本书以力学数值计算中的保辛算法为中心，按照从简单到复杂、从基础到推广的思路，系统详细介绍了多个力学系统及其保辛算法的主要内容。本书首先介绍了辛几何与辛代数、Poisson括号与广义Poisson括号、常微分方程与随机微分方程的基本概念和基本理论，为后续章节的阐述奠定数学基础；后续内容分别详细介绍了包括哈密顿系统、广义哈密顿系统、Birkhoff系统等力学系统及其保辛算法，此外还简要介绍了等谱流及其求解方法；最后通过大量数值算例，介绍了保辛算法的最新理论成果及其在结构响应分析中的应用。 本书可供高年级本科生、研究生、高等学校教师及数学力学工作者阅读，也可作为数值算法研究人员的入门书籍或参考书。

第1章相关数学基础
　　1.1辛几何与辛代数
　　辛几何与代数几何和微分几何是三个平行的数学分支，是研究辛流形的几何与拓扑性质的学科。它的起源和物理学中的经典力学关系密切，也与数学中的代数几何、数学物理、几何拓扑等领域有很重要的联系。不同于微分几何中的另一大分支——Riemann几何，辛几何是一种不能测量长度却可以测量面积的几何，而且辛流形上并没有类似于Riemann几何中曲率这样的局部概念，这使得辛几何的研究具有很大的整体性[1]。
　　本节介绍辛几何以及与之相关的辛代数的基本概念和基本理论，为后续章节的阐述奠定数学基础。
　　1.1.1几何方面预备知识
　　1.1.1.1微分流形
　　流形是近代数学中*重要的概念之一。在介绍流形是什么之前，先给出同胚的定义。
　　定义1.1设和为拓扑空间，如果映射是一一对应的，且f和其逆映射都是连续的，则称f为同胚映射；若f和也是可微的，则称可微同胚[2]。自同胚就是从一个拓扑空间到它本身的同胚。
　　直观地讲，同胚是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。或者说，同胚就是把物体连续延展和弯曲，使其成为一个新的物体。因此，正方形和圆是同胚的，但球面和环面就不是。
　　如图1.1(a)所示的单摆运动，其运动方程为
　　(1.1)
　　它的位形空间是图1.1(b)所示的圆周，即拓扑空间S1。同样，如果考虑图1.2(a)所示的平面复摆.它的位形空间可用图1.2(b)所示的环面来表示，即拓扑空间T2。
　　图1.1平面单摆运动及其位形空间
　　图1.2平面复摆运动及其位形空间
　　S1和T2都有局部坐标，也就是说它们局部同胚于Euclid空间，这就引出了流形的概念。流形的概念是Euclid空间的推广。粗略地说，流形在每一点近旁与Euclid空间的一开集同胚，而微分流形就是一类在其中可以进行微分运算的拓扑空间。简单地讲，拓扑空间加上局部坐标就构成流形，也就是物理学家所说的位形空间。
　　下面以参考文献[3]中地图册的例子来形象地说明什么是流形。
　　已知R是拓扑空间，若能在R上取定原点O，并规定方向和单位长度，那么每一点都对应一个坐标，这样就建立了一个坐标系。然而，在一般的拓扑空间上一般是不能建立整体坐标系的。我们出行的时候，会用平面地图来指示方位。如果将整个地球的各个地区的地图合订成一本地图集，那么在观看各个地区的地图后，就可以在脑海中“拼接”出整个地球的景貌。为了能让读者顺利地从一张地图接到下一张，相邻的地图之间会有重叠的部分，以便在脑海里“黏合”两张图。
　　类似地，在数学中，也可以用一系列“地图”(称为坐标图或坐标卡)组成的“地图集”(称为图册)来描述一个流形。而“地图”之间重叠的部分在不同的地图里如何变换，则描述了不同“地图”之间的关系。
