构物的复杂相互作用，《快速半解析边界配点法：大规模复杂波场动力环境高精度模拟》旨在介绍半解析边界配点法在大规模复杂波场动力环境高精度模拟中的*新研究进展。《快速半解析边界配点法：大规模复杂波场动力环境高精度模拟》以声场作为阐述复杂波场动力环境高精度模拟基本计算理论的研究载体。在计算理论部分，主要包括概论和四个声场研究专题。其后，《快速半解析边界配点法：大规模复杂波场动力环境高精度模拟》工程应用实例部分基于前述半解析边界配点法理论，将其拓展至水波与电磁波仿真。《快速半解析边界配点法：大规模复杂波场动力环境高精度模拟》以大规模复杂波场动力环境高精度模拟中半解析边界配点法渐次涉及的关键力学瓶颈为技术路线，对目前在高性能计算领域尚未完全解决的力学瓶颈进行研究探讨。如何存储和求解由半解析边界配点法导致的高病态稠密矩阵是《快速半解析边界配点法：大规模复杂波场动力环境高精度模拟》的核心研究命题。基于新研发技术，发展可快速仿真大规模复杂波场的高性能计算软件，是《快速半解析边界配点法：大规模复杂波场动力环境高精度模拟》的核心研究目标。

**部分 计算理论
　　第1章 概论
　　1.1 引言
　　大规模复杂声场的快速仿真及预报作为声学技术中的应用基础研究，在诸如带声学覆盖层的水下潜航器的声学特性分析[1]、设备振动噪声控制[2]，以及多孔吸声材料设计和生物组织声学特性模拟[3]等领域中具有重要价值。为有效规避敌方舰艇声呐探测，提高我方潜艇战场生存和突防能力，“安静性”已成为潜艇性能设计中不懈追求的指标。伴随着全球化而来的海洋贸易的快速发展，贸易货船普遍存在的水下噪声超标危害也日益凸显，严重影响了海洋生物的生存安全。针对这一问题，国际海事组织专门制定了航船水下噪声限值标准，推动将水下辐射噪声控制纳入船只设计规范与国际监管范畴。围绕舰艇、航空器、车辆、列车等工程结构物“安静化”设计需求，基于结构物声散射效应与自身辐射噪声的耦合影响，对结构物外形进行声学优化设计，减少自身声辐射量级及目标声散射强度，在国民经济发展、国防安全建设等诸多领域具有其*特的作用，已成为声学研究中应用前景广阔的重要课题[4]。
　　大规模复杂声场仿真的挑战性主要体现在工程结构物产生的噪声往往伴随着湍流、射流、分离、激波、燃烧甚至结构振动耦合等诸多复杂物理现象。声场只是工程结构物产生的众多波场中的一种。与其他衍生波场相比，声波所携带的能量通常要低好几个量级。因此，工程中的复杂声场仿真需要非常精确的测量数据支撑和高效的数值仿真技术，属于典型的非定常、多尺度问题。而基于大规模复杂声场分析的噪声控制和降噪技术则更是受到业界普遍关注的前沿科学课题。目前，分析大规模复杂声场的主要手段包括时域分析和频域计算两种。
　　时域分析直接离散标量波方程，随着时间演进，瞬态模拟声波传播，直观地反映所研究问题的物理现象，适合宽频带特征瞬态声场模拟，如时域有限差分法[5]、时域谱元法[6]等。直升机因其*特的垂直起降、低空高速性能，在国防和民用航空领域发挥重要作用。但螺旋桨及开式转子在具有低油耗优势的同时，强烈的旋翼气动噪声使其在战场环境下极易暴露，严重影响了直升机的战场生存和突防能力，成为制约直升机及螺旋桨飞机发展的关键技术瓶颈。为降低直升机旋翼噪声，学界进行了大量的噪声抑制技术研究。但过去相关研究的重点主要集中在旋翼噪声和尾桨噪声的产生机理及抑制技术层面。程建春等[4]指出，机身声散射对直升机旋翼噪声和尾桨噪声的频谱及指向性具有重要影响。因此，基于宽频时域仿真技术深入研究不同机身构型对旋翼及尾桨噪声的声散射影响，对螺旋桨及开式转子的噪声抑制技术研究具有重要价值。但目前面向直升机声学设计中机身声散射效应的研究仍然偏少。大量成熟数值仿真技术也主要集中在针对静态声源的频域分析上，并不能直接分析直升机的机身声散射特性。在此研究方向，美国奥多明尼昂大学的Hu[7]围绕时域边界元做了大量研究，克服了时域边界元的数值不稳定性。北京航空航天大学程建春和李晓东等[4]也将时域边界元用于开式转子噪声机体声散射研究。但快速计算直升机机身大规模散射声场的宽频带时域仿真技术，目前仍是一个尚未解决的技术难点。
