第1章分数阶系统概述
现实的世界本质上是分数阶的。分数阶微积分对于我们所能看到的、触摸到的、控制的自然界中的事物具有很大的影响。过去我们用整数阶微积分描述自然界中的事物。但自然界中许多现象依靠传统整数阶微积分方程是不能精确描述的，必须对传统的微积分学进行扩展才能更好地描述、研究这样的现象。分数阶微积分方程是扩展传统微积分学的一种直接方式，即允许微积分方程中对函数的导数阶次选择分数，而不仅是现有的整数。图1.1和图1.2给出了伊莎贝尔（Isabel）飓风的影像与分数阶微积分方程模型的计算结果，可见这样的现象是不能用整数阶微积分方程模型进行建模和研究的，而分数阶微积分方程则可以较好地描述这种现象。
在科学发展的过程中，很多进展都来源于所谓“中间”（inbetween）的思想。例如，模糊逻辑在传统的康托尔（Cantor）集合的[0，1]值之间引入了隶属度的概念，基于该理论的模糊控制理念无论在理论还是在实际应用中都有着重大的意义。分数阶微积分学理论也是基于这样的“inbetween”思想，该领域的研究将使得微积分学的研究范围进一步扩展。分数阶微积分学的引入将使得人们更好地理解客观世界，对科学与工程领域的进展起到重要的作用。
描述自然界现象的数学模型都应该是分数阶的。很多系统由于采用集中参数方式的近似后效果很好，可以用整数阶系统模型近似描述，忽略分数阶因素，故分数阶现象并未引起足够的重视。但在一些实际的系统，如电气、机械、生物工程系统中，分数阶现象是不能忽略的，需要考虑分布参数系统，这类系统在以往研究中通常采用偏微分方程来近似描述，传统的建模仿真和控制设计方法不适合处理这样的偏微分系统，使其难于分析控制。
分数阶系统高阶逻辑形式化验证
如果引入分数阶微积分学的建模方法，则很多被偏微分方程描述的过程可以较好地用分数阶系统精确地描述，并且利用分数阶仿真和控制方法来进行准确研究分析。
分数阶微积分学的理论可以追溯到三百多年前微积分学创建者之一莱布尼茨（Leibniz）的工作，但分数阶微积分学在其他领域的应用是近十几年的事，较全面也是广为引用的描述分数阶微积分方程的著作出版于1999年[1]，国内的书籍《高等应用数学问题的MATLAB求解》是较早介绍分数阶微积分学及其计算的著作[2]。
1.1分数阶系统简介
分数阶系统是建立在分数阶微积分以及分数阶微积分方程理论上的模型系统。分数阶微积分，指微分、积分的阶次可以是任意的或者说是分数的，它扩展了人们所熟知的整数阶微积分的描述能力。整数阶微积分仅仅决定于函数的局部特征，而分数阶微积分以加权的形式考虑了函数的整体信息，在很多方面应用分数阶微积分的数学模型，可以更准确地描述实际系统的动态响应，提高对于动态系统设计、表征和控制的能力。分数阶微积分积累了函数在一定范围内的整体信息，这也称作记忆性，它在物理、化学与工程中都有应用。分数阶微积分的发展为各个学科的发展提供了新的理论基础，在冶金、化工、电力、轻工和机械等工业过程中都有应用。分数阶微积分对于复杂的、成比例的系统过程和事件提供了更完善的数学模型，在物理、生物工程、控制理论等方面有很多应用。随着工业的发展，对于一些实际模型的建立提出了更高的要求，分数阶微积分方程的引入，使得数学模型变得更加简单准确，分数阶微积分的研究，也越来越受到关注。
过去分数阶微积分还没有广泛应用于系统工程领域，是由于在工程系统的数学模型中还没有广泛使用分数阶微积分，一般的偏微分方程对于动态系统的建立也提供了足够的自由度。近年来，这种情况开始发生变化，分数阶微积分不仅为工程系统提供了新的数学工具，而且特别适合描述动态系统的行为。*近，在漫射、光谱分析、电介质与黏弹性等行为中，一些数学家、物理学家和工程师等已经开始应用分数阶微积分来解决问题。分数阶微积分对于复杂的、成比例的过程和事件提供了更完善的数学模型。在生物工程领域，以前生物工程师很少直接应用分数阶微积分这个数学工具解决当时的生物医学问题。在大多数情况下，他们用传统的整数阶微积分方程为动态系统建模，并研究这些生物过程的控制系统。对于一些情况，这些工具方法是有效的。但是，在生物分子工程、细胞组织工程和神经网络工程的一些新兴领域，那些传统的方法有一定局限性。分数阶动力学遵循分数阶幂函数暂态响应，一些传感神经元就显示了这种活动，生物系统的暂态响应和频率响应数据表明这是一种潜在的分数阶动力学。这就迫使人们将传递函数的模型由整数阶扩展到分数阶，来更好地研究这些行为，分数阶微积分为其提供了一种有效的运算模型。
