本书是聚焦航空发动机振动的专著，分为上、下两册。上册为基础篇，从振动基础理论出发，以单转子系统为对象，系统地介绍转子动力学基础理论，为发动机转子-支承系统减振设计提供必备知识。下册为专业篇，以航空发动机转子-支承系统为对象，阐述高压转子和低压转子的“可容模态”设计理论和方法；建立双转子解析模型，揭示双转子系统的振动特性和参数影响规律；建立双转子系统模态动平衡理论，论述双转子系统“可容模态”优化设计方法；介绍电磁轴承和弹支干摩擦阻尼器主控技术，以激发读者对发动机振动主动控制的关注和兴趣。 本书集成了作者从事空天发动机振动和振动控制几十年教学和科研的成果，浓缩了作者几十年参与若干型号发动机研制的经验和体会，具有鲜明的专业特色。本书宜作为发动机设计、制造、运行和维护技术人员的专业参考书，也宜用作飞行器动力专业、机械专业和力学专业本科生及研究生的教材。

第1章单自由度系统的振动
　　发动机振动*简单的模型可由一个单自由度系统来描述。自振频率的概念及共振现象通过分析一个单自由度系统就可得到明确的解释。另外，振系振动强弱的度量方法也具有普适性。因此，本书首先介绍单自由度系统的振动。
　　1.1运动微分方程
　　取如图1.1所示的单自由度振动系统模型。它由质量、弹簧和阻尼器组成。此处认为弹簧与阻尼器皆为线性元件，即弹性力与位移x成正比、阻尼力与速度x 成正比。
这一模型的运动微分方程可表示为（1.1）
　　式中，m表示质量；d表示阻尼系数；s表示刚度系数；F（t）表示激振力；t表示时间；x表示质量m离开平衡位置的位移。
　　方程的解由齐次方程F（t）=0的通解和非齐次方程F（t）≠0的特解构成。齐次方程F（t）=0的通解描述振系的自由振动，而非齐次方程F（t）≠0的特解则描述振系的受迫振动。下面将分别讨论齐次方程的通解所描述的自由振动和非齐次方程的特解所描述的受迫振动。分析受迫振动时，仅考虑激振力为简谐激振力的情况。
　　1.2自由振动
　　无激振力时，即F（t）=0，振系的自由振动由方程（1.1）对应的齐次方程来表征：
　　（1.2）
　　方程两边同除m可得
　　（1.3）
　　式中，
　　（1.4）
　　D称为阻尼比（相对阻尼系数）。
　　（1.5）
　　ω称为振系的无阻尼自振频率。
　　假设方程的解为
　　（1.6）
　　代入方程（1.3）后，可得
　　（1.7）
　　由于A≠0，故有
　　（1.8）
　　此方程称为振系的特征方程，其解为
　　（1.9）
　　对于发动机，绝大多数情况下满足：
　　（1.10）
　　因此，方程（1.9）可改写为λ1，
　　（1.11）
　　故可得方程（1.3）的通解为
　　（1.12）
　　式中，A1和A2为复常数。考虑到x（t）表示的是振系的振动位移，故A1和A2必为共轭复数，可设
　　则代入方程（1.12）后*终可得
　　（1.13）
　　式中，
　　（1.14）
　　（1.15）
　　系数a和b由初始条件确定。
　　当无阻尼时，即D=0时，方程（1.13）变为
　　（1.16）
　　图1.2（a）描述了振系的无阻尼自由振动，而图1.2（b）描述了阻尼对振系自由振动的影响。可见，当振系自由振动时，其振动频率为ω或1-D2ω。但当阻尼比D＜＜1时，1-D2≈1。故在一般情况下，总是把ω称为振系的自振频率。由方程（1.5）可见，它只取决于振系的固有参数，即质量m和刚度s，因此，也常被称为振系的固有频率。
　　图1.2振系的自由振动从图1.2（b）可见，阻尼对振动幅值的影响非常明显。阻尼使得自由振动的幅值随时间不断衰减，*终至零。
　　1.3利用自由振动确定阻尼的方法
　　再回到描述有阻尼振系自由振动的表达式（1.13）。其幅值衰减系数为。当振系从任一时刻t0开始振动一个周期T之后，幅值比为
　　（1.17）
　　或（1.18）