　　频域计算以约化时间因子后的Helmholtz方程为基础，着重研究系统的相位和频率响应。随着噪声指标接近海洋背景噪声的“安静型”潜艇的大量涌现，对复杂水下目标的远程探测变得越来越困难。大尺度复杂目标宽频声散射特性的快速仿真及预报成为了目标回声特性研究的关键技术难点。针对这一问题，目前常用的频域分析方法包括高频近似方法和数值模拟技术。高频近似方法基于声波与目标间的局部相互作用，具有易于实现的优点，如几何光学法[8]、物理光学法[9]等。但对于不同的散射结构，高频近似方法需要采用不同的散射机理，且仅适用于分析高频目标声散射。数值模拟技术具有计算精度高、应用范围广的特点，但同样较高的计算量和存储需求，使其局限于计算小尺度目标低频声散射。因此，研发快速仿真及预报大尺度复杂目标宽频声散射特性的高效数值仿真技术，目前仍是一个尚未解决的技术难点。
　　本书基于半解析边界配点法[10，11]展开，旨在为声场仿真及其工程应用研发新颖数值技术，解决大规模复杂声场仿真中的力学共性问题。半解析边界配点法是一种新颖的强格式、半解析、边界离散型无网格方法，不同节点间通过基函数相互影响，共同在观察点叠加产生物理场。基于不同的插值基函数，半解析边界配点法可在精度、效率、稳定性之间做出灵活调整，适应不同的声场计算需求。与需要引入完美匹配层处理外域声场的有限元[12]相比，半解析边界配点法以Helmholtz方程基本解为基函数，可直接仿真外域声场。与同属边界型半解析方法的边界元[13]相比，半解析边界配点法无须网格划分，精度和效率更加均衡，更易与快速算法耦合计算复杂工程问题。但与边界元类似，半解析边界配点法全局支撑的离散结构在避免色散误差，带来高精度的同时，也会导致一个难以存储和求解的大规模稠密矩阵。而随着民用航空的不断普及，以及列车、货船等交通工具运行速度的显著提升，在追求快捷性的同时，人们对交通工具“安静性”的要求也日益提升，声学分析也逐渐向大规模和多物理场方向发展。以奇异边界法(SBM)[14，15]为例，当计算规模达到2万时，需要占用近6GB内存。而当计算规模升至3万时，其内存占用量将达到惊人的13GB。基于普通计算机，传统半解析边界配点法的计算规模很难超过2万。而无论是飞机、潜艇还是列车、货船，随着“安静化”设计指标的提高及对主要噪声源的有效控制，进一步对设备进行主、被动噪声控制均面临着噪声源数量激增，分布趋于零散的困难。传统依赖于经验性的声学设计已难以满足军事、工业对“安静化”的设计要求，现代声学设计也必然进入以数值仿真为主要技术手段的声学定量设计模式。因此围绕半解析边界配点法无法快速计算大规模复杂声场的不足，迫切需要对其进一步研究，研发一种快速仿真及预报大规模复杂声场的快速半解析边界配点法，并在此基础上进一步研发高性能计算软件。
　　数值模拟、理论分析与实验研究被认为是科学研究的三大方法。数值模拟本质上是偏微分方程的计算机求解技术。一般而言，无论以何种方法计算何种物理问题，*先都必须将自然现象抽象成偏微分方程或偏微分方程组，如描述波动现象的波动方程，描述电磁场规律的麦克斯韦方程组等。由于在建模过程中，不可避免地需要引入简化条件以方便建模，故不可避免会产生模型误差。其后，应用恰当的数值方法，如有限元法、边界元法、奇异边界法等，将连续的偏微分方程离散为计算机可求解的线性方程组。由于此步骤将具有无限自由度的数学模型离散为有限自由度的离散模型，因此将不可避免地生成离散误差。*后，运用恰当的数值求解器对所得线性方程组进行求解，得到原问题的近似数值解。由于计算机有效存储位数的限制，因此此步骤会产生截断误差。模型误差、离散误差、截断误差，构成了数值模拟的三大误差来源，如图1.1所示。
　　图1.1 数值模拟中的三种主要误差
　　如何在数值计算过程中，有效减少上述三种误差，并平衡三种误差*终对数值解所造成的影响，是决定数值算法优劣的重要影响因素。本书计算理论部分的主要研究对象是大规模复杂声场的高精度数值仿真技术，重点研究高频声场的高精度仿真和大规模声场的高精度仿真两部分内容。主要围绕上述数值模拟过程中的计算方法和数值求解展开。主要聚焦下述两个问题：