　　如图1.3(a)所示，将点P与南极S相连，设连线PS或其延长线与赤道平面xy的交点Q的坐标为(u，v)，由于(u，v)与点P具有一一对应的关系，于是可定义(u，v)作为点P的坐标。这样就得到一个局部坐标系S1，其定义域为z> 1/2，即在除去南极点S的球面上点的坐标都可以用(u，v)表示。类似地，可以通过北极点N按图1.3(b)的方法，在除去北极点N的球面上建立一个局部坐标系S2，它的局部坐标为(u，v)，定义域为z<1/2。
　　图1.3位形空间二维球面S2
　　对于二维球面S2上的点，它有两种坐标，不难求出它们之间的变换关系
　　(1.2)
　　变换属于C∞函数类，即变换函数无穷次可微。
　　下面通过图1.4来简单示范流形上函数可微性的定义。设M是一个流形，Rn是n维Euclid空间，f是定义在M上的函数又设为含点P的一个坐标卡，则F=fφ.1α为定义在Rn开集上的实函数，其中符号为复合函数合成符号，例如(gf)(x)=g(f(x))。
　　称为的局部坐标系，称为的坐标邻域，称为坐标卡[3]。所有的坐标卡组成M上的一个光滑图册。
　　下面通过坐标卡来定义流形M。
　　定义1.2假设X是拓扑空间，设x和y是X中的点，称x和y可以“由邻域分离”，如果存在x的邻域U和y的邻域V使得U和V是不相交的，且X中的任意两个不同的点都可以由这样的邻域分离，那么称X是Hausdorff空间[4]。
　　定义1.3设M是一个有可数基的Hausdorff空间，给定一个图册满足：
　　(1)的一个开覆盖；
　　(2)对，映射是一个从M的开集Uα到局部Euclid空间Rn上的同胚映射，如图1.5所示；图1.5M的开集同胚映射:中的开集)(3)A中的任何两个图册和是C∞兼容的，即表示或者，且是一个微分同胚。
　　则称M为一个n维光滑流形，称A为M的一个光滑图册。如果A包含所有与它相容的局部坐标系，则称A为M的*大光滑图册，此时称(M，A)为n维微分流形(简称为流形)，称A为M的微分结构[3]。
　　定义1.4设M和N分别是m维和n维微分流形，连续映射满足对于和的坐标卡有，且局部表示.是Ck可微的，则称f在P处是Ck可微的；如果f在每个点P2M处都是Ck可微的，则称f是Ck可微的，或称f是Ck映射[3]，如图1.6所示。
　　1.1辛几何与辛代数
　　图1.6可微映射
　　定义1.5设M，N是微分流形，是同胚，如果f，f.1都是光滑的，则称f是M到N的微分同胚[5]。如果微分流形M，N之间存在一微分同胚，则称M和N是微分同胚的微分流形，记为M'N。
　　1.1.1.2切空间和余切空间
　　令M是一个n维微分流形，Fp是所有在点附近有定义而且在p处可微的函数构成的空间。在其上定义运算[2]：
　　(1.4)
　　定义1.6微分流形M在p2M处的切向量Xp是指映射[2]
　　(1.5)
　　具有性质：
　　(1)
　　(2)
　　(3)即相当于求导运算的Leibniz法则。
　　下面给出切向量的一般定义。
　　定义1.7假设一个映射ν:有下列性质[3]：
　　(1)线性性
　　(1.6)
　　(2)
　　(1.7)
　　则称是M在点p处的一个切向量，如图1.7所示。
　　图1.7点p处的切向量
　　记微分流形M在点p2M处的全体切向量g。假设Xp和Yp是M在点p处的任意切向量，定义运算：
　　(1.8)
　　易证TpM关于上述运算构成向量空间，称其为微分流形M在点p处的切空间。
　　定义1.8由微分流形上一点p处的全体切向量构成的向量空间TpM称为M在点p处的切空间[3]。
　　上述定义都较为抽象，直观地讲，如果所研究的流形是一个三维空间中的曲面，则在p点的切向量，就是在p点处和该曲面相切的向量，切空间就是在p点处和该曲面相切的平面。
　　为了便于理解后续关于切向量的局部坐标运算，下面不加证明地给出切空间基底的有关结论。