　　式中，x0为时刻t=t0时的振幅；x1为时刻t=t0+T时的振幅。
　　在弱阻尼情况下，由方程（1.18）可得
　　（1.19）
　　当相邻n个周期时，方程（1.19）变为
　　（1.20）
　　式中，xn为时刻t=t0+nT时的振幅。
　　根据这一计算公式，可实验获取阻尼比D。其过程是利用锤击使振系产生自由振动，测量出相邻n个周期的振幅值，则可由式（1.20）计算出阻尼比D。
　　1.4受迫振动
　　所谓受迫振动指外界因素作为激励使振系产生振动，并且在振动过程中，这一激励始终作用在该系统上。此处仅考虑外界激励为简谐激振力时的受迫振动。虽然这是*简单的形式，但一般情况下，发动机受到的动载皆为周期性激扰。它经傅里叶分解总可表示为简谐函数的级数。因此，把外载视为简谐力并不失一般性。
　　设简谐激振力为
　　（1.21）
　　代入方程（1.1），并考虑式（1.4）和式（1.5），则有
　　（1.22）
　　其稳态解为
　　（1.23）
　　式中，
　　（1.24）
　　（1.25）
　　引入静态位移：
　　（1.26）
　　和频率比：
　　（1.27）
　　则方程（1.24）和方程（1.25）可化为如下的无量纲表达式：
　　（1.28）
　　（1.29）
　　图1.3和图1.4分别表示Q和φ随转速比的变化，其中阻尼比D作为参数示出。由图1.3可见，Q从1开始随转速比的增加而增加，达到*大值后渐近于零。Qλ曲线称为幅频特性曲线；而φλ曲线称为相频特性曲线。
　　当阻尼比
　　（1.30）
　　Q值此时达到*大值，即
　　（1.31）
　　当阻尼很小时，D＜＜1，则有
　　（1.32）
　　上式表明，激振频率Ω等于振系自振频率ω时，系统发生共振。共振的振幅为
　　（1.33）
　　一般情况下，阻尼比D值很小，故共振振幅会很大。例如。因此，“避开共振”成为航空发动机转子设计的重要准则。
　　从图1.4表示的相频特性曲线可见，无论阻尼比D取何值，共振时，相角φ总是保持90°。因此，有时也以相角φ判断共振点。
　　1.5阻尼的半功率点估计
　　如果已知振系的幅频特性，则可根据幅频特性估计出阻尼比D值。
　　在共振点。则对于任一幅值α Qmax（α为任意实数），由图1.5所示的幅频特性可得
　　（1.34）
　　式中，为频率比。

目录
丛书序
前言
第1章单自由度系统的振动
1.1运动微分方程001
1.2自由振动001
1.3利用自由振动确定阻尼的方法003
1.4受迫振动004
1.5阻尼的半功率点估计006
1.6周期力激扰下的受迫振动008
1.7振动烈度的度量009
参考文献011
第2章支座激振与振动隔离
2.1支座激振012
2.2振动的隔离014
参考文献015
第3章单盘对称转子的振动
3.1转子的涡动及幅频特性016
3.2转子运动微分方程018
3.3转子的不平衡响应019
3.4不平衡作用下转子的进动023
3.5固定坐标系和旋转坐标系下转子运动的描述和变换024
3.6有阻尼时转子的振动025
3.7转子在临界转速时的振动和阻尼的*佳估计方法026
3.7.1转子在临界转速时的振动026
3.7.2阻尼的*佳估计方法028
参考文献032
第4章带有弯曲轴和非圆轴转子的振动
4.1轴弯曲时转子的振动033
4.2带有非圆轴时转子的振动036
4.2.1转子的不平衡响应040
4.2.2转子自重激起的振动041
参考文献043
第5章支承刚度各向异性时转子的振动
5.1支承主刚度各向异性时转子的振动044
5.2支承主刚度各向异性时转子的正进动与反进动047
5.3支承存在交叉刚度时转子的振动050
5.4支承主刚度各向异性对转子稳定性的影响054
5.5从能量角度解释转子的稳定性055
参考文献058
第6章盘偏置时转子的振动
6.1回转效应的实验演示059
