本书的内容源自于作者1986年在Berkeley讲授的课堂笔记，随后在诸多IMPA（巴西国家数学与应用数学研究所）学子的帮助下，整理并翻译成了葡萄牙文，并于1971年以IMPA专题论文集出版。本书曾在1978年被Fortaleza大学用作教材讲授微分几何课程，后被越来越多的大学所使用。为适应需要，本书的葡萄牙文版多次再版，并在诸多学者的努力下翻译成英文出版。本书就是葡萄牙文第二版的英文版。
作者意在使读者熟悉黎曼几何当中的一些重要定理及其表述的基本语言。阅读本书，要求读者有扎实的微积分学功底，并且熟知微分几何中有关曲面的各项概念。
读者对象：本书适用于数学专业的研究生。
微分流形；
黎曼度量；
仿射联络：黎曼联络；
测地线：凸邻域；
曲率；Jacobi场；
等距侵入；
完全流形：Hoft-Rinow及Hadamard定理；
常曲率空间；
能量的变分；
Rauch比较定理；
Morse指数定理；
负曲率的流形的基本群；
球面定理。