　　(1)如何将偏微分方程离散为更恰当的线性方程组；
　　(2)如何利用计算机更高效地求解所得线性方程组。
　　本书在《科学与工程计算中的径向基函数方法》对近年来快速发展的径向基函数方法系统全面的梳理基础上，主要针对声场计算，阐述了作者近年来所取得的*新研究成果和体会心得。有关半解析边界配点法的发展脉络、基本理论、研究现状、问题展望等，本书不再做过多阐述，有兴趣的读者可查阅《科学与工程计算中的径向基函数方法》相关章节。本书的写作目的在于针对声场仿真这一研究方向，细致深入地延展半解析边界配点法理论。向读者阐述半解析边界配点法在解决实际工程问题时，可能遇到的困难，并提供启发性的新颖策略，针对性地解决问题。之所以选择大规模复杂声场作为研究载体，是因为随着计算频率和计算规模的增大，大规模复杂声场仿真会集中体现计算力学领域所普遍面临的三大技术瓶颈：
　　(1)如何解决大规模稠密矩阵带来的高存储量和高计算量；
　　(2)如何高效求解高秩、高病态矩阵；
　　(3)如何在较低采样频率下稳定地模拟高频波传播。
　　因此，如果一种计算方法可以高效稳定地仿真大规模复杂声场，则该方法就具有进一步开发并处理其他复杂科学工程问题的潜力。
　　本书基于半解析边界配点法展开，以大规模复杂声场仿真中渐次遇到的力学瓶颈为技术路线，涵盖频域计算和时域计算两部分内容。
　　本书主要围绕下述三个研究难点展开：
　　(1)高频声场仿真如何在极低采样频率下稳定仿真高频声场。
　　依据香农采样定理，“为了完整恢复波信号，采样频率应不低于每个单位波长方向2个采样点的采样水平”。而半解析边界配点法至少需要在每个单位波长方向布置6个采样点，这样才能生成符合精度要求的数值解。因此，如何在保证算法稳定性的前提下，构造合适的基函数，将半解析边界配点法的采样频率降至每个单位波长方向2个采样点左右的极低水平，是本书的**个研究难点。
　　(2)大规模稳态声场仿真如何大幅降低求解大规模稠密线性方程组时的高额存储量和计算量。
　　半解析边界配点法由于全局支撑的离散结构，会导致一个难于存储和求解的大规模且高病态的稠密矩阵。求解此类矩阵，广义极小残余算法(GMRES)[16]、共轭梯度算法(CG)[17]一般需要ON2的计算和存储复杂度，且随着计算频率升高，迭代次数会急剧增加。如何解决大规模稠密矩阵导致的存储和计算困难，并构造可与半解析边界配点法耦合的预处理技术，是本书的第二个研究难点。
　　(3)大规模瞬态声场仿真如何有效处理三维瞬态声场在时间方向上的离散困难。
　　考虑到三维波动方程基本解使用δ(ct.r)作为乘积因子，故只有当声波通过观察点时，才会对观察点产生影响。因此，瞬态声场仿真不仅需要处理半解析边界配点法全局支撑的离散结构导致的存储和计算困难，还需要处理三维瞬态声场在时间方向的离散困难。如何有效处理三维瞬态声场在时间方向上的离散困难，是本书的第三个研究难点。

目录
“博士后文库”序言
前言
**部分 计算理论
第1章 概论3
1.1 引言3
1.2 声场计算中的数值方法8
1.2.1 边界元方法8
1.2.2 基本解方法8
1.2.3 奇异边界法9
1.2.4 边界节点法9
1.2.5 快速多极子算法10
1.2.6 核*立快速多极子算法11
1.2.7 有限差分法11
1.2.8 有限元方法11
1.2.9 无网格方法12
1.3 内容提要13
1.3.1 技术路线13
1.3.2章 节安排14
第2章 中低频声场高精度计算的奇异边界法17
2.1 引言17
2.2 计算三维声场的源点强度因子18
2.3 计算声场边界解和近边界解的近奇异因子23
2.4 数值算例25
2.5 奇异工具箱31
2.5.1 介绍31
2.5.2 源点强度因子发展概述32
2.5.3 *立算例程序33
2.6 本章小结33
第3章 高频声场高精度计算的修正奇异边界法34
3.1 引言34
3.2 修正奇异边界法35
3.3 数值算例37
3.4 本章小结43
