第1章集合论基础
第1－3章介绍“朴素集合论”和一般拓扑基础知识，一些用到而未说明的概念和符号读者可参见本书的前篇《应用拓扑学基础》本章从“集合”和“元素”两个基本概念出发介绍集合运算、关系与偏序、映射、集合的序数和选择公理等.
1.1集合及其基本运算
集合是由某些具有某种共同特点的个体构成的全体.这些个体称为集合的元素或元.我们通常用大写字母冬B， 表示集合，小写字母a，b， 表示集合的元素.如果a是A的元素，记作aGA，读作a属于A如果a不是A的元素，则记作a车A、读作a不属于A
我们常用写出集合全体元素都满足的共同性质的方法来表示集合.例如A=｛x|x是小于4的正整数｝.在这里，花括号表示 .的集合”，竖线表示“使得”这个词，整个式子读作“A是所有使得x为小于4的正整数x的集合”又例如｛x;x2=4，且x是正整数｝.是由一个元素2构成的集合.凡由一个元素构成的集合，常称为独点集或单点集.此外，也常将一个有限集合的所有元素列举出来，再加花括号以表示这个集合.例如{d，6，c}表示由元素｛a，b，c｝构成的集合.习惯上，用N表示全体自然数构成的集合，含0;用Z表示全体整数构成的集合，Q+表示全体有理数构成的集合，M表示全体实数构成的集合，Z+表示全体正整数构成的集合，Q+表示全体正有理数构成的集合.
一个集合也可以没有元素.例如平方等于2的有理数的集合.这种没有元素的集合称为空集，记作.
如果集合4与S的元素完全相同，就称4与S相等，记作A=B，否则就称A与B不相等，记作.
如果A的每一个元素都是B的元素，就称A是B的子集，记作或，分别读作A包含于B或B包含A.
定理1.1.1设A，B，C是集合，则
(1)
(2)
(3)
我们认为空集包含于任一集合，从而可以得到结论：空集是唯一的.
如果且，即A的每一个元素都是B的元素，但B中至少有一个元素不是A的元素，就称A是S的真子集，记作，或，分别读作A真包含于A或B真包含A
属于一个集合的元素可以是各式各样的.特别地，属于某集合的元素，其本身也可以是一个集合.为了强调这个特点，这类集合常称为集族，并用花写字母A，B， 表示.例如，则它的元素分别是独点集{1}和空集.
设X是一个集合，我们常用，或2X表示X的所有子集构成的集合，称为集合X的幕集.例如，集合{a，b}的幕集V({a，b})={{a}，{b}，{a，b}，0}.
给定两个集合A，B，A中所有元素及B中所有元素可以组成一个集合，称为集合A与B的并，记作，即或.在此采用“或”字并没有两者不可兼的意思，也就是说既属于A又属于B的元素也属于.如果取A与S的公共部分，这个集合称为集合A与B的交，记作，即义：且；若集合A与丑没有公共元素，即，则称A与B不相交，或相交为空集.
在讨论具体问题时，所涉及的各个集合往往都是某特定的集合U的子集.我们称这样的特定的集合U为宇宙集或基础集.在基础集U明确的情况下，设集A，BCU，则集合称为4的余集，或补集，记作集合A关于集合B的差集是，或者记作，这样的集又称为B与A之差.
集合的并、交、差三种运算之间，有以下的运算律.
定理1.1.2设A，B，C是集合，则以下等式成立：
(1)(幂等律）
(2)(交换律）
(3)(结合律）
(4)(分配律）
(5)(DeMorgan律）
在解析几何中，于平面上建立笛卡儿直角坐标系后，平面上的每一点对应着唯一的有序实数对.可以把有序实数对概念推广到一般集合上.给定集合A，B，集合;称为A与B的笛卡儿积，或称乘积，记作.在有序对(x，y)中，x称为第一个坐标，y称为第二个坐标;A称为A×B的第一个坐标集，S称为A×B的第二个坐标集.集合A与自身的笛卡儿积A×A常记作A2.
例1.1.3平面点集股是所有有序实数对（x，y)构成的集合.
两个集合的笛卡儿积定义可以推广到任意有限个集合的情形.对于任意n个集合本，的第i个坐标集.常记n个集合A的笛卡儿积为An，例如Rn个实数集R的笛卡儿积.
习题1.1
1.设4是集合.试判断以下关系式的正误：
2.列出的全体元素.
3.设隼A1，B1，B2， ，Bn是集合，n为正整数.证明：
(1)
(2)
4.设A，B是集合.定义，称为A与B的对称差.证明集合的对称差运算满足交换群公理，即：
(1)
(2)
(3)对于任意集合A
(4)
5.集合A×B为有限集是否蕴涵着A与B都是有限集？
6.设X，Y是集合且4，
1.2关系、映射与偏序
1.2.1关系与映射
定义1.2.1若R是集合X与Y的笛卡儿积X×Y的一个子集，即，则称R是从X到Y的一个关系.如果，则称x与y是R-相关的，并记作xRy.若，则称集合存在，使得为集合A对于关系R而言的像集，并记作R(A).
