第1章 绪论
1.1 液体射流稳定性的研究意义
射流是指从管口、孔口、狭缝射出，无固定壁面约束的具有某一确定形状的液体或气体流动(本书的研究内容仅限于液体射流)。广义上的射流可以包括圆柱射流、平面液膜流动、环形液膜流动等；而狭义的射流仅指圆柱射流。
液体射流这一物理现象在很多工程实践中都有着重要的应用。例如，在燃油锅炉、内燃机、燃气轮机、火箭发动机等燃烧动力装置中，液体燃料进行燃烧之前都要以射流喷射的方式进行雾化。此外，在喷雾冷却、喷雾干燥、喷墨打印、医疗设备、环保等很多方面都会涉及液体射流这一现象。实际应用中的液体射流如图1-1所示(Lin，2003)。
图1-1 实际应用中的液体射流
同时，在自然界中也存在着多样的射流。大到宇宙中的星系团，小到亚原子尺度下的微粒，均具有多种形式的射流。自然界和日常生活中见到的射流如图1-2
图1-2 自然界和日常生活中见到的射流
所示(王洪伟，2017)。以实际应用中的射流破碎现象为驱动，人们对工业生产中的射流稳定性和破裂现象进行研究。例如，液体燃料射流的雾化是通过射流失稳破碎而发生的；而在静电纺丝中需要抑制射流的失稳断裂。电雾化过程中的射流如图1-3所示。深刻理解射流流动这一现象对于工业生产和日常生活都具有重要的意义。因此，射流的稳定性及其破裂机理是本书的主要研究内容。
图1-3 电雾化过程中的射流
在有关射流破裂过程的实际应用或机理研究中，目前的研究主要侧重于以下问题。射流失稳的根源是什么？某特定工况下的射流会发生失稳破裂吗？如何计算射流的破裂时间和距离？影响失稳破裂的因素有哪些？是否可以通过调节参数来改变射流失稳破碎的进程？黏性环境介质及背景湍流对射流失稳有多大影响？如何对射流破裂后产生的液丝及液滴的尺寸进行预测和控制？
以上这些问题都是射流稳定性研究中所涉及的。这一系列问题既具有重要的科学意义，又在工业生产中具有重要的应用价值。本书将针对以上所提出的问题进行论述。
1.2 液体射流稳定性的基本原理
射流稳定性问题属于流体力学中“流动稳定性”这一分支的内容。首先，阐述稳定流动和不稳定流动的概念。当定常流动(定义为基本流)受到了某种扰动(如环境中存在的初始气液剪切扰动等)时，若随着时间的推移，存在的所有扰动都将衰减，整个流场恢复到初始的基本流状态，那么定义该基本流是稳定的；若流场内的初始扰动最终被放大，流场不能恢复到原来的基本流状态，那么定义该基本流是不稳定的。在历史上，最著名的流动稳定性问题是雷诺对圆管层流的稳定性问题的研究，即雷诺实验。雷诺所进行的流动实验如图1-4所示。实验发现，圆管中的稳定层流流动受到扰动后，若流动雷诺数较低(通常认为低于2300)，产生的扰动将发生衰减，整个流场将恢复到初始层流流动的状态；若流动雷诺数较高，产生的扰动将不断增长，最终导致整个流场中的流动转捩为湍流。
图1-4 雷诺所进行的流动实验
根据现有的研究，流动过程中扰动的发生主要由以下两种不稳定性产生，这两种不稳定性分别被称为开尔文-亥姆霍兹(Kelvin-Helmholtz[A1]，K-H)不稳定性和瑞利-泰勒(Rayleigh-Taylor，R-T)不稳定性。接下来对这两种不稳定性进行简要的介绍。
对于K-H不稳定性的产生，考虑如下模型。两种密度不同的流体初始时均保持静止状态，低密度流体在上部，高密度流体在下部。当两种流体之间存在速度差时就会形成剪切层。此时，两种流体之间的黏性力充当了动力。上层流速高的流体，通过黏性作用，把下层的低速流体的速度拉高。进一步，剪切作用最终导致界面发生扭曲，使得部分重流体进入上部的轻流体中；部分轻流体进入下部的重流体中，流体因此发生了混合，这导致不稳定性的产生。对于R-T不稳定性的产生，考虑如下模型。当低密度流体在下部，高密度流体在上部时，若两种流体的界面上不存在任何扰动，那么整个系统将保持该临界稳定状态。然而，在实际中扰动和差异总是存在的，微小的扰动会使得整个系统的重力势能降低。因此，一旦产生微小扰动，扰动就会自动放大，最终彻底破坏原来的平衡状态。在重力场中，当重流体位于轻流体的上方时，不稳定就可能发生。综上所述，如果说K-H不稳定性是密度不同的物质在界面上存在切向速度梯度下所发生的不稳定性，那么R-T不稳定性就是这种密度界面在法向加速度作用下产生的不稳定性。