　　定理1.1假设是微分流形M的一个给定的局部坐标系，n是点p的局部坐标，则切空间TpM是一个n维线性空间，它的基底在给定的坐标系下可以表示为[3]
　　(1.9)

目录　
前言　
第1章　相关数学基础　1　
1.1　辛几何与辛代数　1　
1.1.1　几何方面预备知识　1　
1.1.2　代数方面预备知识　8　
1.1.3　辛空间和Euclid空间　18　
1.1.4　辛流形　19　
1.1.5　辛矩阵　22　
1.2　Poisson括号与广义Poisson括号　32　
1.2.1　Poisson括号　32　
1.2.2　广义Poisson括号　36　
1.3　常微分方程　41　
1.3.1　常微分方程的基本概念及其数值方法的收敛性与稳定性　41　
1.3.2　常微分方程的有根树理论及其在Runge-Kutta方法中的应用　43　
1.4　随机微分方程　48　
1.4.1　随机微分方程的基本概念　48　
1.4.2　随机微分方程的双色树理论及其在Runge-Kutta方法中的应用　53　
1.4.3　随机微分方程组的四色树理论及其在分块Runge-Kutta方法中　
的应用　64　
1.4.4　力学系统的随机变分计算　73　
第2章　哈密顿系统及其保辛算法　79　
2.1　哈密顿系统　79　
2.1.1　哈密顿方程　79　
2.1.2　辛结构与守恒律　83　
2.1.3　辛格式　87　
2.1.4　显含时间可分线性非齐次哈密顿系统的辛格式和划归方法　102　
2.2　随机哈密顿系统　106　
2.2.1　随机哈密顿系统的表示与分类　107　
2.2.2　精确平稳解　108
2.2.3　等效非线性系统法　109　
2.2.4　拟哈密顿系统随机平均法　110　
2.2.5　随机稳定性与分岔　112　
2.2.6　首次穿越损坏　114　
2.3　多辛哈密顿系统　115　
2.3.1　多辛哈密顿系统及其守恒律　115　
2.3.2　多辛哈密顿系统的典型离散方法　119　
2.3.3　多辛哈密顿系统的应用　126　
第3章　广义哈密顿系统及其保辛算法　169　
3.1　广义哈密顿系统　169　
3.1.1　广义哈密顿方程　169　
3.1.2　线性广义哈密顿系统与无穷小Poisson矩阵　171　
3.2　广义哈密顿方程的对称性与守恒量　173　
3.2.1　积分理论　173　
3.2.2　对称性直接得到的守恒量　175　
3.3　广义哈密顿系统的数值方法　184　
3.3.1　基于Pade逼近的线性广义哈密顿系统的Poisson格式　184　
3.3.2　Poisson Runge-Kutta格式及其守恒律　186　
3.3.3　数值迭代算法　191　
第4章　Birkhoff系统及其保辛算法　194　
4.1　Birkhoff系统　194　
4.1.1　Birkhoff方程与Pfaff-Birkhoff原理　194　
4.1.2　Birkhoff方程的构造方法　195　
4.1.3　Birkhoff方程的性质　197　
4.1.4　Birkhoff方程的保辛算法　201　
4.2　多辛Birkhoff系统　205　
4.2.1　多辛哈密顿方程的推广　206　
4.2.2　多辛Birkhoff系统表示形式　208　
4.2.3　Birkhoff多辛守恒律和多辛格式　214　
4.2.4　线性阻尼振动方程的Birkhoff形式　218　
第5章　等谱流及其求解方法　224　
5.1　等谱流的概念及其分类　224　
5.1.1　等谱流的概念　224　
5.1.2　等谱流问题的分类　224　
5.2　等谱流方法　226
5.2.1　修正的Gauss-Legendre Runge-Kutta(MGLRK)方法　226　