6.2偏置盘运动的描述060
6.3盘偏置时转子的运动方程062
6.4转子的自振频率066
6.5转子系统的动力学“临界跟随”现象071
6.5.1不平衡力和不平衡力矩作用下转子的振动响应073
6.5.2“临界跟随”条件下转子振动响应的计算实例075
参考文献077
第7章叶轮顶间隙激振
7.1间隙激振力的计算079
7.2局部间隙损失系数080
7.3间隙激振力系数082
7.4间隙激振的失稳作用083
参考文献084
第8章转子振动的进动分析方法及其应用
8.1进动分析方法的建立085
8.2转子的轴心轨迹正、反进动分解086
8.3转子运动的进动比函数090
8.3.1支承刚度各向异性时转子的进动比函数091
8.3.2裂纹转子的进动比函数092
8.4转子进动轨迹的全息进动分析095
8.5转子进动分析的廖氏定理097
8.5.1廖氏定理1——椭圆面积定理097
8.5.2廖氏定理2——椭圆轨迹和进动圆轨迹面积定理098
8.5.3廖氏定理3——轨迹面积变化率恒定定理100
8.5.4廖氏定理4——轨迹周长定理101
8.5.5复向量内积法则103
8.5.6廖氏定理５——进动力做功的正交性定理103
8.5.7廖氏定理６——进动力做功定理105
8.6定理的应用示例106
8.6.1不平衡力所做的功106
8.6.2阻尼力所做的功107
8.6.3存在反对称交叉刚度时，弹性恢复力所做的功108
8.7几种典型故障条件下转子的进动特征109
参考文献110
第9章转子的失稳振动
9.1材料的黏弹性和内阻尼112
9.2内阻尼的作用114
9.2.1内阻尼模型及其与转子运动的关系114
9.2.2内阻尼对转子运动稳定性的影响116
9.3内阻尼和外阻尼117
9.4带内阻尼转子的不平衡响应119
9.5带内阻尼转子的重力响应119
9.6圆柱面配合引起的转子失稳振动120
9.6.1圆柱面配合的形式及特征参数120
9.6.2圆柱面配合的受力和内摩擦分析121
9.7套齿连接结构的受力和内摩擦分析131
9.7.1套齿连接的作用和特征参数131
9.7.2套齿连接引起转子失稳振动的机理132
9.7.3转子不对中对带套齿连接转子稳定性的影响134
9.7.4动态不对中时套齿连接转子的稳定性139
9.7.5套齿内摩擦等效内阻尼145
本章小结146
参考文献147
第10章振动测试及振动信号分析
10.1测试的目的和任务148
10.2振动传感器149
10.2.1传感器的技术指标149
10.2.2振动位移传感器——电涡流传感器152
10.2.3振动速度传感器——磁电式传感器153
10.2.4振动加速度传感器154
10.3传感器的安装155
10.3.1地面机械上传感器的安装155
10.3.2航空发动机上传感器的选择与安装156
10.4振动信号的调理和采集157
10.5转子振动信号的处理与分析160
10.5.1频率分辨率160
10.5.2特征量的提取及表征160
参考文献164
第11章单转子影响系数动平衡理论与方法
11.1不平衡质量的分布、静不平衡和动不平衡165
11.2刚性转子与柔性转子167
11.3刚性转子的平衡167
11.4影响系数平衡法170
11.5柔性转子的动平衡171
11.6影响系数法的改进173
11.6.1带有初始弯曲时转子的动平衡173
11.6.2保留试重的影响系数法174
11.6.3平衡面相关性问题的处理176
11.6.4影响系数矩阵的存储和重用177
11.6.5利用平均数据计算影响系数矩阵178
11.7基于试重组的影响系数平衡法178
11.7.1基于正交试重组的影响系数法179
11.7.2基于任意试重组的影响系数平衡法183
11.7.3基于正交试重组的影响系数法和基于任意试重组的影响系数法的关系186
