第1章 多体系统动力学概述
1.1 概述
多体系统是指多个刚体或变形体通过运动副相互连接构成的复杂系统。多体系统动力学主要研究系统的位移、速度、加速度，以及作用力之间的关系。它是近40 年来在**力学基础上发展起来的一个新的科学分支，与航天器、机器人、车辆、武器系统、生物力学、复杂机械系统等领域密切相关且起着重要的作用。它集成了刚体力学、分析力学、计算力学、材料力学、生物力学等学科，结合现代计算机技术，面向工业装备需求逐步发展起来。由于多体系统动力学的巨大应用价值，在国际上被认为是应用力学方面*活跃的一个领域。多体系统动力学建模和数值计算是多体系统动力学分析的核心内容。
多体动力学软件属于计算机辅助工程 (computer aided engineering， CAE) 软件的一个重要分支，主要利用计算机建立机械系统的虚拟样机，解决系统的运动学、动力学和逆动力学等问题，实现多体系统的虚拟仿真，达到节约设计成本、缩短设计周期、提高设计质量的目的。多体动力学软件已成为当代机械产品设计不可或缺的工具。
多体动力学软件的应用领域非常广泛。航空航天领域包括航天器姿态动力学与控制、空间机器人动力学与控制、行星探测器动力学与控制、航天器对接机构动力学与控制等。军事领域应用包括兵器行业中坦克、火炮、多管火箭、枪、导弹等武器研制、试验、演习、作战的模拟仿真。民用领域包括机器人、汽车、发动机、机车、机床工具、工程机械、矿山机械等。多体动力学软件主要模拟机械系统的动态过程，为设计者提供数据、*线、轨迹、动画等信息。有些高端的多体动力学软件还可实现机-电-控-液等多学科的联合仿真，并可基于参数化的系统模型进行优化设计。
目前，世界上主流的多体动力学软件主要由国外商业公司开发研制，如ADAMS、RecurDyn 等，国内多体动力学软件的研制仍处于发展阶段。使用国外软件进行科学研究时，研究流程难以自主可控，研究能力难以得到训练和提升。特别是，在国家重大科研项目的研究中，使用国外软件存在较大的安全风险。因此，研制和开发一款具有自主知识产权的多体动力学软件都尤为重要。
1.2 对技术和产业发展的分析
多体动力学软件作为 CAE 软件的一个分支，是以科学计算技术为基础的软件。从各种多体动力学软件的发展历程中可以概括出以下规律。
1. 多体动力学软件的大柔性体计算功能越来越强
多体系统软件已经逐步发展为可以融合有限元法的支持大变形柔索、薄膜，甚至流体的通用动力学软件包。随着一些建模方法、解算方法 (如时间常数分解算法) 的出现，大柔性体计算中的许多瓶颈被克服，多体系统中的变形分析变得越来越可靠。
2. 多体动力学软件已经成为集成的多学科仿真平台
多体系统是机械系统的抽象描述，随着技术的进步，现实中*立的纯机械系统已经越来越少。机械系统多与控制、电子、电磁、流体、热等系统相互关联，要求多体动力学软件不能仅依靠多体动力学这个单一学科，而要与其他学科进行交叉。当前的商用多体动力学软件在这方面做得都很好，多体动力学工作者也在多学科融合领域做了大量的工作。
3. 多体动力学软件建立了许多细分的专业化模块
为了提高自身的竞争力，多体动力学软件在细分专业领域下足了功夫，许多标准化程度高的机械子系统都可以在多体动力学软件平台进行全参数化建模，如齿轮、带轮、链轮、弹簧、履带、轮胎等。近年来，这种趋势向着更细致的大系统前进，如发动机、起落架、打印机、高速机车、风电设备、飞机操纵系统等复杂系统在多体动力学平台也出现专业工具包。
4. 多体动力学软件与 CAD 产品的结合越来越紧密
可视化几何建模功能是多体动力学软件产品的“门面”，商业化多体动力学软件的几何建模功能虽然很强，但与主流 CAD 产品相比还是差一些。许多多体动力学软件都对 CAD 产品预留了接口，通过这些接口，可以使数据在多体动力学软件和 CAD 软件之间相互传递。
