第1章规范变换、正则量子化和经典量子对应
本章是基础知识的简要回顾和总结，旨在用最简单的系统(一个自由度的点粒子和真空中的自由电磁场)为例来阐述经典动力学和量子力学的正则化公理体系和一些重要的基本概念，如规范变换、经典–量子对应等。文献中经典–量子对应大多只讨论在大量子数极限下(或者ˉh→0)量子力学趋于经典理论。其实，在相干态(包括自旋相干态)中，力学量期待值的时间演化和经典动力学方程完全一致，这种意义下的经典–量子对应在宏观量子效应中起更为重要的作用。Aharonov-Bohm和Berry相位、磁单极和任意子的讨论必然涉及拓扑流形和微分几何，为方便读者阅读，我们以U(1)规范场为例给出了微分形式和外微分的基本公式。
1.1物质世界的经典图像及质点动力学
物理学研究物质世界的演变规律及其所以如此演化的道理。有物质有道理，即所谓物理。物理学试图穷究一切事物的道理，没有固定的研究对象，物质系统有广泛的含义，例如，它也可以是社会系统。物理学研究的系统都有可供实验测量的量，称为物理观察量，它们一般是空间坐标和时间的函数，泛称为场变量。在这种广义的场变量概念下一切物理量都可称为场变量。例如，点粒子的坐标r(t)只是时间的函数，空间缩为一几何点，是零维的，称为0+1维矢量场；电场强度E(r，t)是3+1维矢量场。描述各种系统的不同物理量，也可能是旋量、张量场等。运动定律描述物理观察量之间关系和演化的规律性，并用数学公式表示，是系统的本质属性，原则上它应当被实验检测，而且，实验可无限重复。当然，运动定律常常是理想条件下的规律，它们的建立包含了合理的简化和逻辑推理。物理学的任务不仅是发现并总结出系统的运动和变化规律，而且要抽象上升到和具体系统无关的原理，原理具有普适性，即所谓的道理。例如，点粒子运动遵从Newton定律，而电磁场满足Maxwell方程等，它们都是运动规律，都可统一到Hamilton原理，或者最小作用量原理中。物理其实是以数学为手段，研究任何未知事物存在和演化道理的方法，物理学的方法可用到有固定研究对象的学科中，如化学物理、生物物理等[1-5]。
1.1.1质点运动方程和最小作用量原理
我们用一个最简单的系统，即单个粒子在一维空间中的运动为例，来解释其运动规律并揭示产生这种规律的道理。这一简单系统的物理观察量是q(t)(0+1维实标量场)，如它可以是粒子空间运动的坐标——广义坐标，相应的广义速度是最。质点运动规律由Newton方程描述，它是实验观测的总结，人们可以认识和发现规律但不能创造规律。我们假定粒子在一保守力场中运动，即存在一个相应的不显含时间的势函数V(q)，则物理观测量q(t)时间演化遵从的运动方程是
(1.1.1)
由于势函数不显含时间，运动方程满足时间平移不变，积分一次后变为
(1.1.2)
由此得到一个守恒量——机械能，记为E，积分一次后的运动方程则是
(1.1.3)
守恒量总是对应于运动规律的某种时空变化对称性，特别是当V(q)=0时，方程(1.1.1)还具有空间平移不变性，由此又导致动量守恒
mq˙=p
动量p是常数。物理学并不满足于仅给出系统的运动方程，这里一个要回答的问题是，得出Newton方程的道理或者原理是什么？这一原理应具有普遍性，不依赖系统的具体特性。我们用上述的简单系统给出力学原理的引导，为此，定义一个Lagrange函数(以下简称拉氏量)
(1.1.4)
它是组态空间的函数，对这一简单系统来说，就是动能减势能。再定义一称为作用量的泛函
(1.1.5)
作用量依赖于拉氏量。对于固定的空间两点q(ti)和q(tf)，经典粒子总是走使作用量最小的路径，称为最小作用量原理或者Hamilton原理。对S变分取极值，可得
(1.1.6)
第二等式中用了分部积分，并注意到固定端点的变分为零。由于δq是任意路径变
分(图1.1.1)，所以
(1.1.7)
即Lagrange方程(以下简称拉氏方程)。
图1.1.1固定端点的路径变分
例如，一维谐振子的拉氏量是
(1.1.8)
代入上面的拉氏方程，就得到熟悉的谐振子运动方程
(1.1.9)
