第1章 周期材料/结构等效性质预测方法概述
1.1 周期材料等效性质预测方法
周期材料是具有周期性微结构的非均匀材料，图1.1(a)给出了这样的一种材料的示意图，由一个基本单元(也称为单胞)在面内沿两个方向y1和y2周期延拓构成。在自然界和人工制备的材料中，虽然有相当一部分材料具有严格的周期性，但是大部分材料的微结构并没有严格的周期性，如图1.1(b)所示，因此这些材料的等效性质在宏观上是不均匀的，作为一种近似，研究工作中往往从这些非均质材料中截取出足够大的代表性体积单元(简称为代表体元)，认为这样的体元足以代表材料微观分布的非均匀性和随机性，随后采用针对周期材料微结构的处理方法来分析该体元，并将其等效性质作为该均质材料的等效性质。周期材料的单胞在有的文献中称为“重复单胞”(repeating unit cell，RUC)，非均质材料中取出的代表性体积单元在文献中往往被称为 “代表体元”(representative volume element，RVE)，也有文献称之为“统计代表体元”(statistical representative volume element，SRVE)。但是，上述名词的使用并没有严格的规定，本书也将不做区分。需要注意的是，考虑材料微结构性质和形貌分布的随机性，对非均质材料进行表征，研究其等效性能的统计性质，这也是非常丰富的研究领域。
图1.1(a)周期材料及其微结构示意图；(b)非周期材料示意图
为了预测复合材料的等效性质，很多学者提出了各种不同的方法，例如自洽法(self consistent method， SCM)[1]、广义自洽法(generized self consistent method， GSCM)[2]、代表体元法以及渐近均匀化(asymptotic homogenization， AH)方法。自洽法和广义自洽法通常用来推导具有简单微结构、由基体和夹杂构成的复合材
料的近似解析公式，其优点是得到的简洁公式可供工程直接使用，而且可以在一定程度上考虑微结构的随机性。代表体元法和渐近均匀化方法是两种广泛应用的数值方法，能够分析具有复杂周期微结构的材料。
1.1.1 代表体元法和平均场理论
代表体元法通常的做法是对代表体元施加指定的单位位移边界条件或者力边界条件，令其应变能与一个均匀材料的应变能相等，从而求出等效性质 [3]。研究发现 [4，5]，采用位移边界条件(又称狄利克雷(Dirichlet)边界条件)时得到的结果接近沃伊特(Voigt)上界 [6]，而采用力边界条件(又称诺伊曼(Neumann)边界条件)得到的结果接近罗伊斯(Reuss)下界 [7]。文献 [5] 对这两种边界条件下得到的结果(分别是上界和下界)给出了形象的解释: 将所研究的代表体元在空间周期性地重复，当对代表体元施加的是位移边界条件时，相邻代表体元界面处的界面力不能满足平衡条件，得到的等效性质因此偏高；当对代表体元施加的是力边界条件时，相邻代表体元界面处的位移不连续，出现了裂缝或覆盖，得到的等效性质因此偏低。需要强调的是，其他类型的边界条件也是允许的，例如部分边界上给定位移，余下的边界给定力的混合边界条件。但是，在这些边界条件下，必须在代表体元对应的均匀材料单胞中产生均匀的应力–应变状态。
这里以二维平面问题作为例子来说明。狄利克雷边界条件下，代表体元的弹性问题为定义在图1.2中单胞上的控制方程:
(1.1)
其中，Y表示代表体元所占区域，其沿y1方向的尺寸为l1，沿y2方向的尺寸为l2；ωr±表示指定位移的边界；上标kl表示变形模式，当kl=11时，表示沿y1方向的拉伸，当kl=22时，表示y2方向的拉伸，当kl=12，21时，表示剪切；重复下标采用爱因斯坦求和约定，(*，j)表示对yj求导；分别为在kl变形模式下的位移、应变和应力；Eijpq为弹性模量张量；为对应于kl变形模式的指定单位应变，其中，克罗内克(Kronecker)符号的向量形式为