随着对分数阶微积分理论研究的不断深入，它的应用也越来越广，在力学、物理学、生物工程、分形理论和地震分析等方面都有涉及。**个用分数阶微积分解决的工程问题是等时*线问题。1823年，阿贝尔（Abel）发现了一个微积分方程的解，这个微积分方程包含了当时分数阶微积分的黎曼-刘维尔（Riemann-Liouville）定义。由于当时分数阶微积分算子的不完善、定义的相互矛盾、缺乏统一的运算规则等，使得分数阶微积分在工程中的应用受到限制。直到19世纪中期刘维尔（Liouville）、黎曼（Riemann）、格伦瓦尔德（Grunwald）和列特尼科夫（Letnikov）发展了分数阶微积分定义的一般表达式。今天，*常用的分数阶微积分定义就是Riemann-Liouville定义和格伦瓦尔德-列特尼科夫（Grunwald-Letnikov）定义，这些定义在工程问题中的应用也经历了很长时间。
在将一些变换如拉普拉斯（Laplace）操作等应用到分数阶系统时，可以发现对于分数阶微积分的操作并不遵循那些整数阶微积分的规则。例如，对于一个时间常数c的0.5阶微分并不是零，而是。这个结果也显示了一个整数阶微积分中简单的定义在分数阶微积分中也是复杂的，这也表明要想获得这个新的数学工具并不能简单地套用传统的整数阶微积分的理论方法。分数阶微积分就像一门新的语言一样，对于人们熟悉的公式有自己不同的规则。在分数阶微积分领域里，为了更好地描述那些基本原则，需要设计新的定义。在仔细分析的基础上，还要证明对于描述函数、系统的方法和操作是正确的。因此，分数阶微积分不仅是更好的建模工具，而且还可以从数学上精确证明系统的正确性。
分数阶控制系统既可以应用到整数阶系统中，也可以应用到分数阶受控系统模型中。在复杂动态系统中，应用分数阶微积分方程建模要比整数阶系统模型更加准确，特别是在物理、生物医学等方面，分数阶系统模型可以准确描述动态系统的属性特征。分数阶模型，一般来说采用分数阶控制器才能起到很好的控制效果。分数阶控制器增加了可调参数，可以连续改变系统参数属性，其控制效果远远好于整数阶控制器。分数阶控制器不仅适用于分数阶系统模型，对于整数阶系统模型也能充分体现它的优越性。
越来越多的专家学者开始关注分数阶系统的研究。在2003年美国机械工程师协会上*次出现了关于分数阶微积分及其应用的座谈会，该会议接受了29篇关于分数阶微积分及其应用的文章，其中涉及建模、自动控制、热能系统和动态系统等多个领域。*次分数阶微积分及其应用的国际自动控制联合会（International Federation of Automatic Control，IFAC）会议于2004年夏天在法国波尔多召开，会议包括描述、分析、近似、仿真、建模、识别、可观、可控、模式识别、边缘检测等多方面。对于分数阶系统的研究包罗万千，类似于整数阶系统的各个方面，分数阶系统有很多方面值得人们去研究分析。
1.2分数阶系统求解
随着分数阶微积分定义的出现，分数阶微积分方程的求解方法成为数学家至今仍在研究的主要课题。分数阶微积分方程的解析解不仅很难求得，而且在实际的工程中意义并不大，数值解在实际中的应用更广泛一些。数学家们给出了自己的解法，每种解法都随计算机技术的快速发展，得到了验证。
