第1章绪论
本章介绍复合材料宏细观本构模型及其多尺度分析方法的意义、理论发展历程和应用现状，使读者对复合材料宏细观本构模型及多尺度分析方法的发展历程和现状有总体的了解。
1.1复合材料力学的研究方法
众所周知，复合材料同时具有宏观特征和细观特征，因此复合材料力学是横跨宏观和细观两个层次的力学理论W。常规的复合材料力学研究方法有三种，分别是宏观力学方法、细观力学方法和宏细观多尺度力学方法。
宏观力学方法从唯象观点出发，将复合材料等效为宏观均匀介质，仅考虑复合材料的平均力学性能，不考虑增强相和基体及二者之间的相互作用，进而将复合材料等效为均匀的各向异性材料。图1.1所示就是将正交铺设的复合材料层合梁等效为两层均匀的各向异性梁。从上述论述中容易看出，宏观力学方法对复合材料结构作了较大的简化，结构上的应力、应变等力学参量均是在宏观尺度上的某种平均值，并不是基体和增强相的真实值。因此，宏观力学方法无法考虑复合材料的细观破坏形态，难以反映深层次的物理机制，难以对复合材料结构进行深入的损伤与破坏分析。然而，宏观力学方法也有实现难度较低、计算时间短的优势，仍广泛应用于工程实践中。
与宏观力学方法相对，细观力学方法直接在力学模型中体现了复合材料的增强相和基体，包含增强相材料和基体材料的本构关系、增强相的形状、增强相与基体之间的连接属性[3]。进而，细观力学方法可以获得复合材料增强相和基体的真实应力与应变较宏观力学方法更加细致和准确。细观力学方法一般分为两类:分析法和细观力学有限元法。其中，分析法基于复合材料细观结构中应力、应变场的经验假设考虑纤维和基体之间的相互作用，并结合纤维和基体各自的本构关系导出描述复合材料总体响应的本构关系，进而进行复合材料的结构分析和损伤破坏研究。分析法能够给出细观量（细观应力/应变/材料属性）和宏观量丨宏观应力/应变/等效材料属性）之间的解析表达式，便于理论分析和讨论，但是该方法仅适用于增强相为某些特殊几何形状和空间分布的情况，对于具有复杂几何形状和空间分布增强相的复合材料则无法给出解析解。细观力学有限元法则是建立了考虑复合材料细观结构（含增强相、基体和界面）的代表性体积单元（representative volume element，RVE）有限元模型（如图1.2所示），通过有限元法求出增强相、基体和界面的应力-应变分布，并通过对RVE内的应力-应变取空间平均获得复合材料宏观的应力-应变响应（称为“均勾化”，homogenization）。该方法虽然不能给出细观量和宏观量的显式表达式，但对细观结构复杂的复合材料适应性强。不过，细观力学有限元法也有显著的缺点——如果对复合材料宏观构件直接用细观力学有限元法进行数值模拟（direct numerical simulation，DNS），例如对图1.1(a）所示的构件进行应力分析，将要划分数量巨大的网格，且计算时间将大幅增加。这是因为宏观结构尺寸和复合材料细观尺度（如增强相的尺寸、增强相之间的距离等）数量级相差较大，例如图1.1(a）中梁的跨度为10mm，而其内部纤维的直径约为lOOtmi，是梁的跨度的1%，需要非常细小的网格才能保证细观结构的准确刻画。因此，细观力学方法在工程实践中并不常用。
上述宏观力学方法和细观力学方法形成了一对矛盾：宏观力学方法计算时间短，但没有考虑复合材料的细观结构，不够准确；而细观力学方法考虑了复合材料的细观结构，较为准确，但对复合材料宏观构件的计算时间过长。为了平衡计算时间和准确性的矛盾，研究人员提出了宏细观多尺度力学方法。该方法在分析复合材料宏观构件时等效为宏观均匀介质，其材料参数从复合材料的RVE进行均匀化后获得，并输入宏观构件中，获得宏观构件的应力和应变。反过来，将宏观构件上某一点的应力或应变，作为外载荷施加到RVE中，获得该点的基体和增强相的真实应力和应变的细节，并称这样的过程为“局部化”（localization）。图1.3就展示了复合材料宏细观多尺度方法的执行过程。该方法既可以在计算复合材料宏观构件时减少计算时间，又可以考虑复合材料宏观构件上一点对应的基体和增强相的真实应力和应变，进而调和了计算时间和结果准确性的矛盾，是近年来复合材料结构强度分析方法中较为前沿的方法，也是本书的主题之一。