5.2.2　半显式等谱Taylor方法　229　
5.2.3　Runge-Kutta-Munthe-Kaas(RKMK)　方法　231　
5.2.4　Cayley变换下的RKMK方法　233　
5.2.5　基于Magnus展开的双括号等谱流方法　235　
5.2.6　基于一般线性逼近的有限积分法的等谱流法　237　
第6章　力学系统保辛算法的数值算例及其应用　241　
6.1　扰动线性哈密顿系统的保辛摄动级数展开法及其应用　241　
6.1.1　引言　241　
6.1.2　扰动线性哈密顿系统的保辛摄动级数展开法　242　
6.1.3　基于摄动级数展开法的扰动线性哈密顿系统的辛结构　243　
6.1.4　数值算例　246　
6.1.5　本节小结　254　
6.2　非保守线性哈密顿系统的保辛摄动级数展开法及其应用　254　
6.2.1　引言　255　
6.2.2　非保守线性非齐次哈密顿系统　255　
6.2.3　非保守线性哈密顿系统的保辛摄动级数展开法　256　
6.2.4　基于摄动级数展开法的非保守线性哈密顿系统的辛结构　258　
6.2.5　结构动力响应问题的非保守线性哈密顿系统表示　260　
6.2.6　数值算例　261　
6.2.7　本节小结　266　
6.3　随机和区间非齐次线性哈密顿系统的保辛参数摄动法及其应用　266　
6.3.1　引言　267　
6.3.2　含扰动非齐次线性哈密顿系统的保辛参数摄动法　267　
6.3.3　随机非齐次线性哈密顿系统的保辛参数摄动法　269　
6.3.4　区间非齐次线性哈密顿系统的保辛参数摄动法　272　
6.3.5　随机和区间非齐次线性哈密顿系统结果比较　275　
6.3.6　数值算例　277　
6.3.7　本节小结　282　
6.4　随机和区间哈密顿系统的保辛同伦摄动法及其应用　282　
6.4.1　引言　283　
6.4.2　含扰动确定性哈密顿系统的保辛同伦摄动法　283　
6.4.3　随机哈密顿系统的保辛同伦摄动法　285　
6.4.4　区间哈密顿系统的保辛同伦摄动法　288　
6.4.5　随机和区间哈密顿系统计算结果比较　290
6.4.6　数值算例　290　
6.4.7　本节小结　302　
6.5　线性Birkhoff方程的不确定性保辛参数摄动法及其应用　302　
6.5.1　引言　302　
6.5.2　扰动线性Birkhoff方程的保辛参数摄动法　303　
6.5.3　随机线性Birkhoff方程的保辛参数摄动法　304　
6.5.4　区间线性Birkhoff方程的保辛参数摄动法　306　
6.5.5　随机方法与区间方法的对比　308　
6.5.6　数值算例　311　
6.5.7　本节小结　318　
6.6　基于生成函数法的结构动力响应问题的保辛算法　318　
6.6.1　引言　319　
6.6.2　基于结构动力学方程构建Birkhoff系统　319　
6.6.3　结构动力学方程的生成函数法　320　
6.6.4　数值算例　323　
6.6.5　本节小结　324　
6.7　结构静力问题的增减维保辛摄动级数方法　325　
6.7.1　引言　325　
6.7.2　结构静力问题迭代格式的一般构建方法.326　
6.7.3　结构静力问题保辛迭代格式的构建方法.326　
6.7.4　数值算例　333　
6.7.5　本节小结　336　
6.8　微分方程的增减维保辛摄动级数方法及其应用337　
6.8.1　引言　337　
6.8.2　偶数维一阶常微分方程保辛格式的构建方法　338　
6.8.3　奇数维一阶常微分方程的增减维摄动级数法　340　
6.8.4　数值算例　342　
6.8.5　本节小结　345　
参考文献　347