起初研究者针对特定的分数阶微积分方程的求解做了大量研究。对于分数阶布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）方程，Wyss[3]等给出了一个完整解。对于分数阶福克-普朗克（Fokker-Planck）方程的求解问题，Liu等[4]曾进行过深入研究。关于亚当斯（Adams）类型的分数阶微积分方程，Diethelm等[5]提出用预测校正方法来得到微积分方程的数值解。特别是在物理现象上，对于分数阶漫射方程，Wyss[6]研究了其在特定函数下解的形式，又进一步给出了分数阶漫射波方程及其相关属性。Gorenflo等[7]用Laplace变换法得到了分数阶漫射波方程的几何不变解。Mainardi等[8]在复平面内给出了分数阶漫射波一种关于格林函数的一般表达式。Anh和Leonenko[9]对于带有特定参数的分数阶漫射波方程提出了一些运算规则。Agrawal[10]也在卡普托（Caputo）分数阶微积分定义的基础上，求解了分数阶漫射波方程。Benson等[11]经过大量研究，对于分数阶水平散射方程，给出了基于分数阶稳定误差函数的解析解。
研究者多数是针对分数阶微积分的Caputo定义来给出分数阶微积分方程的解。很多求解分数阶微积分方程的工作，都是针对单项的分数阶线性微积分方程来研究分析的，阶次小于1的分数阶微积分方程是学者研究的重点。在此基础上，将其扩展到高阶的多项的分数阶线性微积分方程，Edwards等[12]对此进行了研究，将分数阶微积分方程看作一个方程系。Miller和Ross[13]给出了一种分数阶微积分方程求解方法，他们将分数阶微积分方程描述为一系列相关的分数阶微积分方程。Diethelm和Ford[14]在分数阶微积分的Caputo定义下给出了一种求解分数阶微积分的数值算法。Mesiry等[15]对于线性分数阶微积分方程给出了一种计算其近似的数值解的算法，该方法需要很大的计算量来得到计算权数。大多数的研究还是针对分数阶线性微积分方程的。对于具有初值条件的分数阶非线性微积分方程的研究，也在逐渐得到学者的关注。Ortigueira[16]专门讨论了分数阶线性系统的初始条件问题。以上研究多是基于Caputo分数阶微积分定义，是相对于较低阶的分数阶微积分方程的求解研究，很多方法都具有一定的局限性，不能推广到高阶或是任意阶的分数阶微积分方程。也有研究者给出用分数多步法来求解高阶的微积分方程，经过大量研究证明该多步法理论上是有效的，但在实际中并不可行。也有人提出用多项方程式来近似离散分数阶微积分方程。Tseng等[17]在*简洁的分数阶微积分柯西（Cauchy）定义的基础上，利用傅里叶（Fourier）变换的属性，在频域内，用*小方差法来求解分数阶微积分方程。该方法是用信号处理的工具来求出分数阶微积分的信号输出，信号的零均值就是该方法的内在要求，因此考虑在分数阶微积分Cauchy定义上进行。Diethelm和Ford[18]讨论了分数阶非线性微积分方程的求解问题，在特定初值和分数阶微积分Riemann-Liouville定义的条件下求解分数阶微积分方程的数值解。陈阳泉教授利用兰伯特（Lambert）函数，用解析表达式给出了一类分数阶延迟动态系统的稳定界。这些研究为今后分数阶系统理论的发展奠定了基础，为分数阶鲁棒控制的研究提供了必要条件。
分数阶微积分方程以及数值解的求解方法，为分数阶系统分析与控制提供了理论上的依据。对分数阶微积分方程进行一系列微积分变换，可以将分数阶系统从时域扩展到频域。对于建立在分数阶微积分基础上的分数阶系统来说，这些变换把**的控制理论扩展到了分数阶控制理论中。分数阶系统问题的求解不能完全借用传统的微积分理论来实现，必须依据自己的理论体系。而很多分数阶微积分领域的计算，如一般非线性分数阶微积分方程尚不具备一般的数值解法，实用解法的提出将为分数阶系统的研究奠定基础。
1.3分数阶系统近似化
由于分数阶系统中微积分的阶次是分数的，不能直接应用整数阶的理论方法。