本书共分7章（不含绪论）。第1章主要介绍本书所需要的集合论、数学分析、高等代数和近世代数等方面的基本知识。第2章主要介绍与本书相关的点集拓扑知识，重点介绍连续映射、开集、闭集以及紧性。第3章主要介绍可数集、可测集和Lebesgue积分等与本书相关的实变函数知识。第4章主要介绍距离空间的定义、常见的距离空间、距离空间的完备性及Banach不动点定理等。第5章主要介绍赋范线性空间的定义、常见的赋范线性空间、赋范线性空间中的最佳逼近问题、Banach空间中的基本定理及有限维赋范线性空间等。第6章主要介绍内积空间的定义、Hilbert空间的定义、常见的内积空间、内积空间中的逼近问题、Hilbert空间上有界线性泛函的表示定理及有界线性算子等。第7章主要介绍有界线性算子的谱理论、紧算子的谱理论及有界自伴算子的谱理论等。 本书可作为信息与计算科学、数学与应用数学、统计学及数据科学与大数据等数学类专业的本科生教材和其他理工类专业研究生的教材或参考书。

绪论
第1章 预备知识
1.1 集合的基本概念
1.2 集合的基本运算
1.3 关系与映射
1.4 代数运算及其运算律
1.5 群与环
1.6 线性空间
1.7 线性空间中的点集
1.8 线性算子
1.9 实数集的完备性
1.10 函数的极限与积分
习题一
第2章 点集拓扑
2.1 拓扑与邻域
2.2 拓扑空间中的点集
2.3 基与序列
2.4 子空间
2.5 积空间和商空间
2.6 拓扑空间中的紧性
习题二
第3章 Lebesgue积分
3.1 集列与映射
3.2 基数与可数性
3.3 Rn中的点集
3.4 Lebesgue测度
3.5 测度空间
3.6 可测函数
3.7 Lebesgue积分的定义和性质
3.8 Lebesgue积分收敛定理
3.9 Lebesgue积分与Riemann积分的关系
习题三
第4章 距离空间
4.1 距离空间的基本概念
4.2 距离空间中的点集与连续映射
4.3 距离空间的完备性和紧性
4.4 Banach不动点定理及其应用
4.5 拓扑线性空间初步
习题四
第5章 赋范线性空间及其上的有界线性算子
5.1 赋范线性空间与有界线性算子
5.2 有界线性算子空间与共轭空间
5.3 赋范线性空间中的最佳逼近
5.4 Hahn-Banach延拓定理
5.5 Banach空间中的基本定理
5.6 有限维赋范线性空间
5.7 赋范线性空间及其共轭空间中的收敛
习题五
第6章 Hilbert空间及其上的有界线性算子
6.1 内积空间的基本概念和性质
6.2 Hilbert空间中的最佳逼近
6.3 Hilbert空间中的规范正交基
6.4 仿射流形中的最佳逼近
6.5 Hilbert空间上有界线性泛函的表示
6.6 Hilbert空间上的有界线性算子
6.7 Hilbert空间上的正交投影算子
6.8 条件期望
习题六
第7章 有界线性算子的谱理论
7.1 有界线性算子的谱性质
7.2 紧算子的谱理论
7.3 有界自伴算子的谱性质
7.4 正算子及其平方根
7.5 有界自伴算子的谱族
7.6 有界自伴算子的谱表示
习题七
参考文献