第1章 绪论
　　1.1 分数阶微积分发展简介
　　分数阶微积分（fractional-order calculus，FOC）是一门既古老又新颖的学科。说其古老，是因为它几乎与传统的整数阶微积分诞生于同一时期；说其新颖，是因为它平静发展了 200 多年，到了 20 世纪初期，分数阶微积分的研究与应用才逐步引起人们的关注，并快速地渗透到众多研究和应用领域。分数阶微积分的概念是在 300 多年前被提出的，关于分数阶微积分的比较系统的研究，一般认为是由 Liouville 等在 19 世纪中期开始的。1832 年 Liouville 提出了**个比较规范的分数阶微积分定义，并利用此定义解释了势理论问题。此后（1832～1837 年）Liouville 发表了一系列关于分数阶微积分的研究论文，使他成为分数阶微积分理论的实际创始人。继 Liouville 后，Riemann、Weyl、Grünwald 、Hadamard 和Letnikov 等数学家或物理学家也相继做出了巨大贡献，使得分数阶微积分有了历史性的发展，并逐渐成为一门*立的学科 [1-4]。
　　分数阶微积分的基础是分数阶微分算子 Dα 和分数阶积分算子 Iα，其中 α为任意实数（广义的分数阶微积分的阶次可以扩展到复数，但是一般在实数域研究分数阶微积分，本书仅讨论实数域分数阶微积分理论及其在电路元件和系统中的应用）。在分数阶理论及应用的发展过程中，许多学者陆续提出了不同的分数阶微积分定义。1832 年 Liouville 提出了 Liouville **定义和第二定义，1876 年Riemann 也提出了分数阶微积分定义，两者联系起来形成了一个统一的公式，即Riemann-Liouville 分数阶微积分公式 [5， 6]；1867 年 Grünwald 基于有限差分差商形式提出了一种分数阶微积分定义 [7]；1868 年 Letnikov 给出了定义的严格证明，这种定义后来被称为 Grünwald-Letnikov 定义；1966 年 Caputo 提出了一种适用于工程应用的分数阶微积分定义，即 Caputo 定义 [8]。目前，Riemann-Liouville（R-L）定义、Grünwald-Letnikov（G-L）定义及 Caputo 定义是较常用的三种定义。
　　R-L 定义和 G-L 定义主要应用于纯数学领域，然而这两种定义得到的分数阶导数算子的初始条件是时变函数 [9]。由于在涉及物理系统的建模时需要确切的初始条件，而这两种定义需要设定一个初始时间点，因此初值条件与积分下限相关；对于暂态过程，这样的设置既无法解释物理意义，也可能导致微分方程不可解。
　　Caputo 定义与 R-L 定义和 G-L 定义在零初始条件下是等价的。但 Caputo定义由于其微分方程的初始条件与整数阶微积分的初始条件一致，从而保证了初始条件具有明确的物理含义，因此被广泛应用于系统分析和工程应用领域 [1]。常数的 R-L 定义分数阶导数不为零，而且 R-L 定义和 Caputo 定义的分数阶导数中包含了奇异核，这使得其描述完整的记忆效应的能力不够准确 [10]，限制了其使用范围。
　　2014 年，Khalil 等提出了一种新的分数阶导数，称为 Conformable 定义。Conformable
　　型分数阶导数能有效克服 Caputo 和 R-L 分数阶导数存在的问题，即满足乘积法则、除法法则和链式法则 [11]。针对 Caputo 定义中的奇异性问题，2015年 Caputo 和 Fabrizio 提出了现在称为 C-F 定义的新的分数阶导数 [12]。常数的C-F 型分数阶导数为零，这与 Caputo 定义是一致的。C-F 定义的导数中，其指数核没有奇异性，而且 Caputo 定义下的分数阶次幂在 C-F 型分数阶导数下变成了整数幂，因此 C-F 定义相对于 Caputo 定义计算更加简单。
