第1章线性系统的基本概念
系统分析研究的**步是建立描述系统的数学方程。由于所解决的问题不同，所用的分析方法不同，描述同一系统的数学表达式往往有所不同。**控制理论中的传递函数就是定常线性系统输入-输出关系的一种描述，而现代控制理论中状态变量的描述方法，不仅描述了系统的输入-输出关系，还描述了系统内部的特性。
本章将从非常一般的情形出发，引入系统输入-输出描述和状态变量描述，并叙述两种描述之间的关系。一方面对已经学过的内容进行复习和扩充，另一方面为今后系统的分析和研究做必要的准备。
1.1系统的输入-输出描述
系统的输入-输出描述给出了系统输入与输出之间的关系。在推导这一描述时，系统内部结构的信息是不知道的。唯一可接触的是系统的输入端与输出端。在这种情况下，可把系统视为如图1.1.1所示的一个“黑箱”。显然，所能做的只是向该黑箱施加各.种类型的输入，并测量与之相应的输出。然后，从这些输图1.1.1系统的输入-输出描述入-输出对中获悉有关系统的重要特性。
先介绍一些符号。在图1.11中，有p个输入端，q个输出端；为输入，
向量.表示输出。输入或输出有定义的时间区间为，用u或.
12或用列向量表示输入。为输出，同样，可用列.表示定义在上的向量函数，而则表示在时间的值。若仅定义在。
则表示为
定义1.1.1单变量/多变量系统。当且仅当.时，系统称为单变量系统，否则
称为多变量系统。若系统在t时的输出仅取决于其在t时的输入，则称该系统为瞬时系统或无记忆系统。只由电阻组成的网络就是这样的系统。然而，更为普遍的系统不是瞬时系统，即系统在时的输出不仅取决于时的输入，也取决于以前和(或)以后的输入。因此，当输入加于系统时，如果不知道以前的输入那么是无法确定输出的。
换句话说，在这种情况下，输入与输出没有唯一确定的关系。显然，这种没有唯一确定关系的输入-输出对，对于决定系统重要特性是毫无用处的。因此在推导输入-输出描述时，必须假设在加入输入之前系统是松弛的或是静止的，且输出仅由以后的输入所引起。从能量的概念来看，这种假设意味着，系统在t时刻不存储任何能量，系统在时刻是松弛的。在工程实践中，总可认为系统在时刻是不存储任何能量的，也就是说总可假定系统在时刻是松弛或静止的。这时若在时把输入加入系统，则与之相应的输出是唯一的，完全由输入所决定。称 时刻松弛或静止的系统为初始松弛系统，称为松弛系统。对于一个松弛系统，自然就有
(1.1.1)
其中，某一算子，通过它由系统的输入唯一地规定了系统的输出。式(1.1.1)也可用下面等价的写法表示：
(1.1.2)
式(1.1.2)表示了一般的初始松弛系统，若对算子H的性质加上适当限制，就可以得到初始松弛的线性系统的表达形式。定义1.1.2线性/非线性系统。一个松弛系统称为线性系统，当且仅当对于任何输入u1和u2，以及任何实数.1和.2，有
(1.1.3)
否则称为非线性系统。式(1.1.3)的条件又可写成：对于任何u1和u2及任何实数.，有
(1.1.4)
(1.1.5)
很容易证明式(1.1.3)和式(1.1.4)、式(1.1.5)是等价的。式(1.1.4)称为可加性，而式(1.1.5)称为齐次性。可加性与齐次性合称叠加原理。在**控制理论中，就已经用叠加原理是否成立来区分线性系统和非线性系统了。要特别指出的是，齐次性和可加性是两个不可互相代替的概念，即具有齐次性的系统并不意味着可加性成立。现举例如下。例1.1.1设一个单变量系统，对所有t，其输入、输出之间有如下关系：
解容易验证，输入-输出对满足齐次性，但不满足可加性。同样，可加性一般也不隐含齐次性，因为式(1.1.5)中的.要求是任何实数。具体地说，由式(1.1.4)可以推导出对任何有理数.，有成立(见习题1.9)，但一般不能导出.是无理数时，式(1.1.5)也成立。
为说明线性松弛系统的脉冲响应，*先引入.函数图1.1.2脉冲函数或脉冲函数的概念，为此考虑图1.1.2所示的脉冲函数
对于所有的，的面积总是，当趋于零时
它表明了脉冲的强度，的极限：
称为时刻的单位脉冲函数，简称为函数。函数最重要的性质是采样性，即对在连续的任何函数，有
(1.1.6)
利用脉冲函数的概念，很容易导出单变量线性松弛系统的输入-输出描述。每一分段连续的输入u().均可用一系列脉冲函数来近似，如图1.1.3所示，即
图1.1.3用脉冲函数近似输入
因为系统是初始松弛的线性系统，故输出为
(1.1.7)
