第1章 绪论
1.1 时滞奇异跳变系统研究综述
1.1.1 研究背景
奇异系统起源于20世纪70年代，也称为广义系统、约束系统、微分-代数系统、隐式系统、描述变量系统、退化系统、广义状态空间系统、半状态系统等.相对于正常系统，奇异系统是一类更具一般性和广泛形式的动力系统，不仅能体现和保持实际系统结构，也能描绘出系统动态和静态状态变量间的代数约束，从而能更有效地刻画大量的实际工程系统[1-3].现实世界中很多系统都可以建模为奇异系统，如社会经济系统、电力系统、电路系统、化工系统、航天系统、机器人系统、时间序列分析系统等.其中，多机器人主体协作动力模型、Leontief动态投入产出模型、具有非线性负载的电力系统等都可视为典型的奇异系统[4，5].
奇异系统有三种模态，即有限动态模态、无限动态模态和非动态模态，其中无限动态模态在连续情形下会产生脉冲行为(在离散情形下会产生非因果行为)，强烈的内部脉冲行为会使状态响应饱和，甚至会导致系统崩溃.相对于正常系统(正则系统)，奇异系统被赋予了若干特殊特征，如状态响应中的脉冲项和输入导数、传递矩阵的非适当性、输入和状态(或输出)之间的非因果关系等[6，7].同时，在系统结构参数扰动下，奇异系统通常不再具有结构稳定性[8-10].因此，对奇异系统的研究比正常系统要复杂很多，不仅要考虑系统的稳定性问题，而且还要考虑正则性、无脉冲性(连续情形)/因果性(离散情形).稳定性、正则性、无脉冲性/因果性合称为奇异系统的容许性[11].奇异系统容许性分析、设计与控制是控制学界的研究热点和难点之一，众多学者一直致力于奇异系统分析与设计综合这一前沿问题的研究与探索，并取得了一定的成果[12，13].
奇异系统控制理论一直处于不断完善、不断发展之中，经过50多年的理论和实践积淀，对奇异系统控制理论的研究已由基础向纵深发展[14-18]，涉及从连续时间到离散时间，从无时滞到定常时滞和时变时滞，从离散型时滞到中立型、分布型时滞，从确定到随机跳变/切换，从简单到复杂/混杂等发展趋势[19-23].
时滞(时间延迟)现象广泛存在于多种实际动态系统中，如网络化控制系统、机械传输系统、化工系统等.各种类型时滞(包括离散型、中立型和分布型等)的存在往往是动态系统性能变坏甚至造成系统不稳定的重要原因之一[24-27].因此，研究时滞对奇异系统容许性的影响以及在时滞存在的情况下设计反馈控制器、滤波器，使得奇异控制系统满足容许性和期望的性能要求，逐渐成为控制理论研究的一个重要方向，引起了众多控制界同仁的研究兴趣[28，29].
随机性普遍存在于现实世界的各个领域，如信号处理、网络化控制、数理金融、航空航天、生物工程等.随机控制一直是现代控制理论的一个极其重要的研究领域.由于随机数学等学科的大力推动，经过近几十年的逐步发展，基于日本数学家It.所提出的It.微分方程的随机系统已经成为随机控制领域极为重要的研究方向[30-34].但是，如何获得It.随机奇异系统正则性、无脉冲性条件，如何消除Wiener过程对It.随机奇异系统脉冲解的影响，提出It.随机奇异系统正则性、无脉冲性的普适性定义，目前仍然是开放性且充满挑战的前沿热点课题.
由于工程实践中的现实情况通常是复杂的，研究奇异系统时不得不考虑各种复杂因素的影响，如随机跳变/切换[35-40]、数字化特征[41，42]、网络化特征[43]、时滞现象[44-46]、外部干扰[47-56]等.现代控制结构中普遍涉及数字控制和网络化问题，为了减少通信量、计算量和执行更新量，节约能源和网络带宽，采样控制逐渐成为控制领域的前沿问题[57，58].实际混杂系统中采样时刻、系统模态切换/跳变时刻、外部脉冲发生时刻实际上往往会有所不同;同时，由于时滞、网络化机制、量测误差等因素的影响，控制器、滤波器、观测器模态往往与受控对象模态不一致，因此异步控制问题不可回避[59，60].
