第1章 绪论
1.1 动力学系统稳定性研究现状
对于具有渐近稳定平衡点的非线性系统，仅通过线性化系统平衡点理论来分析系统的行为是不够的，重要的是确定系统被扰动到离平衡点多远处仍能恢复平衡。这便产生了稳定域(region of attraction，ROA)的概念。稳定域又可称为吸引区、吸引域。对于非线性系统，平衡点的稳定域通常是状态空间的子集。此外，非线性系统可以具有几个渐近稳定的平衡点，使得轨迹可以收敛到这些点中的一个。在实践中，系统应该在足够稳定的操作点下操作，这意味着操作点应该具有足够大的稳定域。因此，估计稳定域是一个重要的课题，并已在若干领域进行了广泛研究[1-4]。其目的是开发一种通用的方法，可以有效地计算稳定域，以达到任何所需的准确度。
通常，找到准确的稳定域是非常困难的。在术语“准确”中，我们并不是要提供稳定域的封闭形式描述。相反，我们希望通过便于数值计算的集合获得整个稳定域。计算精确稳定域的基本工具是Zubov方法[5-7]。Zubov方法通过最优李雅普诺夫函数(Lyapunov function，LF)表示稳定域，该函数是一阶偏微分方程(partial differential equation，PDE)的解。前期进展包括Zubov方法对扰动系统的正则化和推广[8-10]。黏性解方法用于获得Zubov型方程的弱解。但是，必须提供辅助功能来解决Zubov型方程，这对于一般系统来说是困难的。确定稳定域的另一种方法是找到位于稳定域边界上的点(以下称为边界)。其基础是非线性系统的稳定平衡点通常不是全局稳定的，因此稳定域通常具有非空边界，边界由状态轨迹形成[11]。一些方法利用这种几何特征来构造一类系统的边界[12，13]。Chiang等提出的方法，在可行的情况下，可以找到整个稳定域。该方法对系统的不变集结构有一定的要求。而对于一般的系统，其不变集结构可能会很复杂[14]。后来的进展包括关于边界上不稳定平衡数的定理[15，16]。然而，对于许多学科工程而言，如飞行动力学，状态变量被约束在一定范围内。换句话说，系统在受约束的状态空间中定义。因此，约束状态空间中通常不存在不稳定的平衡点，并且可能涉及极限集的计算。
根据李雅普诺夫逆定理，对于渐近稳定的平衡点，在稳定域上可定义LF，并且稳定域可以由LF精确描述[5，7]。然而，这种描述稳定域的方式不便于计算。另外，有多种近似方法通过计算不变集来提供稳定域的估计，所述不变集是本地LF的次级集。这些方法通常称为LF方法，因为次级集便于计算，LF方法已被广泛研究[17-22]。然而，局部LF的子集通常只是稳定域的保守子集。为了减少保守性，提出了几种迭代方法。Chiang等[22]通过迭代更新LF，可以产生一系列严格单调递增的稳定域估计。然而，该序列尚未证明可以收敛到精确的稳定域。基于平方和(sum of squares，SOS)的多项式优化的最新进展使得为具有多项式或理性动力学的系统构造LF变得方便。有几种方法将稳定域的估计值公式化为迭代SOS优化问题，并在每次迭代时扩大估计值[23-25]。然而，基于SOS的当前迭代过程获得的估计序列也不能收敛到精确的稳定域。
用于计算稳定域的方法通常被分为李雅普诺夫方法和非李雅普诺夫方法。但是，这些方法也可以根据其代表边界的方式进行分类。现有方法可以分为两类：具有显式表示边界的方法和具有隐式表示边界的方法。通常，边界难以通过分析表达。因此，在显式表示中，明确记录边界上的点。边界由轨迹形成，因此一些方法通过明确地提供属于它的轨迹来表示边界。Chiang等[12，13]提出的方法明确地给出这样的轨迹并利用它们来构建边界。因此，在显式表示中，可以直接获得属于边界的点的位置。但是，确定一个点是否属于稳定域是间接的，或者说是相当困难的。此外，尽管非线性系统罕见，但当平衡点全局稳定时，该方法将失效。