有关流动不稳定的发生机理，Rayleigh(1878)首先对液体射流破碎这一物理现象提出了直观的解释。他认为处于静止或运动状态的流体，当在其初始界面位置发生一个位移扰动时，其稳定性取决于发生该位移扰动所需做的功。如果需要做正功，那么流体的初始状态对于该扰动是稳定的；反之则为不稳定的。因此，要确定液体圆柱射流对于特定的表面位移扰动的稳定性，首先需要确定产生该位移扰动所做的功。可以发现，射流表面的变形功与射流表面积的变化量成正比，该比例系数即为表面张力。液体的表面势能随着表面积的增加而增大，需要外界做功才能使该位移扰动发生。因此，液体圆柱射流对于该扰动是稳定的。
需要说明的是，圆柱射流比平面射流的稳定性问题更加复杂。根据Rayleigh提出的破裂机理，平面液膜对该扰动是稳定的，可以将其称为“直接效应”，对于水平的界面，长波对面积增加的影响没有短波那么显著；对于圆柱表面，其变形过程同样也存在“直接效应”，周期性的界面位移扰动增加了圆柱体的表面积，并使得其趋于稳定；同时，圆柱体表面也存在着与纵向扰动有关的“间接效应”。具体而言，纵向扰动使得波峰处射流直径增加，波谷处的射流直径减小。经过简单计算可以发现，波峰处增加的体积(图1-5中的浅色阴影区)大于波谷处减小的体积(图1-5中的深色阴影区)。但对于平面液膜，波峰区域增加的体积则等于波谷区域减小的体积，这正是平面液膜破裂和圆柱射流破裂之间的重要区别。若要保持射流整体体积不变，此时前面所说的间接效应将发挥作用，即只有稳态射流的直径变小，才可以抵消波峰处体积增加量大于波谷处体积减小量引起的体积增量。由于射流直径变小，射流的表面积和表面能减小，导致射流变得不稳定。
图1-5 周期性位移对圆柱射流稳定性的影响
此外，相较于长波扰动，短波长的表面位移扰动使射流表面积的增加更加显著，因此短波长扰动更加稳定。需要再次强调的是，在平面液膜的水平界面上不会发生这种情况。由于界面水平，所有周期位移都满足恒定体积条件，此时只有“直接效应”起作用，即扰动使得液膜表面积增大，而且短波长扰动增加的表面积大于长波长扰动增加的表面积。但这两种波长的扰动均使得液膜的表面积增加，因此不稳定作用得到抑制。
根据Rayleigh建立的射流稳定性分析方法，可以在圆柱坐标系内对圆柱射流的稳定性问题进行分析。设轴为沿着液柱轴线的方向。液柱表面用表示，其中为射流轴线到其表面某一点的径向距离。
只考虑不稳定的纵向扰动，假设射流表面位移扰动具有如下形式：
(1-1)
其中，为位移扰动的微小振幅；为纵向波数，为对应的波长；R△为射流半径，为使射流体积守恒，的值取决于的值。
表面位移扰动的增大会使得势能增加，势能的增加与表面积的增大成正比。为计算发生扰动后液柱的表面积。假设为圆柱射流的表面积，为圆柱射流的体积，则它们可以表示为
(1-2)
(1-3)
其中，为穿过轴线的平面与液柱曲面相交的曲线弧长，表达式为
(1-4)
当表面位移扰动较小时，对式(1-4)进行Taylor展开得
(1-5)
将式(1-1)代入式(1-2)，得
(1-6)
然后进行积分，的一阶项被消去，保留二阶项，即
(1-7)
因此，单位长度的液柱面积为
(1-8)
可以发现，式(1-8)等号右侧第二项是正的，也就是说圆柱体单位长度的面积随着扰动振幅的增加而增大。因此，若面积表达式中只有第二项，那么圆柱射流对于任一微小扰动来说都是稳定的。事实上，为判断液体射流对某一波长的扰动是否稳定，还需要确定液柱的半径。因为液体射流需要满足体积恒定的条件，且液柱半径一定小于其初始半径。因此，第一项的变化可能导致整个面积减小。
为计算液柱的半径，将式(1-1)代入式(1-3)，得
(1-9)
积分可得
(1-10)
其中，的值为，可得到
(1-11)
同样对式(1-11)进行Taylor级数展开，最后得到
(1-12)
将式(1-12)代入式(1-8)，即可得到单位长度液柱的表面积，忽略的高阶小量，并减去未发生扰动的单位长度液柱面积，可得单位长度液柱增加的表面积△s为
(1-13)
表示为扰动波长的形式为
(1-14)
由式(1-14)可见，小波长扰动增加的表面积为正值，因此射流是稳定的。对于大波长扰动则相反。因此，无限长的射流总会破裂，其初始周长决定了稳定表面变形和不稳定表面变形的波长范围，这一临界波长为初始射流的周长。
Rayleigh通过计算确定了表面扰动位移开始增大时的临界波长，发现对于射流来说，所有较长波长的位移扰动都是不稳定的。他认为在这些不稳定的扰动位移中，某些波长可能增长得最快。这一具有最大增长率的扰动波长决定了射流破裂时的形态(即决定了形成的液滴直径和液滴之间的距离)。射流在失稳发展过程中的不同模态如图1-6所示。