定义1.2.2从集合X到X的关系称为集合X上的关系.关系称为恒同关系或者对角线关系，常简写为
定义1.2.3(1)设R是从集合X到Y的一个关系.则集合是从到X的一个关系，称为关系R的逆，记作R-1.若，则X的子集是集合B的R-1像集，也称为集合B对于关系R而言的原像集.
(2)若R是集合U上的关系，则也是U上的关系，称为的补关系.
定义1.2.4设R是从X到Y的关系，S是从Y到Z的关系.则集合Y存在Y使且Y是从X到Z的一个关系，称为关系R与S的复合，记作SoR.
设R是X上的关系.则记R2=RoR，一般地，记
容易验证关系的逆与复合运算之间有以下的运算律，证明从略.
定理1.2.5设R是从集合X到Y的一个关系，S是从集合Y到Z的一个关系，T是从集合Z到W的一个关系.则
(1)
(2)
(3)
数学分析中的函数、群论中的同态、线性代数中的线性变换等概念都有赖于下面所讨论的映射概念.
定义1.2.6设R是从集合X到Y的一个关系.如果对每一，存在唯一吏，则称R为从集合X到Y的映射，并记作.此时X称为映射R的定义域，Y称为映射R的陪域.对每一使得的那个唯一称为的像或值，记作.称为映射的值域.对于每一个如果存在使，则称x是y的一个原像，y的全体原像集记作.
注意可以没有原像，也可以有不止一个原像.
今后，常用小写字母表示映射.下一个定理说明求映射的原像集运算保持集合的并、交、差.
例1.2.7设X是集合，定义:则易证iA是映射.称映射为从A到X的包含映射，简称包含映射.包含映射有时简记为iA到X.集合X到X的包含映射特别称为恒同映射或恒等映射，记作idx或Idx:XX.
定理1.2.8设是从集合X到Y的映射.若，则
(1)
(2)
(3)
(4)
定理1.2.8说明，求映射的像集运算保并，而求原像集运算保并、交、差.
下一定理在证明涉及映射像集的包含式时很有用，我们把它叫做映射像引理.
定理1.2.9(映射像引理）设是映射，
证明
定理1.2.10
证明注意到映射是特殊的关系，由定义1.2.4和定义1.2.6直接可得.
定义1.2.11设是映射.若Ｙ中每个元关于映射ｆ都有原像，即f(X)=Y，则称f是满射；若X中不同的元关于映射f的像是Ｙ中不同的元，即对任意，当时，有，则称ｆ是单射；若f既是单射也是满射，则称ｆ是--映射或--对应，或双射.
下一定理的证明从略.根据该定理，一一映射也称为可逆映射.
定理1.2.12
定义1.2.13
定义1.2.14
1.2.2等价关系
定义1.2.15
⑴（自反性）若由可得xRx，即，则称R是自反关系;
(2)(对称性）若由xRy可得yRx，则称R是对称关系；
(3)(反对称性）若由xRy和yRx可得;x=y，则称R是反对称关系；
(4)(传递性）若由xRy和yRz可得xRz，则称R是传递关系；
(5)若R同时满足自反性、对称性和传递性，则称R是等价关系.
例1.2.16恒同关系(X)是集X上的一个等价关系，X×X也是X上的一个等价关系.
定义1.2.17设R为集合X上的等价关系，若xRy，则称x，y是R-等价的.集合X的子集称为的R-等价类，记作或简单地记作问.任何一个都称为R-等价类的代表元.集族称为集合X关于等价关系R的商集，记作映射定义为对任意，称q为自然投射或粘合映射.
直观上，可以把商集看成是把集合X关于等价关系R的每个等价类粘合成一点而得到的集合，因此映射也称为粘合映射.
1.2.3预序、偏序及全序
定义1.2.18(1)集合L上的一个关系如果是自反的和传递的，则称该关系是L上的一个预序，记作(L，简记为<，并称（L，<)是预序集，或简称L是预序集.习惯上，用x<y表示.
(2)设是集合L上的一个预序.若是反对称的，则称是L上的一个偏序，称是偏序集.在不引起混淆的情况下，可简记为L.
(3)设是偏序集.若，有或，则称一个全序，称是一个全序集或线性序集，或链.
(4)集合L上的偏序关系的逆关系仍然是L上的'一个偏序关系，称为的对偶偏序，记作相应地，赋予对偶偏序的集合L可记作，或简记为Lop.
例1.2.19幂集P(X)上子集的包含关系是偏序关系，实数集R上通常的小于等于关系是一个全序关系.在任一集X上定义关系便当且仅当x=y.则是X上的一个偏序，称为X上的离散序.
定义1.2.20设是一个预序集，D良L的非空子集.
(1)若，存在，使得，则称D良L的定向集或上定向集.
(2)若，存在，使得，则称D先L的滤向集或下定向集.
(3)设D是L的定向集，存在，则称E是D的共尾子集.
显然，全序集都是定向集，定向集的共尾子集仍为定向集，正偶数集是正整数
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