第1章气动模型和气体流动方程
本章将定义一个称为气动模型的气体流动模型,它能够充分描述标准尺寸的飞行器在中等密度介质中典型运动状态下的周围流场特征,例如,在地球和其他行星的大气层中飞行,或在试验测试平台中开展试验。在该模型的框架内,将推导出气体流动的控制方程,并将阐明一些伴随的理论问题。
首先,由于一维流动不需要借助复杂的矢量和张量计算,可以首先通过简单的一维流动来揭示气体动力学过程的机理和物理规律,然后再推导一般形式的气体动力学方程。
与此同时,本章只给出一些经典理论的精简形式,如运动学理论、张量分析等。详细的介绍可以参考Kochin,Kibel和Roze(1963),Loitsyanskii(1966),Rakhmat-ullin Loitsyanskii等(1970),Sedov(1972),Landau和Lifshitz(1959)等或其他学者的书籍。
1.1气动模型概述
在讲述气体流动的一般理论之前,我们首先介绍适用于常见气体动力学问题中气体介质的气动模型。
通常,我们采用“介质模型”这个词时,意味着用一组控制方程去完全确定一个特定的过程,同时考虑一些额外条件(如边界、初始条件等)。接下来将介绍气动模型的本质。
在构建气动模型(和其他学科分支的模型一样)时,应先考虑其应用的目的和条件,本书旨在为各种在大气层内的飞行器丨或各种空间轨道再入飞行器,即外流问题)的工程发展,以及对喷流和导流(内流问题)的研究等提供指导。在本书的主题之一的外流问题中,气动模型的应用环境取决于飞行器的尺寸L、飞行速度U和飞行高度H决定的流动介质参数,如压力p、密度p、温度T等。
然而,地球大气温度r在[200K,300K]范围内,变化相当小,但是压力和密度的变化可能有几个量级。图1.1为地球大气层的气体统计参数(即所谓的“标准大气”参数)。对静力学方程dp=-pgdH进行积分,其中重力加速度g=9.81m/s2,根据等温条件,可以得到
(1.1.1)
其中,分子浓度n、平均分子自由程I和Pa等参数用海平面的值进行归一化。图1.1表明,上述公式准确地描述了0=0.14km-1时的大气密度和压力。
在稠密大气层内(H(100km),密度比义和其他比值的变化可能高达106,这势必会影响气体动力学机理和流动模型的一些特性。一般地,这些模型的变化取决于飞行范围,如图1.2所示的飞行条件。
绝大多数的气体动力学理论(稀薄气体相关的理论除外)是由基本模型或连续介质假设发展而来的,连续介质假设认为,气体是粒子结构,允许分子和原子在充满粒子的空间中自由移动。地球大气的分子浓度髙(这将在1.4节中更详细地讨论),所以该模型意味着可以通过将单分子的独立参数的集合转换到一组宏观的平均参数,来描述气体的状态和属性。而对于稀薄气体(如在高度F>100~120km的大气层内),像压力和温度这些传统的热力学概念不再成立,这种低密度介质的主要特性是,分子的分布函数与速度、空间、时间等相关。该流动模型(构成了气体动力学的理论基础)可以认为是在构建气体密度递减的连续模型层次的*终阶段。自由分子流动区域的密度更低(飞行高度更高),这种区域内的气体不再是连续介质。
随着气体密度增加(即飞行高度H≦90~100km时),存在一个普适的简单宏观模型,我们称之为气体动力学介质模型,恰好气体动力这个词在一般意义上能够准确地描述这个范围内的流动状态。
在这种流动状态下,气体动力学特性可以通过一组宏观参数来描述,如气体速度矢量t/;基本热力学参数,如压力p、密度p、温度:T和比能e(单位气体质量的能量);以及一组动力学参数。而在一般流动状态下,由每个组分i的混合物和状态决定。该模型主要包括以下几个内容。
(1)热力学参数之间的约束(代数)关系称为状态方程。特别地,标准条件下的理想气体满足克拉拍龙(Clapeyron)状态方程和能量方程,其中,片是给定气体的气体常数,^是定容比热容。
(2)内部宏观力(应力)和速度场之间的关系,或流变介质模型(考虑黏性的情况下)。
(3)基于质量、动量和能量守恒的基本方程组。
总体来看,按照气体密度增加的方向,可以将气体动力学发展体系依次分为两个阶段。一般地,气体中的每个微粒单元面除了受到静压力p产生的法向力外,还受到黏性应力的作用。同时,气体混合物组分(多组分介质时)间的热传导和热扩散通过微粒单元会产生热通量,这种效应被称为耗散。结合黏性流体的实际模型,推导出纳维-斯托克斯(Navier-Stokes,N-S)方程,是气动模型发展体系的*高阶段。