当.趋于零时，式(1.1.7)成为
(1.1.8)
若对所有的，已知，则对于任何输入，输出可由式(1.1.8)定义。令(1.1.9)式(1.1.9)中的变量.表示函数加于系统的时刻，而**个变量为观测输出的时刻。利用式(1.1.9)可将式(1.1.8)改写为
(1.1.10)
即对于单变量线性松弛系统，其输入-输出关系完全由式(1.1.10)的卷积积分所描述。
若一个初始松弛的线性系统具有p个输入端和q个输出端，则式(1.1.10)可相应地推广为
(1.1.11)
其中
称为系统的脉冲响应矩阵。的元的物理意义是，只在系统第j个输入端，于时刻加脉冲函数，其他输入端不加信号时，在系统第个输出端引起的时刻的响应。
或者简单地说是第个输出端对第j个输入端的脉冲响应。
这里规定今后所研究的脉冲响应矩阵可含有一系列的.函数，并且除这些函数之外，的分段连续函数。在这一假设下，如果输入的其余部分是.和是分段连续函数，那么输出也是分段连续函数。因此，线性松弛系统可以视为一个线性算子，它将定义在上由所有分段连续函数组成的无限维空间映射到另一个无限维函数空间。
若系统在时刻t的输出不取决于t之后的输入，而只取决于时刻t和在t时刻之前的输入，则称系统具有因果性(图1.1.4)。任何实际的物理系统都是具有因果性的。通俗地说，对于任何实际物理过程，结果总不会在引起这种结果的原因发生之前产生。引入截断算子，定义如下：
因果性可用截断算子来表示，即H表示的系统是具有因果性的，是指成立如下的关系：
上式左端的输入比右边多了tT的一段，而输出在tT是一样的，这说明tT的输入对tT的输出无影响。
对于有因果性的松弛系统，其输入和输出的关系可以写成
(1.1.12)对于具有线性和因果性的松弛系统，根据的定义中的每一个元都是时刻.加于系统的.函数输入所引起的输出，若系统具有因果性，则系统在加入输入之前的输出为零，即
(1.1.13)故具有线性和因果性的松弛系统的输入-输出描述为
(1.1.14)
现在将前面所说的初始松弛的概念用于任意时刻t0。定义1.1.3松弛。系统在时刻t0称为松弛的，当且仅当输出仅仅唯一地由所决定。若已知系统在t时松弛，则其输入-输出关系可以写成(1.1.15)显然，若系统初始松弛，且，则系统在t0时刻也是松弛的。但是对初始松弛系统，并非系统在时刻t0松弛的必要条件。
例1.1.2考虑一个单位时间延迟系统。这种系统的输出就是输入延迟了单位时间，即对所有的t，有。虽然，但只要，则系统在t0是松弛的。
解对于线性系统而言，不难证明，系统在t松弛的充要条件是对于所有的，有。也就是说，若对于以后的输出无影响，则线性系统在时刻是松弛的。在t0时刻是松弛的线性系统的一种输入-输出描述可表示为
(1.1.16)
一个很自然的问题是，给定一个线性系统，如何判断该系统在t时刻是松弛的？前面虽然给出了一个充要条件，但条件中要考察系统过去的历史情况，即对系统的影响。下面的定理给出的判断可以不必知道系统过去的历史。定理1.1.1由下式描述的系统：
在t0时刻是松弛的，必要且只要隐含着。
证明必要性：若系统在松弛，则对于，输出，因此
若，则有。
充分性：因为
对所有的假定条件下，可得均成立。
即对输出的影响为零，因此系统在t是松弛的，定理1.1.1虽然给出了判断t0时刻是否松弛的规则，但是在实用中想要从t0时刻到 来观测输出仍然是不现实的。下面的推论将给出判断是否松弛的一个实用条件。
推论1.1.1若系统的脉冲响应矩阵可以分解成，且中每一个元素在上是解析的(注1.1.1)，则系统在松弛的一个充分条件是对于某个固定的正数，意味着。
证明若，则系统输出为
上式最后一个积分的结果是与t无关的常向量，故是解析的假定意味着在上是解析的，又因为，由解析开拓原理可知。至此证明了隐含着，由定理1.1.1可知系统在t0是松弛的。
推论1.1.1的结果之所以重要，是因为对于任何满足推论1.1.1条件的系统，其松弛性可以由在任何非零时间区间上观测输出来确定。若在该区间内系统的输出为零，则系统在该时刻是松弛的。以后将证明凡可由有理传递函数矩阵或线性常系数微分方程描述的系统，是满足推论1.1.1的条件的。因此推论1.1.1具有广泛的实用价值。
为说明时不变性的概念，*先引入位移算子。位移算子的作用效果如图1.1.5所示。经Q.作用后的输出等于延迟了.的输入。
用数学式子可表示为
(1.1.17)
即对任意的，下式：
图1.1.5位移算子的作用效果成立。