第1章绪论
正演是研究瞬变电磁响应规律的有效途径，随着计算机技术的发展，瞬变电磁正演技术有了很大进步。目前，一维层状模型的正演计算已经非常成熟，由于瞬变电磁的激发源与二维地电模型是垂直的，因而不存在真正意义上的二维问题，由此发展了2.5维的瞬变电磁正演方法。由于一维、2.5维对地质模型的简化程度较高，三维瞬变电磁勘探问题的求解便成为目前的研究热点，尤其是针对任意复杂三维模型响应的求解。
国际上，求解进行瞬变电磁或时间域电磁三维正演问题的方法有很多，如体积分方程（volume integral equation，VIE）法（SanFilipo and Hohmann，1985）、有限单兀法（finiteelementmethod，FEM）（Umetal.，2010）、时域有限差分（finite-difference time-domain，FDTD）方法（Commer and Newman，2004）和有限体积法（finite volume method，FVM）（Lu and Farquharson，2020）等。本书以时域有限差分方法为主，介绍作者团队近年来的*新研究成果。
1.1时域有限差分方法的简介与发展概述
除了平面波、柱面波和球面波等几种特殊情况，或者波在某些波导中传播、在某些空腔中共振，或者波被某些简单物体散射外，通常不可能得到电磁场的解析解（Jin，2014）。电磁波的传播、散射和相互作用等现象都可以通过麦克斯韦（Maxwell）方程组描述，因此求解Maxwell方程组是探索介质中电磁波物理规律的基础和关键。随着计算机硬件和软件的发展，大规模复杂数值仿真成为可能，求解Maxwell方程组的数值解已经成为计算电磁学的重要发展方向之一（Liu et al.，2006）。
地球物理中广泛使用的瞬变电磁法、大地电磁法、探地雷达等都属于电磁学的范畴。针对求解电磁问题，人们基于微分法、积分法、变分法和混合方法，或者其他形式的方法发展了很多数值计算方法（Liu et al.，2006）。这些方法大体可以分为时域方法和频域方法两大类。近年来，人们对直接时域方法越来越感兴趣，这是因为时域方法更适合求解宽频带激励源下的电磁响应，并且直接得到时间域的计算结果，更有利于人们了解电磁场的演化规律。
复杂电磁问题的时域数值分析通常以偏微分方程（partial differential equation，
PDE）的形式表示（Xu，2018），如果边界值的近似值总是精确的，那么在这样的条件下得到的数值解将是有效的。因此，给定的边界条件和采用的离散手段对计算结果的精度起着决定性的作用。
时域有限差分方法*初由Yee于1966年提出，是求解电磁学问题*常用的方法之一（Wang and Teixeira，2003）。1975年，Taflove等讨论了FDTD方法的数值稳定性条件，给出了时间步长与空间步长之间的限制关系，并推导出了二维、三维电磁波与媒质相互作用的时谐场（稳态）FDTD解。1990年，Sullivan将FDTD技术应用于生物电磁学，模拟了人体内部对正弦稳态电磁波的吸收；同年，Maloney等建立了圆柱坐标系下的天线FDTD模型，计算了旋转对称单极子天线的精确辐射特征。基于计算机硬件与软件的快速发展，Varadarajan等于1994年在以太网上实现了一维FDTD并行计算。2001年，Guiffaut*次实现了基于MPI库的二维FDTD并行运算；同年，Andersson将基于MPI库的并行FDTD方法拓展到了三维。
