第1章 量子光学基础知识
在人们试图从物理学(**力学和量子力学)的角度理解自然的过程中，对光的本质的研究起着十分重要的作用。20世纪以前，无论是基于光的折射和反射现象的微粒说，还是基于麦克斯韦电磁场理论的波动说，对光的认识都停留在**理论的范畴。20世纪以后，普朗克与爱因斯坦先后从光的辐射与吸收实验出发，将电磁场量子化，很好地解释了黑体辐射和光电效应，促进了量子力学的形成。从此，人类对光的认识进入量子理论阶段。
20世纪60年代之后，激光器的诞生促进了非线性光学与量子光学的发展。对激光产生及其传送、检测与统计性质的研究深化了对光量子性的认识。对Hanbury-Brown-Twiss(HBT)强度干涉实验的量子理论解释以及对单模光场与二能级原子相互作用的Jaynes-Cummings(JC)模型描述，推进了量子光学理论体系的建立与完善[1]。
随着精密测量技术的发展，测量的灵敏度不断提高，但是，*终灵敏度受限于量子噪声。不同于**噪声，量子噪声是量子系统固有的噪声，起源于由量子不确定性原理决定的真空零点起伏能量。Glauber在相干性量子理论中引入了相干态的概念，作为区分**光场和非**光场的界限[2]。相干态光场的量子噪声满足*小不确定条件，因此相干态光场的量子噪声是**系统中的*小噪声，它 反映了光的粒子性，称为散粒噪声极限 (shot noise limit，SNL)。例如，激光器产生的光场可以用相干态来描述，是量子理论允许的*逼近**极限的光场。因此，通常用相干光场的噪声作为基准，判断所研究量子系统的非**特性。如果光场的噪声低于相干态的噪声，则光场表现出量子特性。
为描述激光及光与物质相互作用的物理模型，人们建立了半**理论和全量子理论。在半**理论中，将激光场看作遵守麦克斯韦方程组的**电磁场，将与激光发生相互作用的物质体系(如电子、原子、分子、离子等)看作遵守量子力学规律的微观粒子集合体。该理论解决了激光与物质相互作用过程中的许多问题，特别是能够描述相关的光学介质在强光作用下的各种非线性效应。此外，也可以对光场进行量子化处理，即把激光和物质体系都进行量子化，形成光学的全量子理论。这种理论能对辐射场的量子起伏以及涉及激光与物质相互作用的各种现象给予严格的描述。
目前，量子光学有了重要的研究进展，不仅实验上实现了压缩态、纠缠态等量子态的制备，验证了非定域性等量子力学基本问题；而且推动了量子信息科学的发展，使信息获取、处理和传送能力超越**极限。本书主要介绍连续变量压缩态和纠缠态等量子化光场的物理特性、制备方法及其在量子信息中的应用。
1.1 量子光学基础
1.1.1 光场的量子噪声
在光的**电磁理论中，人们用麦克斯韦方程组描述光场在自由空间的传播特性[3]。电磁场在无源的自由空间传播时，电场表示为
(1.1)
其中，eσ表示光的偏振矢量；波矢均为整数(0，±1，±2， )；波矢和偏振矢量满足电磁场的横场条件，k eσ=0；ˉh是约化普朗克常数；ε0为真空介电常数；ωk是电磁场的角频率；V是以L为边的立方体体积，这个立方体不存在真实的边界条件，只是为了对行波场进行量子化而引入一个过渡的边界条件，当L→∞时周期性边界条件消失，过渡到自由空间；αk(t)为电磁场模式k的复振幅，是一个无单位的复函数；Xk，σ(t)和Yk，σ(t)分别为电场正弦部分和余弦部分的正交振幅和正交相位，分别对应于复振幅αk(t)的实部和虚部，都是正比于电场振幅的实函数。
通过将式(1.1)中的复振幅αj与α.j替换为湮灭算符.aj和产生算符.a.j，并引入量子化条件h.ai，.a.ji=δij，将**电磁场量子化，得到量子化电场表达式：
(1.2)
对比式(1.1)和式(1.2)可以看出，**电磁场和量子电磁场的对应关系为
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
这种对应关系表明，在激发能量比ˉhωk大很多的极限条件下，对物理过程的量子力学描述与**描述一致。应该注意的是，与正交振幅和正交相位算符不同，湮灭和产生算符的**对应部分，表征波矢为k的电磁场在总电磁场中所占的比例(分别为傅里叶(Fourier)变换后正频和负频部分的系数)，并不直接对应一个可观测物理量。类似地，湮灭算符和产生算符也是非厄米算符，属于不可观测的物理量。它们的作用是，当它们作用于能量的本征态时，对本征态湮灭或者产生一份能量。但是基于湮灭算符.a和产生算符.a.的正交振幅算符X和正交相位算符.Y都是可观测的力学量：
(1.8)
(1.9)
因此，在量子光学实验中，通常使用正交振幅算符.X和正交相位算符.Y描述光
场的量子态。
根据湮灭算符.a和产生算符.a.的对易关系，可以得到光场正交振幅算符.X和正交相位算符.Y之间的对易关系为，其中，.X和.Y是一对共轭量。这些对易关系是量子化电磁场的必然结果，直接导致了电磁场的量子噪声。
由海森伯不确定性原理可以得到
(1.10)