(1.2)
其中，ε(0)11为y1方向单位正应变；ε(0)22为y2 方向单位正应变，ε(0)12，ε(0)21为单位剪应变。式中通过施加对应于不同kl变形模式的位移边界条件， 得到对应于不同 kl 变形模式的位移场ukl。
图1.2 狄利克雷边界条件下的代表体元法
材料的等效刚度性质(上标H表示均匀化后的材料性质)可以通过能量等效来计算。设在代表体元边界上施加位移边界条件为不同kl变形模式的线性组合(α1， α2， α3 为任意常数)，其位移解可以表示为对应应变能为，该应变能对应于均匀化后的均质材料在应变状态 下的应变能基于应变能相等，令e均匀=e非均匀，并考虑到参数α1， α2， α3的任意性，易知如下等式成立:
(1.3)
上式即为狄利克雷边界条件下采用能量等效求解等效刚度性质的计算公式。
需要注意的是，(1.1)式中的位移边界条件虽然可以保证在相邻单胞边界上满足位移连续条件，但往往无法满足力的连续条件，因此也常采用如下的周期边界条件:
(1.4)
该周期位移边界条件可以同时满足力与位移的连续性。
在诺伊曼边界条件下，如图1.3所示，代表体元的控制方程为
(1.5)
其中，nj是面单位外法线；σ(0)klij为指定的单位应力张量，其向量形式为
(1.6)
其中，σ(0)11为y1方向单位正应力；σ(0)22为y2方向单位正应力；σ(0)12，σ(0)21为单位剪应力。式中通过施加对应于不同kl变形模式的面力边界条件，得到对应于不同kl变形模式的位移场vkl。注意，在控制方程(1.5)中，我们省略了应力应变关系、应变位移关系，它们的表达式可以参看(1.1)式。在以下的讨论中，只要不引起混淆，我们会做类似的省略。
图1.3 诺伊曼边界条件下的代表体元法
材料的等效柔度性质可以通过能量等效来计算。设在代表体元边界ωi±上施加面力边界条件为不同kl变形模式的如下线性组合:(α1，α2，α3为任意常数)，则对应的位移解为，其应变能为，该应变能对应于均匀化后的均质材料在应力状态下的应变能。基于应变能等效，令e均匀= e非均匀，并考虑到参数α1，α2，α3的任意性，易知如下等式成立:
(1.7)
上式即为诺伊曼边界条件下采用能量等效求解等效柔度性质的计算公式。需要注意的是，(1.7)式和(1.3)式虽然具有相同的形式，但是(1.7)式的位移场是由边界上加上相应的单位应力所产生的。
代表体元法的另一类处理方法是基于平均场理论[8，9]，这一方法同样是采用代表体元的应变能与一个均匀材料的应变能相等的原理来得到等效性质。但是，对于代表体元上的弹性力学问题(1.1)式或(1.5)式，采用有限元法等数值方法得到代表体元内的应力σij和应变εij分布，然后利用平均场理论的平均应力定理、平均应变定理和希尔–曼德尔(Hill-Mandel)条件，就可以得到等效性质。在代表体元上的平均应力和平均应变可以表示为
(1.8)
其中，|Y|为代表体元所占面积/体积。而根据希尔–曼德尔条件就可以根据平均应力和平均应变建立材料的宏观等效性质矩阵如下:
下面简单介绍平均场理论。
平均应变定理: 考虑如图1.4所示不含孔洞的两相材料代表体元，其中Y1为**相材料所占区域，Y2为第二相材料所占区域，Y= 1∪Y2。其平均应变表达式为
(1.9)
对于给定位移边界条件的问题(1.1)式，上式可以进一步写成
其中，[ui]代表域Y1和Y2界面的位移跳跃。当单胞内各相材料完美黏结时，这些界面的位移是连续的，跳跃量为零，因此当施加均匀应变到单胞边界时，单胞内的平均应变等于施加的应变，即
(1.10)
这就是平均应变定理。上述公式可以推广至任意的n相材料代表体元。
图1.4 代表体元示意图
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