近年来，网络化环境下的周期采样和非周期采样先后被深入研究，其中基于事件驱动/触发策略的非周期采样控制逐渐成为研究前沿和热点[61].事件触发策略可以有效减少采样量和通信量，降低计算量和执行更新量，节约网络带宽和能源，实现异步远程通信，同时能保持系统的各类性能[62].继Donkers等[57，58]众多杰出研究工作之后，各类事件触发和自触发策略被陆续提出[63，64].在采样机制下如何设计状态反馈控制器、观测器、动态补偿器、滤波器、反卷积滤波器，实现状态已知/未知时奇异系统的容许性分析、异步反馈、状态估计、故障检测与容错控制等问题具有深远的理论意义与实际价值[65，66].
随着现代控制理论和实际工程应用的逐步发展，人们已经认识到外部环境干扰、系统自身参数和/或结构突变、网络丢包和攻击影响、随机机制影响等各种各样的不确定性普遍存在于实际动态系统中[67].经过控制界学者多年的努力，目前已经建立和发展了鲁棒控制理论来分析和解决不确定性问题[68，69].随着鲁棒控制理论的不断发展和完善，奇异系统的鲁棒容许性分析、鲁棒设计与鲁棒控制因其深刻的实际背景而受到了广泛关注，在状态估计、反馈控制、跟踪控制、故障检测等方面都取得了丰硕的研究成果[70-74].
另外，在工程实践中大量的动态控制系统会不可避免地遭受到外部环境和/或系统自身各类随机突变因素的影响，致使系统结构和/或参数发生随机跳变，从而产生了马尔可夫跳变系统[14，67，68，71].马尔可夫跳变系统是一类重要的随机混杂系统，此类系统可以清晰地刻画系统结构和/或参数发生突变等现象，如系统元件的随机故障与修复、内部互联的子系统之间连接方式的改变、非线性对象线性化之后操作点的改变、突然发生的外部环境扰动等.
1.1.2 研究意义与研究内容
当奇异系统经历马尔可夫跳变影响时，奇异马尔可夫跳变系统(简称奇异跳变系统)应运而生[9，73].奇异跳变系统充分地考虑了系统内部突变和/或外部环境干扰对系统状态的影响，能准确地反映事物本身的变化规律和特点，从而能更有效地刻画电力系统、电路系统、网络化控制系统等诸多实际系统.因此，开展和加强对奇异跳变系统控制理论的研究具有深远的实际意义和巨大的应用价值.
对时滞奇异跳变系统的分析与综合已经得到了控制领域众多学者的广泛关注，并且取得了一定的研究成果.时滞奇异跳变系统的容许性分析、反馈控制与滤波具有广泛的应用前景.
本书以连续时间的时滞奇异跳变系统为研究对象，旨在在网络化环境下和随机机制下提出有效的容许性分析与控制器、滤波器设计方法，深入研究各类时滞奇异跳变系统的容许性和控制器、滤波器设计等一系列问题.本书主要研究:
(1)时滞奇异跳变系统容许性分析与状态反馈控制;
(2)时滞奇异跳变系统正常化设计;
(3)基于事件触发机制的时滞奇异跳变系统观测器设计和基于隐马尔可夫模型策略的时滞奇异跳变系统异步反馈控制;
(4)时滞奇异跳变系统滤波器设计(包括异步H∞滤波、H∞反卷积滤波)与基于异步滤波的故障检测;
(5)统一框架下时滞奇异跳变系统的扩展耗散分析与控制;
(6)时滞It.随机奇异跳变系统容许性分析与反馈控制.本书内容无论从理论分析还是工程实践上都具有较大的现实意义，很多问题都是开放性的前沿和热点问题，极富挑战性.本书将为奇异跳变系统在实际问题中的应用提供新颖合理的研究方法和切实有效的控制途径，以期对奇异跳变系统控制理论的丰富和发展以及在工程实践中的应用起到积极的促进和推动作用.