1.2宏细观统一本构模型及多尺度分析方法
复合材料宏细观统一本构模型及一体化分析方法是一种较新的思路和方法，目前仍处于不断发展和完善之中。国内外不少学者已经开展了相关研究工作。
Dvorak与Bahei-El-Din提出了“纤维直径近似于零（vanishingly smalldiameter，VSD）”模型。模型假设每一根纤维直径非常小，近似于零，而整个多根纤维占有一定的体积比率，保留了细观特征参数Ff(增强相含量体积比率）以及必要的轴向约束，并且认为横向平面内各相的局部应力、应变是均匀的。通过细观应力平衡关系、体积混合关系、变形协调关系以及各相的本构关系，可以建立宏细观统一本构模型。Dvorak与Teply提出了“周期性六角形分布(periodic hexagonal array，PHA）"模型。该模型假设纤维在基体中呈六角形周期性排列，在横截面中选取三角形RVE，在RVE内划分网格并建立类似有限元法的方程组，通过对方程组的求解，可以建立数值型宏细观统一本构模型。Wu等[81将PHA模型融入大型通用有限元程序ABAQUS中实现了宏细观一体化分析。Abaudi提出了“单胞模型（unit cell model）Wo模型将单胞划分为若干个子胞，利用弱化了的边界条件，建立起宏细观统一本构模型。Kwoii等提出了另一种“单胞模型”。该模型将单胞划分为4个子胞，利用各子胞之间的应力、变形连续条件，结合体积混合关系和各子胞的本构方程，建立方程组并求解，可以得到数值型宏细观统一本构模型。Hansen等[13，141提出了分析复合材料结构的多相连续理论，能够实现复合材料结构在弹性范围内的宏细观一体化分析。Kim等提出了“分割基体的离散-混合（matrix-partitioned unmixing-mixing，MPUM）n模型。该模型是针对二维情况丨平面应力状态）建立的。模型在RVE中将基体分割成多个部分，引入应力变化因子（或应变贡献因子）来反映纤维、基体各部分和复合材料之间的应力（或应变）分配情况，通过细观力学方程建立起宏细观统一本构模型。模型中应力变化因子（或应变贡献因子）事先通过RVE的有限元计算得到，在结构分析中假设这些因子是不变的。Lackney与Chamis等在RVE中通过力学分析建立了各种有效性能的简化细观力学方程，能够分析金属基复合材料非线性行为，并融入通用有限元结构分析程序中，形成金属基复合材料宏细观一体化分析程序。傅志平等提出了一种细观元分析方法，在细观元中将纤维当作一维杆元处理，将细观结构上物理量转换为细观元上宏观结点变量，再用有限元法进行复合材料结构宏细观一体化分析。Ghosh等采用以增强相为中心把基体划分为n边凸多边形单元建立有限元方程的方法，可用于研究增强相任意分布的两相非均匀介质，后来将该方法发展成为n边多边形细胞体有限元模型（voronoi cell finite element model，VCFEM）。Lee等又将VCFEM与有限元法的单元自适应更新技术或多尺度分析技术相结合，建立了复合材料多尺度有限元分析方法。该方法对研究增强相任意分布的复合材料十分有效，求解效率较高。