其中，和分别是归一化到SNL的正交振幅算符与正交相位算符的不确定度，即正交振幅与正交相位的噪声。一般而言，任何引入的系统噪声原则上可以利用**技术手段被完全消除。但是，依据光的量子理论，由海森伯不确定性原理所限定的量子噪声是量子系统的天然物理属性，始终存在，不可消除。
量子噪声由一对共轭变量的对易关系决定，每一变量的测量值既依赖于量子态，也和测量的方式有关，但是任何情况下，二者的测量结果不能违背海森伯不确定性原理。若光场的正交振幅算符.X和正交相位算符.Y的量子噪声满足如下等式：
(1.11)
则称为*小不确定态。
在量子光学中，常用正交振幅算符.X和正交相位算符.Y构成的相平面形象地表示一束光场的量子态特性，如图1.1所示。图1.1(b)中，某一相干态|α.表示为以点(.α|.X
|α.，.α|.Y|α.)为中心的圆面积，面积的大小由.Δ2.X.和.Δ2.Y.，即正交振幅和相位确定的量子噪声大小决定。对于相干态，.Δ2.X.=.Δ2.Y.，表示不确定性分布的范围。不确定性面积代表量子噪声对测量精度的限制，只有当两个不确定性圆的面积没有重合时，两个量子态才是可区分的。
图1.1 (a)相空间中的**光场；(b)量子化的光场
从另一个角度看，量子噪声是**的电磁场量子化后，由光子的统计分布特性决定的，光的粒子本性导致量子噪声。当光子之间没有相互作用时，光子被探测器探测到的时间是随机的，在某一时刻同时探测到n个光子的概率满足泊松分布，即系统的量子态可用泊松分布的光子数态表示。这时，用光电探测器进行探测，光电流的振幅起伏就服从泊松分布。可以证明，这种满足光子数泊松分布的量子态满足*小不确定关系，是*小不确定态。当非线性过程改变了光子之间的相互作用时，光子分布发生改变，从而改变了量子噪声分布，形成不同类型的光场量子态，*常用的为压缩态和纠缠态。
1.1.2 线性化算符
光场量子态的制备与应用主要涉及对光场量子噪声的操控，可以利用线性化算符方法将非线性方程进行线性化处理[3]。用量子光学的线性化算符方法简化问题的处理，即当稳态的单模电磁场的振幅远大于其量子涨落时，将描述光场的湮灭算符写成如下形式：
(1.12)
式中，α是一个常数，代表光场**稳态部分，对应于**部分；δ.a(t)是湮灭算符随时间变化的起伏部分，对应于量子部分，假设：
(1.13)
(1.14)
**个假设式(1.13)说明，量子涨落项δ.a(t)对光场的平均振幅没有贡献，且涨落以0为中心。第二个条件式(1.14)要求涨落远小于光场的**稳态部分，从而可以取一级近似而略去与量子涨落有关的高阶项。由于只选取算符的一阶近似，所以会得到一个物理量的半**表达式。将此线性化算符应用于电磁场的强度(光子数)算符，得到
(1.15)
假设α是一个实数，取**级近似可得
(1.16)
这里，被忽略，是电磁场的正交振幅分量的起伏。前一项为光场的平均光子数，后一项表示光场中光子数的量子噪声。
在量子光学实验中，除了分析时域信号外，通常也需要分析频域信号。利用频谱分析仪对光探测器产生的光电流可以进行傅里叶分析，即对式(1.12)进行傅里叶变换得到
(1.17)
其中，δ(Ω)为狄拉克δ函数；α为光场振幅的平均值；Ω为分析频率与光频ν的频率差。**项αδ(Ω)表明，只有在中心光频处(Ω=0)光场振幅的平均值不为0。而当Ω.=0时，.a(Ω)=δ.a(Ω)，即频域的量子噪声算符δ.a(Ω)可以用来描述频率为Ω模式的量子特性，满足对易关系：
(1.18)
对式(1.16)进行傅里叶变换，可得傅里叶空间中光子数算符：
(1.19)
式中，**项表明平均能量集中于直流成分中；第二项正比于边带频率为Ω的正交振幅分量的起伏。傅里叶空间的正交振幅算符定义为
(1.20)
而.a.(Ω)=.a(.Ω).，则
(1.21)
边带频率Ω处光子数算符的起伏为
(1.22)
光子数算符的测量值与光电探测器的光电流成正比，因此光电流的起伏表示量子态正交振幅的起伏。
1.1.3 边带模型
量子光学常用三种模型来处理量子噪声问题：将光描述为量子态的光子模型，将连续光束描述为辐射场模式的算符模型，以及将**波动模型推广到描述调制和噪声的边带模型。三种模型各有优势，可以方便地应用于处理不同问题。这三种模型是等价的，当用它们描述相同的物理效应时，得到相同的结果。光子模型能够直观、清楚地解释辐射和探测过程。算符模型基于量子模式和算符，是描述连续光场*为严格的方法。边带模型是一种简单描述光学系统性能的方式，*为接近基于傅里叶变换的传统工程处理方法。它描述光场的单个傅里叶分量，利用量子噪声边带项表示量子特性，适用于通信等许多技术应用。此外，包括非线性介质在内的光学系统对光场的作用，可以表示为每一个单*边带在该系统中演化结果的总和。本书将主要利用边带模型处理量子光学实验中的问题[3]。
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