第1章非相对论量子力学理论框架
为了解决**物理学不能解释的物理难题，众多物理学家建立了量子理论。量子理论在原子中的成功运用使其成为现代物理学的两大支柱之一。虽然量子理论的*初提出总和“微观粒子”联系在一起，但随着对时空理解的进一步深入，人们发现不仅微观尺度的粒子遵守量子理论，宏观尺度乃至天体物理学也遵守量子理论。再者，随着20世纪末发展起来的激光冷却技术的进一步改进和成熟，观察玻色-爱因斯坦凝聚这类可控宏观量子效应成为可能。
什么是量子化？量子化是否意味着连续变为分立？可观测力学量的分立取值是微观粒子的显著特征之一，但不是微观粒子*有的性质。**世界也有分立的现象，如弦振动；量子世界也有连续的现象，如散射态。因此，连续与分立并不是**与量子的本质区别W。量子体系与**体系的本质差异是量子体系的波粒二象性，量子化是指体系的波粒二象性在所考虑的问题中非常重要，必须考虑。爱因斯坦-德布罗意关系表明波动性和粒子性是通过普朗克常数h联系起来的，因此量子效应由普朗克常数Ti表征。根据n的引入方式不同，建立了三种量子化方案：①将普朗克常数h引入波函数满足的方程，即波动力学，该方案主要关注波动性，关注点在描述体系状态的波函数上，体系的演化完全反映在波函数随时间的演化上；②将?i引入对易关系，即矩阵力学，该方案主要关注粒子性，关注点在描述体系动力学行为的可观测力学量上，体系随时间的演化由海森伯方程描述;③将?i引入波函数，即费曼提出的路径积分。
非相对论量子力学是在处理原子尺度微观现象的过程中建立和发展起来的，整个理论体系建立在几个基本假设的基础之上，这些基本假设构成了非相对论量子力学的基本原则。非相对论量子力学理论框架可概括为五条基本公设，即波函数公设、薛定谔方程公设、算符公设、测量公设与全同粒子公设。五条基本公设是在**种和第二种量子化方案中完成的。费曼路径积分是另一种完全不同的量子化方案，其物理思想源于杨氏双缝实验。正如费曼所说，杨氏双缝实验是量子力学的核心。
1.1波函数公设
1.1.1波与粒子
处理微观粒子时，**个需要解决的问题是如何描述微观粒子。对光子或电子的双缝实验进一步分析可知，微观粒子与**粒子之间*本质的区别是微观粒子具有波粒二象性，即微观粒子同时具有波动性和粒子性两方面的性质，在不同的实验中表现不同，在同一个实验中不会同时观察到波动性和粒子性。华中科技大学陈学文教授和华南理工大学李志远教授合作，设计出协同作用的弱测量装置，并以正确的方式协同作用，组成光子和原子干涉仪，使同时观测微观粒子的波动性和粒子性成为可能[21。波动性和粒子性既互补，又相互排斥。需要注意的是，虽然量子力学中的波与**的波一样具有相干性，但是它有自身*特的特点。量子力学中的波是概率波，相干也是概率波的相干，是粒子自己与自己的相干。
波粒二象性是量子涨落的物理根源，也是理解微观量子体系诸多反直觉行为的*终落脚点。值得注意的是，波粒二象性是用**概念来描述微观粒子行为的结果，但波粒二象性是否是微观粒子的全部性质并未可知。事实上，微观粒子可能还有其他特性，但目前人们还无法对这些特性进行观测，这些特性是什么也就一无所知。幸运的是，实验表明采用波粒二象性这样的描述，目前是合理的。
1.1.2波函数公设的内涵
1.状态用波函数肯，t、完全描述
微观粒子的状态总可以用波函数呢t）来完全描述，如果所需希尔伯特空间已建立，则波函数对应于该空间的一个态矢量，数学上可以用一个列矩阵表示。例如，选择为希尔伯特空间的基矢，则波函数必可以
表示为
（1.1）
2.波函数的概率诠释
哥本哈根解释表明|#（尸，*）|2（1尸表示t时刻粒子在空间f4f+df*出现的概率。值得注意的是，量子力学中的概率与**统计物理中的概率有着本质的区别。对于**统计物理中的案例，如果可以确定每个粒子所有的相互作用，这个粒子的状态是完全确定的，则不存在概率的问题。因此，可以说**统计物理中的概率不是真概率。概率来源于人们对系统的认识不全面，而量子力学中的概率是真概率。波函数已经描述了体系的全部性质，或者说只要波函数给定，可以提取出系统所有需要的信息。
由于量子力学中波函数表示概率波，因此响）和邮财表示相同的态。**统计物理中的波代表真实物理量，如电场强度，如果电场强度的幅值由E0变为cE0，则强度变为原来的c2倍。
近些年来，科学家一直尝试突破哥本哈根解释，主要体现在测量时波函数的塌缩。按照哥本哈根解释，讨论双缝实验中电子的客观存在是没有意义的，只有在观测时，电子才作为一个实体存在。字面上看，电子的波函数在检测器上某一点发生塌缩是因为整个宇宙在观察它，这显然是非常奇怪而不能令人满意的。更加关键的是量子力学的哥本哈根检释中，微观世界的运动是由量子力学来描述的，而观察或测量却依赖于量子系统之外的**仪器，甚至是观察者与环境，这种二元的处理方式不仅带来认识上的误导，也给量子理论的应用带来根本性问题。
3.统计诠释对波函数提出的要求
由于波函数的统计诠释，从实验观测的角度要求波函数必须是单值、归一、连续和有界的。归一化条件常写为
（1.2）
如果已经选择了一个力学量的本征函数作为基矢，建立了希尔伯特空间，则波函数可以用一个列矩阵表示，如
（1.3）
