很多人仅仅从哲学的观点来看待《数学原理》，这令怀特海和我都颇感失望。人们感兴趣的是书中对矛盾的看法，和普通数学问题是否能有效地从纯逻辑前提推导出来，但他们对书中发展的数学技术缺乏兴趣。我以前只知道有六个人读过这本书的后面部分，其中的三个波兰人后来（我相信）被希特勒所害。其他三个是得克萨斯人，后来被成功同化了。即使是那些研究同一题目的人，也不认为值得了解一下《数学原理》对这个题目的看法。我举两个例子：在《数学原理》出版约十年后，《数学纪事》（Mathematis cheAHnak）刊登了一篇长文，它所提供的结果其实已经在《数学原理》第四部分解决过了（但这篇文章的作者不知道这一点）。这篇文章的不准确之处正是我们避免了的，它所包含的有效内容也没有超出《数学原理》之外。文章提交人显然完全不知道早已有人做过类似的研究。第二个例子发生在我和赖兴巴赫（Reichen-bach）在加利福利亚大学共事期间。赖兴巴赫告诉我说他发明了一种“超限归纳法”，是数学归纳法的延伸。我跟他说，《数学原理》第三卷对这种方法有很完整的阐述。一个星期后他告诉我，他已经核实过，事情确实如此。在本章中，我希望从数学而非哲学的角度，不带过多技术性地，把《数学原理》中我认为重要的内容尽可能地解释一下。
我们先来看看关系的重要性，它与数学和哲学有着同等密切的关系。我在书中谈到莱布尼茨时，强调了有关系的事实和命题的重要性，而不是由主体一和一属性构成的事实，主项一和一谓项构成的命题的重要性。我发现，对于关系的偏见已经在数学和哲学中引起了不良后果。像莱布尼茨流产了的尝试一样，布尔的数学逻辑只是三段论的一种发展，而且也涉及类包含。皮尔斯曾制定出一种关系逻辑，但却把关系作为一个成对的类来处理。这在技术上是可行，但没有自然地把注西，我在关系上的哲学观点令我重视一些东西，而结果证明这些东西确实是最有用的。
在那个时候，我几乎把关系完全视为是内涵。我想的句子比如“z先于y”，“z大于y”，“x在y以北”。在我看来，实际上，虽然从形式演算的观点来看，一个关系可以被看做是一套有序的偶，我们似乎仍然认为只有内涵可以让这套偶成为统一体。当然，这同样也适用于类。让统一体形成一类的只有其成员同共而特有内涵。当我们处理一个类，而类的成员无法列举时，这一点显而易见。显然我们不可能列举无限类的成员，但大多数有限类的成员也无法列举。比如，谁也不能列举出蠼螋这个类的所有成员，但是我们可以对所有蠼螋（的真或伪）进行陈述，而我们是凭借定义了这个类的内涵来说出这一点的。类似地，这也适用于关系的情况。可以说，因为我们了解“先于”这个词，所以我们能说出很多事情的时间顺序，虽然我们无法列举出所有“z先于y”的x，.y对。但是，有人反对将关系作为偶的类：这些偶必须是有序的，这就是说，我们必须能够区分z，y对和y，x。这只有通过内涵中的一些关系才能办到。只要我们局限在含于类和谓项，就无法解释顺序，也无法将一个有序偶和没有顺序的两项区分开。
这一切就是我们在《数学原理》中开发的演算法的哲学背景。我们用符号来代表一些概念，这些概念是数理逻辑学家们以前没有强调过的。其中最重要的是：（1）一个类，由项组成，对某个给定的项有R关系（2）一个类，由项组成，一个给定的项z对这个类的项有R关系（3）R的“范畴”，这个类是由所有这样的项构成：它们对其他东西有R关系。（4）R的“相反范畴”，这个类是由所有这样的项构成：其他东西对它们有R关系。（5）R的“领域”，它包括了“范畴”连同“相反范畴”，（6）R关系的“相反”，当x与y之间有R关系的任何时候，x和z之间就有了R关系的“相反”，（7）R关系和S关系的“关系产物”：y是x和x之间的中介物，当z对y有R关系，而y对z有S关系时，z和x之间就有了这种“关系产物”。（8）复多，定义如下：对于一个给定的n类，我们形成了一个类，它的所有项都对n的成员有R关系。我们的所有条款有关系RA的一些说明，我们可以通过各种人际关系来解说这些概念。例如，我们假设R是父母与子女的关系。
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