　　在 C-F 定义的基础上，Atangana 和 Baleanu 提出了 A-B 型分数阶微积分定义，Atangana 和 Baleanu 在论文中详细描述了 A-B 型分数阶微积分导数的性质 [13]。与 C-F 型分数阶导数相同的是，常数的 A-B 型分数阶导数为零，其指数核没有奇异性。与 C-F 型分数阶导数不同的是，A-B 型分数阶导数保留了 Caputo定义中的分数阶次幂。
　　C-F 型分数阶微积分定义和 A-B 型分数阶微积分定义是两种较新的定义，已经开始应用在多个学科领域的分数阶模型中，包括流体力学中磁流体、旋转流体和对流流体的数学模型 [14-17]，医学领域中免疫遗传肿瘤和肿瘤化疗效果的数学模型 [18， 19]，以及材料科学中张力碳纳米管的动力学模型 [20] 等。
　　1.2 分数阶电路元件实现
　　电阻、电容和电感是三种基本无源电路元件，已经广泛应用于电路与系统中。然而在自然界中，理想的整数阶电容和电感并不存在，电容和电感仅仅是趋近于整数阶。实际的器件中存在欧姆摩擦、内部摩擦、热力学记忆特性以及电磁场的非线性影响，这些效应使得器件存在非保守的特征 [21-23]。因此，人们想到了使用分数阶微积分建模的分数阶阻抗，分数阶阻抗也称为分抗。
　　根据电路基本变量组合完备性原理，1971 年美籍华裔科学家蔡少棠理论预测了忆阻（memristor，即带记忆的电阻器）的存在 [24]，并依据电路变量与电路元件的公理完备性、逻辑相容性和形式对称性等，提出公理化的电路元件体系——蔡氏公理化元件系，进而得到电路元件的蔡氏周期表 [25]。中国的蒲亦非教授等根据蔡氏周期表，给出已有电路元件（电阻、电容、电感、忆阻、忆容、忆感、分抗和分忆抗元等）在周期表中的位置 [26， 27]。
　　分数阶电容及分数阶电感在工业上有实际的用途，同时随着分数阶特性在锂电池、忆阻器等的应用越来越广泛，如何实现特定阶次的分抗逐渐成为研究的热点。目前分数阶电路元件实现主要有三种方法，分别是基于材料及物理结构优化的工业制造方法、基于分数阶算子近似的分抗有理逼近法，以及基于电路结构的电路拓扑实现方法。
　　1.2.1 分抗的工业制造实现
　　分数阶电容的工业制造方法，主要集中于使用新型电解质材料和改变电容器结构两个方面 [28]。
　　在电解质材料的选择上，有使用纳米复合材料制造的固态分数阶电容器、使用铜硅电极和多孔膜制造的分数阶电容器、使用镀铂硅电极和多孔膜制造的分数阶电容器、使用高柔性 NiTe/Ni@CC//AC/CC 作为正极材料的分数阶电容器、使用具有抗冻特性的水凝胶电解质的分数阶电容器、使用生物多糖阻燃凝胶固态电解质的分数阶电容器等。
　　电容器结构的改变上，工业制造方法包括由铁电聚合物和还原石墨烯结构构造的固态分数阶电容器、由电解质工艺构造的分数阶电容器、由电阻-介电导电结构开发的分数阶电容器等。
　　分数阶电感器的工业制造方法，有使用磁流变液作为变压器式装置的核心的分数阶电感器、通过在一个带有横向电磁模式的同轴结构上产生的分数阶电感响应来实现分数阶电感的直接设计法等。相对而言，分数阶电感器的工业制造方法较少，大部分工业制造方法是针对分数阶电容器的。
　　1.2.2 分抗的有理逼近实现
　　分抗的有理逼近实现，即让某个函数或数个函数通过频率响应拟合模型后得出所期望的分数阶运算，即采用数个整数阶传递函数模型，在频率响应上尽可能逼近原始的分数阶微分算子模型。
　　从理论上分析，Caputo 型分数阶微分环节 sα 的幅频特性是斜率为 20αdB/dec的斜线，相频特性是值为 απ/2 的水平直线。每一段频率特性对应一个线性连续的整数阶传递函数模型，在选定的频率范围内，用数个整数阶模型的组合，通过频率响应拟合尽可能地逼近原始的分数阶算子模型。