不同的是，在隐式表示中，边界通过在状态空间上定义并用水平集函数来描述。此外，可以通过简单地查看水平集函数的局部符号来检查点是否属于稳定域。如果水平集函数值在点x处为负，则x属于稳定域。一些方法采用LF作为水平集函数[17，18，20-25]。LF由于可以通过分析表达，可以方便地估计稳定域。然而，LF通常会导致严重的保守结果。这促使我们采用一般函数而不是LF作为水平集函数。本书提出的方法使用一般隐函数来表示稳定域和演化稳定域。与采用LF的方法相比，本书提出的方法可以计算稳定域以实现任何期望的准确度。
在数值实现中，边界的显式表示或隐式表示以离散化的方式存储。它们之间的显著区别是需要存储集合的维度。对于n维系统，隐式表示需要记录n维水平集函数。对于非空边界，边界是n–1维的集合，因此显式表示只需要求解n–1维的集合。然而，隐式表示将边界嵌入一个更高维度的域中，这使得测量和应用稳定域变得容易，可以容易地计算稳定域的几何量，如体积和到边界上最近点的距离。通过明确表示，几何量的计算是困难的。此外，隐式表示在概念上直接从二维移动到三维或更高维度。
1.2 动力学系统可达性研究现状
动力学系统可达性在从工程学到生物学和经济学的多个应用领域中都有重要作用，因此该问题已经在动力学和控制学中被广泛研究[26]。尤其是在研究混杂系统的安全问题中，可达性、不变性、安全性等概念获得了新的关注[27-29]。可达性概念的直接表征是生存理论所解决的主要问题之一[30]。
解决可达性问题的一种间接方法是使用最优控制，将可达集、生存集(又称安全集)和不变集归结为相应最优控制问题值函数的水平集，而相关值函数又可以归结为特定偏微分方程的解[26]。
关于可达性计算工具的研究一直以来都是一个研究热点[31]，混杂系统理论提供了一些可达性问题的直接方法，例如，对于某些连续动态系统，可以准确地计算其可达状态集[32]。对于一般系统，则发展出用于计算可达状态集的数值近似的工具[33，34]。
1.3 飞机结冰研究意义及现状
1.3.1 飞机结冰研究意义
飞机结冰是特定气象条件下水在飞机表面积聚成冰的现象。美国联邦航空管理局(Federal Aviation Administration，FAA)统计，1990～2000年由气象原因导致的飞行事故共3230起，其中与结冰相关的事故占12%[35]。飞机结冰对飞行安全有多方面的影响和危害，是导致飞行事故的重要因素[35，36]。许多重大飞行事故都与飞机失控(loss of control，LOC)有关[37-40]。研究指出，失控与外部因素或驾驶员不当操作导致的飞机超出安全边界有关[41， 42]，而结冰是导致飞机超出安全边界乃至失控的重要因素[36，43-45]。
几十年来，航空界采取了多种手段来减轻飞机结冰造成的危害，如发展防/除冰系统[46，47]、强化结冰条件下飞行科目的训练[48，49]等。尽管如此，结冰引起的飞行事故仍在不断发生[50-53]。美国国家运输安全委员会(National Transportation Safety Board，NTSB)的统计数据指出，1973～1977年结冰相关的飞行事故约占总事故的2.56%，1981～1988年结冰相关的飞行事故共计542起，1998～2007年达565起[54]。1978～2005年，NTSB在线数据库中共有645起飞行事故是由飞行过程中飞机结冰引起的[55]。同时期，美国国家航空航天局(National Aeronautics and Space Administration，NASA)报道了299起结冰引起的飞行事故。2006～2010年，NTSB和NASA报道了228起与结冰相关的飞行事故[56]。
从系统科学的角度看，飞行事故的发生通常是“人-机-环”复杂系统行为的结果[57]。在结冰条件下，飞机最普遍的遭遇是性能恶化、失控和失速[56]。结冰改变了飞机的外形，进而影响飞机的气动性、操纵性和稳定性等。通常，机翼和尾翼上结冰会使飞机阻力增大、升力减小、失速迎角减小、操稳品质下降。失控或失速的发生取决于结冰的严重程度和驾驶员的操纵。如果驾驶员对结冰条件缺乏足够的情景意识，采取了不当的操纵，则可能使飞机超出安全边界，引发飞行事故。