1.3 国内外发展现状与存在问题
1.3.1 多刚体动力学研究现状
多刚体系统广泛存在于航天、航空、机械制造、仿生医疗器械等领域。对于多刚体系统，目前已发展出一系列成熟的分析方法。这里介绍几个常用且经过广泛实践的多刚体动力学方法[1–3]。
1. 牛顿-欧拉方法
牛顿-欧拉方法是刚体力学中*基础的理论，由关于质点运动学的牛顿方程和关于姿态动力学的欧拉方程两部分组成，它是矢量力学的方法，一般仅用在单个刚体或少数几个刚体构成的系统。如果面对将多个刚体用运动副连接形成的多体系统，则需要引入约束力乘子，以便在求解微分方程的过程中同时求出约束力和加速度。采用牛顿-欧拉方法建模需要处理刚体间复杂的约束关系，因此建模人员要有一定的经验和洞察力。
2. 拉格朗日方法
拉格朗日方法是分析力学的方法，其思想是从整个系统的能量出发建立动力学方程，引入广义坐标的概念，避免关于速度、加速度等的复杂运算。采用拉格朗日方法建模要处理好广义坐标与机构自由度的关系，需要考虑机构中的约束，将非*立广义坐标用*立广义坐标表示，使系统的动力学方程能写成常微分方程组(ordinary differential equations，ODE) 的形式，否则还需要引入约束的代数方程，不便于微分方程的求解。采用拉格朗日方法建模虽然可以避免出现理想约束的约束力，但又会引入一系列烦琐的求导运算，如果要应用于计算机求解，则需要建立一种规范化的建模方法。
3. Roberson-Wittenburg 方法
Roberson-Wittenburg 方法将图论应用到多刚体力学中，是在牛顿-欧拉方程的基础上，引入关联矩阵、通路矩阵等概念描述系统的拓扑结构，可以很好地解决树形系统的建模问题。对于树形系统的每一个通路而言，该通路上的每一物体只连接一个内接物体，因此由内接物体的运动情况和相对坐标可以得到物体的绝对运动情况。采用 Roberson-Wittenburg 方法建模得到的方程具有迭代的特性，适合计算机自动化处理，但是对于闭链系统则需要额外的处理才能进行建模。
4. Kane 方法
Kane 方法基于达朗贝尔原理，引入广义速率、偏速度、偏角速度等概念，可以避免求动能函数并对其进行求导的计算步骤，*终建立的是一阶的微分方程组。该方法既适合处理完整约束又适合处理非完整约束，对于自由度多的复杂机械多体系统，Kane 方法可以减小计算步骤，但是需要对具体的多刚体系统作具体的处理，不适合计算机自动化建模。
对于一般多体系统的计算机自动化建模，当前常用的是基于笛卡儿坐标的建模方法。这种方法在一个统一的基准坐标系中表示系统各个刚体的参数，其中每个刚体都有一个固连的本体坐标系，用本体系相对基准坐标系的位置向量和姿态坐标表示各个刚体的位置、姿态、速度、加速度等，通常在计算机程序中用四元数作为姿态坐标，能避免奇异值的问题。刚体之间的约束则用代数方程表示，结合刚体的运动学方程组成微分代数方程组 (differential algebraic equations，DAE)，再运用相应的数值计算方法进行求解。这种方法能处理包含树状、闭链等特征的大部分多体系统，适合计算机自动化建模。虽然得到的方程数目较多，但是系数矩阵呈稀疏状，在实际计算中效率较高。
1.3.2 柔性体动力学研究现状
多体系统动力学建模广泛应用于军事、机器人、航空、航天、机械、生物等工程领域[4]。利用多体系统动力学理论可以对各领域内复杂系统的动态特性和性能进行准确、快速地分析和预测。经过半个多世纪的发展，多刚体系统动力学建模与数值求解理论已经相对成熟和完善。然而，对于许多工程问题，多刚体系统模型还不能满足工程精度的要求。目前动力学建模方面需要更多地考虑柔性构件的大范围运动与变形耦合情况。