严格地说,决定黏性流动结构的主要参数并不是密度,而是一个无量纲参数,即雷诺(Reynolds)数,Re=pUL/no气体或液体的黏度/x主要取决于温度。因此,大气飞行中雷诺数的数量级主要由密度决定。典型再入条件下,Re和高度的依赖关系如图1.1所示。
在高雷诺数流动中,黏度的影响只在很窄的边界层内(主要在固体表面附近),边界层的厚度量级为LRe-*'在边界层外,可以认为流动是无黏的,用欧拉(Eu-ler)方程描述。
该模型引出了气体动力学的一个广泛的分支,即无黏理论,或通常所说的理想流体,本书的大部分内容将专门针对这个问题进行讨论。
除了雷诺数,还有一个更重要的参数,马赫数M=U/a,M能够定性地描述气体动力学问题的物理和数学特性。其中,a是气体中的声速。根据不同的马赫数,可将气体流动分为亚声速(M<1)、跨声速和超声速(M>1)。马赫数M=0时,表示不可压流动模型,而为高超声速流动。
前面考虑的是气体介质模型*基础的特性,而温度升高时,会表现出其他的特性,即伴随的物理化学反应过程。
冷空气主要是双原子气体:氧气(占空气分子总数的21%)、氮气(78%),以及少量的氩(约1%)的混合物。在相对较低的温度下,比如,r<500~700K(即在马赫数M<3的中等超声速飞行范围内)时,空气可以视为完全双原子气体。然而,随着飞行速度的增加,空气温度会有所增加。值得注意的是,在驻点位置(如钝头体绕流中),气体粒子内能增加的量级与气体相对运动的动能相当。在高超声速飞行中,内能的增加幅度是非常大的。因此,当速度U=8~10km/s时,完全气体的温度可能高达。在这个温度下,一般气体状态无法存在或者原来的流动状态无法维持。
随着温度升高,空气分子的自由振动首先被激发,导致比热增加(图1.3)。氧分子在T>2000K、氮分子在T>4000K时开始分解(离解)成单原子。随着温度进一步增加,开始发生电离过程,产生自由电子(图1.4)。
事实上,这些过程需要消耗大量的能量。图1.5所示的钝头体流动中,驻点位置的动能在物理和化学过程中被部分消耗。显然,分子振动的能量相对较小,而电离和离解过程需要消耗高达75%的流动能量。这些效应使得很多基于完全气体动力学的假设不再适用。
所以,物理化学过程与气体动力学过程之间速率的比值很关键。如果物理化学反应过程比气体动力过程中热力学状态的变化快得多,则可以认为气体是绝对平衡的,这种流动称为平衡流。相反地,在另一个极端条件下,气体粒子迅速离开所关注的流动区域,物理化学过程没有反应时间,因此气体组分不会发生变化,这种流动称为冻结流。
在这两种极端条件下,仅仅用主要的热力学参数(p,p,T,e)就足够描述气体的状态方程,并通过几个方程(状态方程)将这些参数联系起来。在这两种条件下,流动控制方程的数值特性和气动力特性以及问题的公式化,与完全气体流动的没有区别。
本书的主要部分就是专门讲述这些流动的理论,我们称之为平衡气体动力学理论。基于这套理论发展的理论规律是很普适的,所以在实际应用中适用范围相当广泛,尤其是理论的适用更广,甚至对物理化学非平衡流动的广泛中间区域也是有意义的。
非平衡气体动力学与平衡气体动力学不同,需要添加一些微分方程(在某些情况下,数量可高达几十个),导致物理特性和数值特性上出现一些新的效应。
物体绕流的类型取决于流动条件。因为物理化学过程的速率通常随着气体密度的增加而增加,相对低海拔(标准尺寸L~lm的物体对应的高度H<30km)飞行的典型的流态是平衡流,而非常高的海拔(约H≥80km)出现冻结流。同时,黏性流动的髙度范围也较低。物理化学过程影响的边界非常依赖飞行速度,如图1.2所示。
在结束气体流动特性和模型的回顾之前,我们将对构建气体流动模型的方法作一个重要的论述。
构建气体介质的物理模型有两种方法。第一种是由经验数据得到的物理规律和关系式,这种方法(将其称为现象学)需要借助经验,不需要详细了解分子水平的流体问题,就足以建立流体和气体动力学理论。因此,这个方法为所有已知的手册提供了理论依据,本书自然也不例外。
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