我们用点粒子解释了力学原理的引导，其实，该原理具有普适意义，从最小作用量原理出发，各种物理系统的时间演化规律都可以从同一原理演绎得到。例如，电磁场的场变量运动规律由Maxwell方程描述，它遵从同样的最小作用量原理。
1.1.2规范变换
规范变换(gauge transformation)是描述基本粒子间相互作用的规范场理论中的一个重要概念，它其实有更广泛的意义。对于给定系统的运动方程(实验规律)，拉氏函数L并不是唯一的，我们可以加任意一个时空函数f(q，t)的全导数。
新的拉氏函数为
(1.1.10)
从它导出的拉氏方程为
(1.1.11)
与原来的拉氏函数L给出的拉氏方程完全相同。这一事实很容易验证，因为
(1.1.12)
(1.1.13)
我们称这种变换为规范变换，或者广义规范变换。电磁场(U(1)规范场)理论中的规范变换是大家熟知的，下面2.1.2小节中我们会看到它实际上只是现在这种普遍表述的一个具体形式。
1.1.3Hamilton量和正则方程
拉氏方程中时间导数是二阶的，我们可以把方程降为一阶，代价是独立变量加倍。定义正则动量(canonical momentum)
(1.1.14)
坐标和动量为独立变量的空间称为相空间，系统的Hamilton量(Hamiltonian)定义为
(1.1.15)
它是相空间(q，p)的函数。我们可定义相空间拉氏量
(1.1.16)
再对作用量
变分取极值(最小作用量原理)
(1.1.17)
独立变量变分δq，δp前系数为零，我们就能得到下面的正则方程(canonical equation)，也称Hamilton方程：
(1.1.18)
(1.1.19)
增加了独立变量，不仅使方程变为对称的一阶方程组，而且正则动量的引入有更重要的意义。和拉氏方程不同，正则方程中的 Hamilton量只有势函数，和量子力学的Schr.dinger方程一致。当有规范场存在时正则动量不等于力学动量，特别是在场为零而势不为零的空间可导致拓扑量子效应(topological quantum effect)，即Aharonov-Bohm(AB)效应。从正则方程的观点，AB效应有明显的量子–经典对应(见本书第2章)，只不过是量子力学中波函数的相位干涉使这一拓扑效应可被实验观测到而已。
作业1.1证明Hamilton方程在规范变换下不变。提示：正则动量和Hamilton量的规范变换分别表示为
1.1.4物理量的时间演化——Poisson括号
相空间任意力学量A(q，p)的时间演化可表示为
(1.1.20)
最后一个等式中我们引入了一个重要的记号——Poisson括号。若A(q，p)，B(q，p)
是两个力学量，其Poisson括号的一般定义式为
(1.1.21)
显然
{q，p}=1
作业1.2证明角动量Poisson括号，即角动量
L=r×p
各分量满足关系
(1.1.22)
其中，.ijk是通常的反对称张量，i=x，y，z。
1.2经典场、电磁场动力学正则形式
1.2.1Maxwell方程
真空中电磁场物理观测量是实矢量场E和B，其微分形式的运动方程为
(1.2.1)
(1.2.2)
(1.2.3)
(1.2.4)
称为Maxwell方程，这里我们使用了Gauss单位制。
1.2.2规范势场和规范变换
由Maxwell方程(1.2.3)和方程(1.2.4)可引入矢量势A和标量势V，称其为规范势
(1.2.6)
当然规范势A和V不是唯一的，我们可用规范变换引入新的规范势
(1.2.8)
f是一任意时空标量函数，显然电场强度和磁感应强度在规范变换下不变。我们总可以选适当规范使规范势满足Lorentz条件
(1.2.9)
则场运动方程变为简单的形式
(1.2.10)
(1.2.11)
引入四维协变坐标
x=(x1，x2，x3，x4=ict)
四维规范场矢量
A=(A1，A2，A3，A4=iV)
和四维流矢量
j=(j1，j2，j3，j4=icρ)
运动方程(1.2.9)～方程(1.2.11)则变为
(1.2.12)
(1.2.13)
其中