由于受到计算资源的限制，数值方法只能模拟有限的电磁空间，因此需要人为引入边界条件模拟开域电磁问题。1981年，Mur提出了计算区域截断边界处的一阶和二阶吸收边界条件及其FDTD离散格式。1994年，Berenger提出了一种针对二维FDTD网格的全新吸收边界-完全匹配层（perfectly matched layer，PML），该方法精度较高，已在FDTD方法中得到广泛应用。在此基础上，Sacks等于1995年提出了各向异性PML（uniaxial PML，UPML）吸收边界；Chew等于1994年提出了坐标伸缩PML（stretched-coordinatePML，SC-PML）吸收边界；1996年，Kuzuoglu等将坐标伸缩完全匹配层中的坐标伸缩因子扩展到复频率位移张量系数形式，提出了复频率偏移参数PML（complex frequency shifted PML，CFS-PML）吸收边界；Roden等于2000年以非分裂场的形式施加了CFS-PML，并使用循环卷积递归算法实现了对卷积项的快速计算，被称为卷积完全匹配层（convolution PML，CPML）。
时域有限差分方法采用结构网格近似光滑*面结构，为减小该方法所带来的阶梯近似误差，Mei等于1984年提出共形网格技术。另外，传统FDTD算法的时间步长受到克朗稳定条件（courant-friedrich-lewy，CFL）的严格制约，时间步长受限于空间步长，在模拟精细结构模型时比较耗时。为解决上述问题，众多学者对隐式时域有限差分方法开展了相关研究。1999年，Namiki等*次提出了交替方向隐式时域有限差分方法（alternating direction implicitFDTD，ADI-FDTD），于次年将该方法扩展到三维，并使用数值算例验证了该算法的有效性。随后局部一维时域有限差分算法（locally one-dimensional FDTD，LOD-FDTD）（Shibayama et al.，2005）以及克兰克-尼克尔森时域有限差分方法（Crank-Nicolson FDTD，CN-FDTD）（Vinhetal.，2012）等隐式FDTD方法先后被提出。此类隐式时域有限差分方法具有无条件稳定的特点，时间步长不受CFL稳定条件的限制，因此可有效减少迭代次数。
FDTD方法直接在时间域和空间域中求解Maxwell方程组，可以提供方程齐次部分（瞬态）和非齐次部分（稳态）的全部解答。FDTD方法通过可描述电磁波特征的*小单元对空间域进行剖分，在每个单元中求解Maxwell旋度方程的有限差分法格式，通过时间步进模拟电磁波的空间传播以及与介质的相互作用，这种剖分方式恰好符合电磁波的传播规律，因此FDTD方法在求解Maxwell方程组方面非常通用，既满足极低频的电磁场，又满足微波、光学等高频电磁问题（Taflove，1995），甚至适用于粒子物理问题（Bowers and Hall，2001）。FDTD方法一般只涉及上一时刻的场值，因此该方法相比于时间域的积分方程法等需要较少的储存空间。FDTD方法可以处理任意二维和三维几何形状，任何电导率、介电常数和磁导率的材料，非线性材料以及频率和时间相关材料。目前FDTD方法已被应用于各个领域，如声学（Hamilton and Bilbao，2017）、量子力学（Chen et al.，2010）、弹性动力学（Muralidharan et al.，2003）、粒子物理学（Bowers and Hall，2001）和地球物理学（Debroux，1996）等。
1.2瞬变电磁时域有限差分正演现状
三维正演可以模拟瞬变电磁场在地下介质内的传播规律，对野外瞬变电磁勘探数据的解释有着重要意义。随着瞬变电磁三维正演理论的逐渐完善、计算技术的发展以及计算机硬件水平的提升，瞬变电磁三维正演模拟研究取得了较大的进展（郭文波等，2005）。
早在20世纪80年代，众多国外专家、学者便开始着手瞬变电磁时域有限差分方法的研究。当时，瞬变电磁时域有限差分方法虽然无法对起伏地形和复杂模型进行精细模拟，但由于其算法相对简单、能够有效解决电磁场不连续的问题，因而被广泛使用。