　　早期的 Caputo 型分数阶微分算子近似方法主要采用连分式展开的近似方法。连分式展开的近似方法包括分别在高频段和低频段进行连分式近似的方法、基于正则牛顿迭代实现的 Carlson 近似方法 [29]、基于对数间隔频率点连分式展开的Matsuda-Fuji 近似方法 [30]、二项式展开逼近法等 [31]。
　　近几年基于连分式展开法的新的分数阶算子有理逼近方法有结合连分式展开法和标度拓展理论的新型非正则标度方程-奇异标度方程 [32]、采用一阶 Newton迭代的 Aitaken 加速迭代方法 [33]、将针对 1/n 阶微积分算子的 Carlson 近似方法拓展到任意阶微分算子的有理逼近等 [34]。
　　基于连分式的有理逼近方法不允许使用者自由选择合适的拟合频率段，使得这一类方法在实际应用中的效果大打折扣。法国学者 Oustaloup 教授及其同事提出 Oustaloup 近似算法，允许使用者选择所需要的频率段与分数阶阶次，这种算法开启了复杂分数阶系统仿真的新时代 [35]。
　　围绕 Oustaloup 算法进行分析，出现了一些改进算法[36]。例如，从 Oustaloup零极对子系统的运算特征出发分析 Oustaloup 有理逼近的*优逼近下系统参数的选择 [37， 38]；通过增加算法的拟合带宽，解决了 Oustaloup 近似法的近似效果在所选择的频段边界不太理想的问题 [39]；解决算法的分子阶次与分母阶次相同导致传递函数非严格正则系统的改进的 Oustaloup 算法等 [40]。
　　对于不能由分数阶传递函数标准形式描述的无理系统，主要的近似方法有波特图频域近似算法、Charef 近似算法、*优 Charef 近似算法等 [41-44]。2020 年 He等基于现有的分数近似电路的振荡现象的缺点，提出了一种新颖的任意阶分数有理逼近新算法，该算法具有高阶稳定特性和较宽的逼近频带 [45]。
　　1.2.3 分抗的电路拓扑实现
　　通过设计近似电路来得到实际的分数阶元件称为分抗的电路拓扑实现，根据拓扑电路是否使用有源器件，分为无源电路拓扑实现和有源电路拓扑实现。分抗的无源电路拓扑实现，一类是通过分数阶算子的有理逼近和近似（如1.2.2节提到的 Carlson 方法和 Oustaloup 方法等），得到某频带内可实现分数阶算子的整数阶传递函数，再用相应参数的电阻、电容、电感等元件搭建该传递函数的无源电路拓扑；另一类是基于分形拓扑的构造模型，通过相同参数的电阻、电容、电感级联的方式，以高度自相似的结构搭建分数阶元件的无源电路拓扑实现 [46]。
　　除了使用无源元件来实现分抗以外，也有使用有源器件或者是集成数字电路实现分抗的方案，通过调整电压、电流、频率等电路参数来设定分数阶阶次和恒定相区。例如，利用现场可编程逻辑门阵列（field programmable gate array，FPGA），基于查找表的二次逼近和分段逼近两种算法实现分数阶算子 [47]，实现了高精度、高性能和 FPGA 资源高效利用，同时减少了分数阶系统对内存的依赖。
　　通过广义阻抗变换器（generalized impedance converter，GIC）把 α 阶的分数阶电容转换为 α 阶的分数阶电感，实现了分数阶电感的优化设计 [48]。通过使用运算放大器 uA741 进行电路拓扑实现仿真验证，并在实验中使用 Anadigm 的专用集成电路（application specific integrated circuit，ASIC），即现场可编程模拟阵列 AN231E04 芯片进行分数阶算子的实现等 [49]。
　　本书第 3 章将介绍 Caputo 型、C-F 型及 A-B 型三种定义下的分数阶电容阻抗模型和电感阻抗模型，同时介绍三种定义下特定阶次的分数阶电容和电感电路拓扑逼近实现，并通过数值仿真和实际电路实验，分析阻抗逼近电路拓扑的性能，以及分数阶阻抗有别于整数阶阻抗的暂态特性 [28， 50， 51]。