飞机结冰可能发生在起飞到着陆的各个阶段。结冰的位置也是多样的，如机翼、平尾、控制面、机身及外露传感器等部位。因此，结冰引发飞行事故的情形是多样的。
1. 起飞前机翼结冰引发飞机失速
如果起飞前飞机暴露在结冰气象条件中，飞机将在很短的时间内(通常只需数分钟)结冰，如图1.1所示。若地面人员未按照规定除冰，飞机带冰起飞，飞机可能会在起飞过程中失速，导致无法挽回的重大事故。例如，1989年3月，在加拿大安大略州，一架Fokker F-28型飞机失速坠毁，原因是该飞机在大雪中等待了约半个小时，且起飞前没有再次除冰，飞机在机翼结冰的条件下起飞[58]。1991年2月，在美国俄亥俄州，一架DC-9-15型飞机失速坠毁。原因同样是飞机在大雪中长时间等待，起飞前没有进行除冰操作，导致机翼结冰，飞机带冰起飞[59]。1992年3月，在美国纽约，一架Fokker F-28-4000型飞机起飞不久后坠毁，事故原因是飞机起飞前结冰。该飞机进行过两次除冰操作，但起飞前又等待了35分钟，致使机翼下表面结冰。2004年11月，在我国内蒙古，一架CRJ-200型飞机在包头机场附近失速坠毁。起飞前飞机在包头机场过夜，当时包头机场存在结霜(冰)气象条件，而飞机起飞前没有进行除霜(冰)操作。事故调查组认为，机翼受到霜(冰)污染致使飞机失速迎角减小，飞机在没有失速报警的情况下进入失速状态，进而导致坠毁。
图1.1 停在跑道上的机翼结冰飞机
在飞机带冰起飞引起的诸多事故中，通常飞机在失速报警系统告警之前就已经进入了失速状态。驾驶员来不及将飞机改出，最终导致飞机坠毁。这主要是由机翼结冰使飞机的失速迎角减小造成的。重要的是，即便飞机只是结有较薄的冰(毫米级厚度)，也会使飞机升力和失速迎角显著减小。如Fokker F-28机翼表面结有砂纸般厚度和粗糙度的冰形时，最大升力将减小25%，失速迎角减小约6°[58]。
因此在飞机起飞前，必须仔细检查机翼等部件的结冰情况，不能忽视薄冰的存在，必须严格按照规定进行除冰操作。
2. 带冰进近着陆引发的事故
带冰进近着陆是非常危险的，发生过许多严重的飞行事故。?2001年1月，在我国河南，两架运-8C因平尾结冰在着陆过程中坠毁。2018年1月，在我国贵州，一架运-8G飞机在着陆时坠毁，调查结果指出，事故的原因是着陆时平尾有结冰。2009年2月，在美国纽约，一架DHC-8-402型飞机在进近阶段失速坠毁，NTSB的调查报告指出该事故的原因是，在飞机结冰的情况下，机组未能正确地选择和管理飞行速度，导致飞机失速。需要强调的是，该飞机在机翼、机身、尾翼、风挡等部位配备有结冰检测装置，并配有结冰保护系统(ice protection system，IPS)。在进近过程中，结冰检测装置检测到了结冰的存在，并在座舱中显示“检测到结冰”。然而并未进一步提示机组何时启用IPS，驾驶员未能正确应对抖杆器的抖动，且未能监控好空速，最终导致飞机失速。1997年1月，在美国密歇根州，一架EMB-120 Brasilia飞机在进近过程中失控坠毁。调查结果指出，飞机在结冰环境下降的过程中，机翼前缘逐渐积累了一层薄而粗糙的冰，而驾驶员没有意识到结冰的发生。NTSB在本次事故中建议FAA应设置结冰条件下的最小空速。
3. 发动机吸入脱落冰块引发动力异常
通常，飞机发动机吸入机翼上脱落的雪、水、尘土等污染物时，并不会造成严重后果。但若吸入较大的冰块或大片的薄冰，则可能打伤发动机叶片导致较大的动力损失或动力不对称，甚至发动机停转。正常情况下，若机组人员操作得当，飞机仍能安全可控。但结冰条件下，飞机的性能已经发生变化。若驾驶员没有足够的预期，则可能操作失误，这些因素的综合作用可能导致飞机失控。发动