1.2 预备知识
定义1.1[9] 考虑奇异跳变系统
Ex(t)=A(rt)x(t)(1.1)其中，x(t)∈Rn为状态向量;rank(E)=r (1.2)
其中=0，当i.=j时，πij.0，πii.0且满足:
(1.3)
(1)如果对于每一个i∈S，有det(sE.Ai)不恒为零，则称奇异跳变系统(1.1)是正则的;
(2)如果对于每一个i∈S，有deg(det(sE.Ai))=rank(E)，则称奇异跳变系统(1.1)是无脉冲的;
(3)如果存在一个标量B(r0，x( ))>0，使得
(1.4)
成立，则称奇异跳变系统(1.1)是随机稳定的;
(4)如果奇异跳变系统(1.1)是正则、无脉冲、随机稳定的，那么它是随机容许的.
定义1.2[9] (1)无外部输入的中立型时滞奇异跳变系统
(1.5)
为正则、无脉冲的，如果对于每个rt=i∈S，(E，D，Ai)分别是正则、无脉冲的;
(2)无外部输入的中立型时滞奇异跳变系统(1.5)为随机容许的，如果它是正则、无脉冲、随机稳定的.
定义1.3[71]考虑如下时滞奇异跳变系统:
(1.6)时滞奇异跳变系统(1.6)满足扩展耗散性，如果存在标量.，对所有非零的ω(t)∈L2[0，∞)和任意的tT，满足:
(1.7)
其中，J(ω，.z，tT)是能量供给函数，具体描述为
(1.8)
这里对称矩阵Ψ1、Ψ3、Φ和矩阵Ψ2满足下列条件:
(1.9)
(1.10)
(1.11)
引理1.1[9] (1)(慢快分解技术)奇异跳变系统(1.1)是正则、无脉冲的，当且仅当存在可逆矩阵M1和N1，使得对.rt=i∈S，有
(1.12)
(2)(奇异值分解技术)奇异跳变系统(1.1)是正则、无脉冲的，当且仅当存在可逆矩阵M2和N2，使得对.rt=i∈S，有
(1.13)
其中，A4i是非奇异矩阵.
引理1.2[9] 奇异跳变系统(1.1)是随机容许的，当且仅当存在矩阵Pi，i∈S={1，2， ，N}，使得下列不等式成立:
(1.14)
(1.15)引理1.3[26，27](交互凸积分不等式) 对于标量h>0和矩阵Z、M满足，如果存在可微函数使得成立，那么
其中
.是对称阵中的对称项.
引理1.4[33，34](Barbalat引理) (1)如果函数ψ(t):R+→Rn是一致连续的，lim存在且有限，则.
(2)如果适当的连续随机过程ψ(t，e):R+×Ω→Rn一致连续且，那么.
引理1.5[9] 给定具有适当维数的实方阵χ，矩阵测度具有如下性质:
(1).∥χ∥.α(χ).μ(χ).∥χ∥;
(2)μ(χ)=12λmax(χ+χT)=12α(χ+χT).
其中，α(A)=α(I，A)=maxλ∈{s|det(sI.A)=0}Re(λ).
引理1.6[46] 给定适当维数的矩阵Σ1、Σ2和Σ3，其中ΣT1=Σ1，则
(1.16)
对于所有满足ΛT(t)Λ(t).I的Λ(t)都成立，当且仅当对于.ε>0，有Σ1+ε.1Σ3ΣT3+εΣT2Σ2<0
引理1.7[45] 时滞奇异马尔可夫跳变系统
(1.17)
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