柔性多体系统动力学建模的实质是根据实际工程问题的需要，将系统抽象为多刚体-柔性体力学模型，然后选择合适的方法来描述相关运动学，*终建立系统动力学方程。建模过程主要涉及柔性体的运动学描述和全局动力学方程的推导两个核心问题。柔性体的运动学描述主要围绕柔性体的离散化和参考系的选择两个步骤。
合理的柔性体离散方法是正确描述柔性体变形场、节省计算时间和资源的基础和前提。目前空间离散方法包括，假设模式法[5]、有限元法[6]、有限段法[7， 8] 和无网格法[9， 10] 等。假设模态法采用少量模态来描述柔性变形，则模态的选择必须满足相应的容许函数，并且在构造假设模态时需要应用边界条件或几何/运动学约束。局部变形法（子结构方法）是常用的假设模态法[11]。然而，对于边界条件复杂或形状不规则的柔性多体系统，此方法很难找到合适的容许函数，因此可采用全局变形法和额外的几何/运动学约束来解决此问题[12]。一般来说，对于小变形问题，采用假设模态法可以得到较好的近似结果。有限段法将柔性体划分为多个由弹簧和阻尼器连接的刚性段。柔性体的质量和惯性特性由离散的刚性段描述。柔性体的柔性和阻尼特性用刚性段间的弹簧和阻尼器表示。该方法能自然地考虑几何非线性，更适合柔性多体系统中的细长柔性体。有限元方法是现有柔性多体系统研究中的主流方法之一。它具有很强的通用性，但是很难生成复杂的结构网格和高阶连续场函数，因此一般具有应力和应变的不连续性。此外，有限元离散化通常会带来大量的广义坐标和较低的计算效率[13]。无网格法只需要节点信息，不需要预先进行网格划分，可以克服有限元预处理复杂的缺点。它的形函数可以用不同的方法构造，如径向点插值法、Galerkin 法和局部 Petrov-Galerkin 法，通常具有高阶连续性。此外，Bezier 插值[14] 和边界元法[15] 也适用于柔性变形描述。上述方法的组合应用非常普遍，如边界元和有限元的组合[16]，以及有限段和有限元的组合[17]。
参考系的选择对于推导柔性多体系统的动力学方程也至关重要。柔性体变形和大范围运动参考系描述方法有浮动坐标法[18， 19]、共旋坐标法[20–22] 和绝对节点坐标法 (absolute nodal coordinate formulation，ANCF)[23， 24]。浮动坐标法是直接在柔性体上建立一个动态参考系，用浮动坐标系表示物体的运动（大范围的整体平移、旋转），并通过叠加相对于参考系的变形来描述物体上任意一点的位置和转角。浮动参考系*适合小变形或低转速的柔性多体系统。浮动参考系与有限元相结合是柔性体常用的运动学描述方法，已应用于大量商业多体系统动力学软件中。采用浮动坐标方法得到的柔性多体系统方程中的质量阵为广义坐标函数。这意味着，系统刚体运动与弹性形变运动的耦合，给动力学方程的求解造成困难。浮动坐标系下柔性体的变形也可以通过一些线性方法处理，例如通过模态分析或试验获得模态展开[13， 25]。浮动坐标系的选择应尽量减少或消除大范围运动与变形之间的耦合，同时应便于变形的线性化描述。共旋坐标系源于计算结构力学，可用于大位移、大转角、小应变的柔性体建模。区别于浮动坐标系在整个物体上建立局部坐标对整个物体的变形进行描述，共旋坐标法在每个单元上都建立一个局部坐标系，分别描述各自单元的变形。ANCF 利用位置向量及其导数来描述单元节点，可以避开传统有限元方法对小转角的限制，能够描述任意的平动、转动和变形。节点坐标法中单元的质量矩阵是常值，动力学方程中不存在离心力项和科氏力项，与共旋坐标法相比可以进一步简化动力学方程的数值计算[13， 25]。
1.3.3 接触碰撞动力学研究现状
目前对于碰撞动力学的研究主要集中在多体系统应用研究中，如地面执行机构、空间机械臂等。本节以空间机械臂与目标发生碰撞过程为例，介绍接触碰撞动力学研究现状。
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