参考文献188
第12章单转子模态动平衡理论与方法
12.1柔性单转子的运动方程和模态正交性189
12.1.1运动方程189
12.1.2振动模态191
12.1.3单转子振型的正交特性195
12.2转子的不平衡响应197
12.2.1复向量表示法197
12.2.2不平衡响应198
12.3单转子模态平衡的N平面法201
12.3.1N平面理论201
12.3.2实际平衡方法和步骤203
12.3.3正交校正质量组的确定205
12.3.4N平面平衡法的一般步骤206
12.3.5单转子向前正交平衡法207
12.3.6单转子全正交平衡法209
12.4单转子模态平衡的N+2平面法211
12.4.1向前正交的N+2平衡面法211
12.4.2向前正交的N+2平衡面法的平衡步骤212
12.5柔性单转子模态动平衡法的过程与步骤213
12.5.1转子模态的确定213
12.5.2N平面向前正交平衡法213
12.6多测点优化216
12.7单转子N平面全正交平衡法——向前和向后正交平衡法218
12.8单转子全正交模态动平衡的步骤219
12.8.1正交向量组的确定219
12.8.2平衡第一阶振型219
12.8.3平衡第二阶振型220
12.8.4平衡第三阶振型221
参考文献222
第13章带挤压油膜阻尼器转子的动力学特性
13.1挤压油膜阻尼器的发展和应用223
13.1.1挤压油膜阻尼器的结构和基本原理223
13.1.2挤压油膜阻尼器的诞生与发展225
13.2挤压油膜阻尼器的基本特性及特征参数226
13.3雷诺方程228
13.3.1坐标系与阻尼器参数228
13.3.2平衡方程229
13.3.3连续方程231
13.3.4广义雷诺方程231
13.3.5轴颈轴承的雷诺方程233
13.3.6挤压油膜阻尼器的雷诺方程234
13.4油膜反力、油膜刚度和油膜阻尼237
13.4.1半油膜、全油膜和气穴现象237
13.4.2短轴承近似理论圆进动假设稳态239
13.4.3长轴承近似理论圆进动假设稳态245
13.4.4有限长轴承近似方法250
13.4.5短轴承理论下阻尼器的瞬态特性258
13.4.6长轴承理论下阻尼器的瞬态特性268
13.4.7支承在挤压油膜阻尼器上的刚性转子277
13.4.8考虑流体惯性力时的阻尼特性283
13.4.9考虑油膜惯性效应时挤压油膜阻尼器对转子振动的影响285
13.5挤压油膜阻尼器设计290
13.5.1挤压油膜阻尼器设计流程和实例290
13.5.2挤压油膜阻尼器实验和减振性能影响因素298
13.5.3挤压油膜阻尼器的非线性特性314
参考文献318
第14章发动机转子动力学特性计算方法
14.1传递矩阵法320
14.1.1转子模型建立320
14.1.2轴段的传递矩阵320
14.1.3轴段间的传递矩阵322
14.1.4综合轴段的传递矩阵325
14.1.5临界转速与振型计算325
14.1.6分叉结构的传递矩阵法327
14.1.7不平衡响应的计算331
14.1.8应变能分析332
14.1.9计算双转子动力学特性的整体传递矩阵法333
14.1.10算例340
14.2有限元计算方法345
14.2.1有限元计算方法的特点和计算步骤345
14.2.2发动机转子系统的建模和单元节点划分346
14.2.3单元的运动微分方程347
14.2.4发动机转子系统的运动微分方程353
14.2.5分叉结构的有限元法356
14.2.6发动机双转子系统的稳态动力学特性计算361
14.2.7发动机转子系统的瞬态响应371
14.2.8算例5374
参考文献378
附录
附录A：等截面轴单元的运动方程系数矩阵379
附录B：锥形轴单元的运动方程系数矩阵381
附录C：轴单元的瞬态刚度系数矩阵384