上述复合材料宏细观统一本构模型，在一定程度上推动了复合材料力学性能的研究及结构分析技术的发展。但上述模型大多基于某些特定的假设，因此都有其特定的适用范围，且有待于进一步完善。有的模型计算结果有一定偏差，例如，VSD模型由于忽略了横向平面内纤维与基体的相互作用而影响了复合材料横向平面的总体性能预测，计算结果表明，其低估了弹性模量，而高估了塑性变形；对于PHA模型，Levy等指出并证实，它所采用的刚性位移约束条件将使计算的复合材料有效性能值明显高于试验值。有的模型仅适用于弹性范围的分析，例如Hansen等的多相连续理论及傅志平等_的细观元方法；MPUM模型由于假设应力变化因子丨或应变贡献因子）在结构分析中不变而难以适用于塑性问题，因为构件进入塑性变形后这些因子将随着载荷历程而发生一定的变化。有的模型目前仅能用于二维分析，例如PHA模型VCFEM模型叫等。有的模型过于简化，难以全面考虑细观特征（如纤维形状、排列方式、界面特性等）对宏观性能的影响，如“单胞模型”、Chamis等的简化细观力学方程以及傅志平的细观元方法。有的模型在融入结构分析程序时会遇到求解效率很低的困难，例如Kwon等基于“单胞模型”的数值型本构模型以及Dvorak等基于PHA模型的数值型本构模型，由于在复合材料结构非线性有限元求解的每一个时间步上及每一次平衡迭代中，对每一个单元的每一积分点，都包含一个建立本构模型的全过程，使得结构分析花费大量的、难以容忍的计算时间。
1.3通用单胞模型的发展历程
通用单胞模型（generalized method of cells，GMC）作为复合材料宏细观统一本构模型之一，其控制方程作为连接宏观尺度和细观尺度的中介，既能给出封闭形式的本构方程，又能从宏观构件上一点提取出细观应力-应变场，且推导过程基于弹塑性力学的平衡方程、几何方程和本构方程，易于理解，编程实现难度较小，具有一定发展潜力。自从通用单胞模型的前身-单胞模型（method of cells，MOC）于1982年提出以来[2叱从GMC模型到HFGMC模型（高精度通用单胞模型，high fidelity generalized method of cells），再到如今的FVDAM模型（有限体积直接平均细观力学，finite volume directly averaging micromechanics），计算精度不断提升，且对复合材料复杂结构的适应性越来越好，如图1.4所示。在模型发展的过程中，几乎每年都有数篇基于上述模型的理论研究和应用研究论文发表。因此，本节将介绍通用单胞模型的理论发展历程和应用现状。
1.3.1通用单胞模型的理论发展
通用单胞模型（GMC）的基本思想在1982年Aboudi提出的单胞模型（MOC）就开始显现MOC模型从周期性复合材料中取出代表性体积单元，并将其分为四个方形子胞（subcell），其中一个子胞表示纤维并假设为方形截面，余下三个子胞表示基体，如图1.5所示。同时，假设子胞内任一点的位移为子胞中心位移的插值函数（在MOC内为线性函数），并利用弱化了的边界条件，即边界面上平均意义的位移连续条件和应力连续条件，求解弹塑性力学的基本方程，从而获得RVE的应力-应变场，再利用均匀化理论获得复合材料的宏观应力-应变关系。
此后，Aboudi于1991年将MOC模型进行改进得到GMC模型，使得复合材料的代表性体积单元可以沿横竖方向划分成多于4个子胞，如图1.6所示，进而对具有复杂细观结构的复合材料展现出更好的适应性，理论上可预测任何复杂形状增强相的复合材料等效力学性能。这两种模型与1.2节的其他本构模型相比，其优点是：①给出了纤维增强复合材料弹性常数和热膨胀系数的解析表达式。表达式中包括了复合材料的材料微结构参数以及组分物理和力学性能的影响，从而可以真实地反映复合材料的宏观力学性能。②可以根据宏观应力场显式表达式计算出复合材料细观应力与变形场。因此，该模型可以直接耦合到常规有限元应力分析中，在计算复合材料构件宏观应力场的同时，获得细观应力场。该模型在发展初期就引起了美国NASA的高度重视，投入了大量的人力、财力进行了深入研究，发展成为NASA进行先进复合材料结构应力分析的主要方法。
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