考虑到式（1.3）表示与矢量的相似性，常将式（1.3）称为态矢量，上述列矩阵中的矩阵元便是该态矢量在相应基矢上的投影，即这样波函数的归一化条件将改写为
（1.4）
4.态叠加原理与量子纠缠
如果是体系可能的状态，则它们的线性叠加所得出的波函数：
（1.5）
也是体系的一个可能状态。当体系处在态|妁时，出现态|1>的概率是l^l2，出现态|2）的概率是|c2|2，以此类推。在不受外界干扰的情况下，它们的这种叠加关系保持不变。
态叠加原理会产生一个全新的现象——量子纠缠。例如，处在总自旋为零的双电子体系，其自旋波函数可写为
（1-6）
式中，分别表示在Z方向上的自旋分量取向为向上和向下的状态；下标1和2是粒子的标示。为了简化，暂时不考虑系统的外部自由度，只专注内部自旋这个自由度。处于上述状态的电子，有如下特点：①无论是**个电子，还是第二个电子，其自旋向上或向下的概率都是1/2，自旋都没有确定的值；②对**个电子的自旋进行测量，将以1/2的概率得到自旋向上（向下），同时态|奶塌缩至|个山>（|因此测量后第二个电子立刻确定，为自旋向下（向上），并且第二个电子的自旋态依赖于**个电子的自旋态；③上述这种特性与空间距离无关。类似于上述两个电子的现象称为量子纠缠（quantum entanglement），式（1.6）中无法写成两个粒子波函数直积形式，则态|妁就是一个纠缠态。
处在纠缠态的两个量子力学系统，整体性质完全确定，每个子系统性质不确定，但是子系统的性质之间存在不可分割的关联，对其中一个子系统的测量必定会导致另一个子系统状态的瞬间塌缩，并且瞬间塌缩与空间距离无关，就像两个子系统之间存在超距相互作用。正因为如此，爱因斯坦将其称为幽灵般的超距相互作用。
量子纠缠已经成为一种物理资源，目前量子信息学的一个核心任务就是开发和应用量子纠缠资源。经过近几十年的研究与发展，量子纠缠已成功应用到量子隐形传态（quantum teleportation）、密集编码（dense coding）、远程态制备（remote state preparation）等领域。量子隐形传态是通过A、B两地共享的纠缠资源将A地物理系统中的未知量子态传送到远方的B处。值得注意的是，仅仅是A处物理系统的状态被传送至B处，而物理系统本身并未传送。
虽然量子纠缠是一种可以利用的物理资源，但也是量子信息物理实现的障碍。真实的量子系统不可避免地与周围环境发生相互作用导致量子退相干，破坏系统的量子编码态，使其退化为**物理态，这样量子纠缠带来的优势便不复存在。可以说量子信息技术的开发就是在利用量子纠缠，同时又和量子纠缠做斗争的过程，寻求在操作过程中尽可能地保持纠缠。例如，旨在提升量子通信成功概率和安全的纠缠纯化与浓缩[1Q1。基于这些考虑，系统的量子纠缠判据、纠缠度量和纠缠动力学等问题就格外重要。因此，对量子纠缠的部分研究针对纠缠度量展开，旨在帮助人们优化相关量子技术。这部分内容可参考文献。
5.量子不可克隆定理
由态叠加原理可以得出量子不可克隆定理[151，内容为不存在能够复制未知量子态而不对量子态进行干扰的克隆机。下面对量子不可克隆定理进行简单证明。
假设存在可以不对量子态造成干扰的克隆机，对量子态的克隆用C/表示，对于态|而，可以精确复制它，则态|約的克隆可以表述为
（1.7）
式中，表示真空态。同样对于态有
（1-8）
但是对于态丨沴〉与态的相干叠加态，有
（1-9）
因此对于相干叠加态办得到的结果并不是的复制，所有假设的精确量子克隆机不成立。
量子不可克隆定理否定了精确复制未知量子态的可能性，但是不保证复制必定成功的“概率量子克隆”仍然是可能的，中国科技大学郭光灿院士小组*早提出概率克隆机的概念这种克隆机的输入仍然是待克隆量子态的粒子，此外还有某已知参考态的参考粒子和辅助粒子。先通过概率克隆机对这三个粒子进行幺正变换，再对辅助粒子进行测量。该测量有时能将被克隆粒子和参考粒子的状态塌缩成两个被克隆量子态的完美复制品，但是有时会失败。详细证明过程见文献[16]。此外，Pati等^也证明将任何未知量子态复制完全删除是不可能的。
量子不可克隆定理与海森伯不确定性关系从物理原理上保证了量子密钥分发协议的安全性，量子不可克隆定理保证窃听者无法在不对量子态造成干扰的情况下进行位置量子态的精确复制。
1.2薛定谔方程公设
1.2.1薛定谔方程
描述体系状态的波函数佩t）随时间演化遵守含时薛定谔方程为
（1.10）
关于薛定谔方程，需要明确以下两点。
（1）连续性方程：
（1-11）
和电荷守恒类似，上述连续性方程反映的是概率守恒，因此在非相对论量子力学中不涉及已有粒子的湮灭和新粒子的产生。
（2）波函数随时间的演化。如果体系哈密顿量A不显含时间（即0t^=0），含时薛定釋方程的解形式上可以写成：
（1.12）
式中，U（t，0）为演化算符，描述波函数随时间从0到t的演化。将其代入含时薛定谔方程，整理后可得演化算符满足的方程：
（1.13）
该方程的解可表示为
（1-14）
如果已知体系初始状态，给定哈密顿量，则*时刻体系波函数唯一确定，是完全可预测的。如果体系哈密顿量与时间相关，此时波函数的演化与哈密顿量的具体形式相关，详细情况在第3.2节绝热近似部分展开。
展开