第4章 高频声场高精度计算的双层基本解方法44
4.1 引言44
4.2 基本解方法虚拟边界的物理本质和影响规律45
4.3 双层基本解方法47
4.4 调整参数的显式经验公式49
4.5 基本解方法离散误差推导50
4.6 三维Helmholtz方程源点强度因子53
4.7 数值实验56
4.8 本章小结66
第5章 大规模科学与工程高精度计算的修正双层算法67
5.1 引言67
5.2 修正双层算法68
5.3 数值算例72
5.4 本章小结82
第6章 大规模声场高精度计算的双层快速多极边界元方法83
6.1 引言83
6.2 基于Burton-Miller公式的双层快速多极边界元方法85
6.2.1 边界元基本公式85
6.2.2 基于Burton-Miller公式的快速多极边界元方法87
6.2.3 双层快速多极边界元方法90
6.3 数值算例91
6.4 本章小结105
第7章 大规模科学与工程高精度计算的修正多层算法107
7.1 引言107
7.2 修正多层算法108
7.2.1 修正双层算法回顾108
7.2.2 修正多层算法111
7.2.3 修正多层算法存储复杂度分析115
7.3 数值算例116
7.4 本章小结124
第8章 时间依赖奇异边界法计算标量波方程125
8.1 引言125
8.2 时间依赖奇异边界法计算二维波方程126
8.3 时间依赖奇异边界法计算三维波方程130
8.4 基于时间依赖奇异边界法的主动噪声控制模型133
8.5 本章小结135
第9章 半解析边界配点法计算大规模复杂声场发展概述与展望136
9.1 奇异边界法计算中低频声场发展概述136
9.2 奇异边界法计算高频声场发展概述138
9.3 奇异边界法计算大规模声场发展概述139
9.4 奇异边界法计算标量波方程概述141
9.5 半解析边界配点法发展展望141
第二部分 工程应用实例
第10章 复杂目标电磁散射高精度计算的正则化矩量法147
10.1 引言147
10.2 正则化矩量法148
10.3 Burton-Miller型正则化矩量法151
10.3.1 电场积分方程151
10.3.2 磁场积分方程153
10.3.3 混合场积分方程155
10.3.4 奇异项和近奇异项计算155
10.4 快速近场近似预调节方法157
10.5 数值算例159
10.6 本章小结166
第11章 复杂目标电磁散射高精度计算的正则化快速多极矩量法167
11.1 引言167
11.2 声场计算与电磁计算的联系与区别168
11.3 正则化快速多极矩量法169
11.4 数值算例172
11.5 本章小结177
第12章 快速预报大尺度复杂目标宽频声散射特性的双层快速直接求解器178
12.1 引言178
12.2 双层快速直接求解器178
12.3 数值算例182
12.4 本章小结187
第13章 近岸海洋动力环境高精度模拟的奇异边界法188
13.1 引言188
13.2 水下旅馆近岸海洋动力环境模拟188
13.2.1 水下旅馆数学建模189
13.2.2 奇异边界法计算二维修正Helmholtz方程191
13.3 近岸椭圆桩柱水波绕流精确解及数值模拟195
13.3.1 椭圆桩柱水波绕流精确解196
13.3.2 奇异边界法计算二维Helmholtz方程200
13.4 近岸海上风力发电机组与海浪相互作用模拟201
参考文献205
附录219
附录A 2.2节三维Helmholtz方程的源点强度因子MATLAB代码219
附录B 2.3节三维Helmholtz方程的近奇异因子MATLAB代码222
附录C 正则化矩量法编程中的寻边算法227
附录D 基于MATLAB的稀疏近似逆矩阵代码229
附录E 二维Laplace方程、Helmholtz方程和修正Helmholtz方程源点强度因子230
附录F 外域和内域问题源点强度因子相互关系230
附录G 大规模复杂声场仿真相关文献列表231
附录H 工程实例部分相关文献列表232
附录I 变量命名表233
编后记235