Goldman和Stoyer（1983）建立了积分-有限差分计算方法，用于计算位于水平地层中任意源产生的瞬变电磁场。Oristaglio和Hohmann（1984）计算了将导线源作为激励源的二维层状结构的响应特征。Adhidjaja和Hohmann（1989）提出一种基于DuFort-Frankel有限差分格式的FDTD方法，求解三维电磁响应，但由于受到计算机内存和计算效率的限制，该算法仅能模拟小尺度模型。Wang和Hohmann（1993）使用交替网格采样技术，并采用改进的DuFort-FrankelFDTD方法求解Maxwell方程组，正确计算了三维瞬变电磁正演响应。Chen等（1997）采用PML作为模型导电介质体的吸收边界条件，解决了采用Dirichlet边界导致模型尺寸过大的问题。宋维琪和仝兆歧（2000）开展了针对激发源为水平电偶极子或接地长导线的三维时间域电磁有限差分计算。Davydycheva等（2003）提出基于有限差分改进的Maxwell方程，在三维各向异性介质的电磁场计算中减小网格的尺寸，在不降低计算精度的同时提高了三维电磁测井正演的计算速度。Commer和Newman（2004）提出一种并行有限差分算法用以求解接地源三维瞬变电磁场的扩散，在并行计算机平台上实现了计算效率的提升。Commer和Newman（2006）基于多网格方法开发了一种约束算子并应用到显式差分的瞬变电磁三维正演模拟中，将电场、磁场以及材料属性从细网格映射到更粗的有限差分网格，有效降低了数值模拟时间。岳建华等（2007）推导了针对矿井全空间瞬变电磁场的FDTD算法，采用电偶极源和非均匀网格分别对煤矿均匀介质和层状介质中的三维低阻异常响应特征进行模拟。孙怀凤等（2013）基于Wang和Hohmann**FDTD算法的研究，在时间域Maxwell方程组中加入回线源电流项，让源的计算不再依赖于均匀半空间的模型响应，使得FDTD方法能够计算地表电阻率不均匀的三维复杂模型。由于瞬变电磁三维正演中使用Dirichlet边界条件时，反射场会随时间的推移对原扩散场产生较大影响，李展辉和黄清华（2014）针对上述问题在瞬变电磁三维正演中应用了CPML，并研究了CPML在瞬变电磁正演中的参数选取准则。余翔等（2017）提出采用有限长细导线模型在Maxwell差分方程中加入源电流项，为了避免电磁场向上延拓求解，在地表加入空气层，同时在空气边界和地下边界采用CPML吸收边界，有效降低了低频电磁波的反射影响。孙怀凤等（2018）提出瞬变电磁三维FDTD正演的多尺度网格方法，将整个模型采用粗网格剖分，在需要加密的区域采用细网格剖分，在保证计算精度的同时显著提高了计算效率。
传统的瞬变电磁FDTD正演方法大都建立在Wang和Hohmann（1993）的基础之上，该方法无需求解线性方程组，具有占用内存少且编程易实现的优点。然而，显式FDTD算法的时间步长受到CFL稳定条件的严格制约，致使这种方法在解决空间尺度较小、网格剖分较密的模型时计算效率较低。
为解决上述问题，众多学者对隐式时域有限差分方法开展相关研究。常见的隐式时域有限差分方法主要包括ADI-FDTD、LOD-FDTD、CN-FDTD等。隐式FDTD方法具有无条件稳定的特点，时间步长不受CFL稳定条件的限制，因此可有效减少时间迭代次数。Fijany等（1995）*次提出采用Crank-Nicolson差分格式的有限差分方法求解麦克斯韦方程组，并引入大规模并行技术，提高了计算速度。Yang等（2006）采用CN-FDTD方法对非均匀矩形腔体模型开展正演模拟，并将计算结果与其他传统FDTD方法进行比较，验证了CN-FDTD方法的准确性。然而，CN-FDTD方法每次迭代都要求解大型稀疏矩阵，当矩阵阶数较大时会占用大量计算时间，这制约了该方法的推广与应用。近年来，人们提出了一系列基于CN-FDTD算法的近似方案，使得隐式FDTD方法在计算电磁学领域逐渐推广。主要的近似求解算法有：CNDS-F
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