第1章绪论
　　非线性微分动力系统理论的深刻性和应用的广泛性已经得到普遍认可，是国际数学、物理、力学、工程及金融经济领域中的热点之一.现实生活中随机干扰是不可避免的，计入随机噪声对自然规律的干扰能更加真实且从本质反映自然规律的演化与发展.许多研究表明，噪声与非线性系统的相互作用，可使随机干扰对系统的演化起决定性的作用，这种作用可能导致系统结构完全损坏，甚至崩溃.因此，研究随机干扰对非线性系统动力学行为的影响具有重要的意义.随机分岔和共振现象作为非线性系统的重要动力学行为，成为动力学及相关领域研究的热点.
　　1.1随机分岔及其研究现状
　　当系统的参数发生变化时，系统解的稳定性也随之发生改变，这种定性的结构变化称为分岔[1;2].随机分岔是指非线性系统在随机扰动下产生的跃迁现象，即研究非线性系统在噪声扰动下其样本轨迹定性性质(平衡态、平稳运动及其他长时间渐近行为)发生改变的现象，有时也称这种分岔为转移.随机分岔的研究对象是非线性现象，主要反映非线性系统在噪声扰动下产生的特殊动力学行为，是随机动力系统研究的重要内容.随机分岔不同于确定性分岔，主要反映临界分岔系统对微小随机扰动的敏感性[3;4].随机分岔分为两类：动态分岔(记为D分岔)与唯象分岔(记为P分岔).对具有遍历不变测度1.的可微随机动态系统参数族，若在某个参数.D的每个邻域上存在参数.，与之对应的不变测度，随着，则称αD为该随机动态系统的D分岔点.在D分岔点上，该随机动态系统的线性化系统的随机流是非双曲的，至少有一个Lyapunov指数为零.因此，D分岔研究从一族参考测度中分岔出新的不变测度，可以用Lyapunov指数(通常是最大Lyapunov指数，在随机Hopf分岔中也包括次最大Lyapunov指数)的正负号变化来判别，而P分岔研究随机动态系统不变测度密度(平稳概率密度)的形状(峰的个数、位置及形状)随参数的变化.若在某个参数.0的每个邻域.D上存在参数.1、.2，与之对应的不变测度P.1、P.2，满足Pα16=Pα2，则称.D为该随机动态系统的P分岔点.例如，概率密度从单峰变成双峰，或者从双峰变成单峰，可以通过对平稳概率密度求极值进行研究.D分岔是一种动态概念，与确定性分岔相对应，当噪声强度趋向于零时，D分岔退化为确定性分岔.P分岔则是一种静态分岔.本书主要研究P分岔.
　　随机分岔的研究始于20世纪80年代，主要用于数学、物理、化学、经济和工程技术等领域，但仍处于不成熟的阶段，仅有少量的一般性方法，或对某些特定的应用模型进行研究.1984年，Horsthemke等[5]出版了关于随机分岔的专著.之后Namachchivaya[6]和刘先斌等[7]从物理和工程领域出发，对随机分岔进行了专题讨论.To等[8]对分岔行为和最大Lyapunov指数进行了讨论研究.Arnold[9;10]从数学角度对随机分岔的研究成果进行了概括.朱位秋[2]从力学角度出发，对随机分岔进行了细致的描述.随着对随机分岔研究的深化，近些年取得了一些新的研究进展.徐伟等[11]利用广义胞映射方法，研究了参激和外激共同作用下Duffing-van der Pol振子的随机分岔，发现系统的随机吸引子与随机鞍的碰撞是产生随机分岔的主要原因.Hutt等[12]利用中心流形法，对时滞系统中的随机分岔进行研究.Zakharova等[13]研究了自激振子中的随机分岔.Zhu等[14]及Yue等[15]研究了有界噪声激励下系统的分岔及响应情况.Xu等[16;17]对Levy噪声驱动下的肿瘤免疫系统及基因转录调控系统的随机分岔行为进行了研究.吴志强等[18]研究了色噪声激励下三稳Duffing-van der Pol振子的随机分岔行为.
　　在随机分岔研究中，除了考虑噪声因素，客观存在的时滞等因素也逐渐被考虑进模型研究中.随机系统的延迟效应引起了广泛的关注，新的理论和实验研究成果不断涌现.研究发现，时滞对随机双稳系统逃逸率产生影响，可以增强双稳系统的共振抑制;可以提高布朗马达的能量转换效率;可以使得SS-model细胞内的钙浓度振荡;可以诱导Logistic系统定态概率分布多极值结构向单极值结构的转换，抑制肿瘤细胞的恶化;噪声驱动下集合种群的延迟效应表明，时滞增大使得集合种群在斑块中的占有率减小，灭绝时间减小;时滞可以导致两物种竞争系统中两物种密度的Hopf分叉;可以诱导基因转录模型中的蛋白质浓度发生转化;可以抑制互利共生生态系统中的种群数目的大爆炸[19-26].以上内容说明，时滞的研究是非线性系统不可分割的一部分，既可以单独引起系统的变化，又可以相互制约.文献[27]和[28]研究了时滞及有界噪声共同激励下的基因选择模型的随机分岔情况.文献[29]研究了时滞及噪声在双稳极限环模型诱导的随机分岔.文献[30]研究了具有时滞反馈的双稳模型中的随机分岔.
　　1.2随机共振及其研究现状
　　随机共振这一概念是由Benzi等[31;32]在研究古气象冰川问题时提出的.在Benzi等构建的气候模型中，地球处于非线性条件下，这种条件使地球可能取冷态和暖态两种状态.地球离心率的周期变化使气候可能在这两个状态之间变动，从而地球所受的随机力大大提高了小的周期信号对非线性系统的调制能力，通过随机共振引起地球古气象的大幅度周期变动.在某些条件下，噪声可以使输入的信号和系统达到某种匹配，从而使系统的输出达到最大，这种现象就是随机共振.这里，随机共振不再单纯地表示力学上的共振，更多的是借用共振一词来强调信号、非线性条件和噪声之间的某种最佳匹配.随机共振现象说明，很小的随机力可以在非线性系统中起到积极的、建设性的作用，促使人们对噪声有了新的认识，因此随机共振研究在理论和实验上得到广泛展开.
　　随机共振研究的最初阶段，人们一度认为随机共振的产生必须有三个条件：①周期信号；②具有双稳或多稳的非线性系统；③噪声.但是，随着对随机共振研究的深入，发现不满足上述条件的系统也会出现随机共振现象.1993年，Longtin[33]在非双稳的可激生物系统中发现了随机共振现象.Stocks等[34]在对欠阻尼的Duffing振荡方程进行研究时发现了单稳随机共振现象，Alfonsi等[35]将其解释为一种井内随机共振现象，并在不同的单稳系统中发现了随机共振现象.Hu等[36]和Qian等[37]针对圆周上无周期驱动的单稳朗之万方程，研究了其随机共振的机制.在简单的线性系统中发现随机共振这一有益的现象，促使学者们研究不同线性系统中的随机共振.Berdichevsky等[38]和Gitterman[39]在有色或分段乘性噪声驱动的线性系统中发现了随机共振.Calisto等[40]研究了乘性噪声驱动的线性系统中的随机共振，其中乘性噪声是均值为零的色噪声及其平方的和.文献[41]研究了由乘性噪声和加性噪声共同驱动的线性系统中的随机共振，发现了三种不同形式的随机共振.文献[42]研究了分段噪声诱导的随机共振，其中线性项和阻尼项都受到分段噪声的扰动.研究发现，分段噪声的转移率和强度均能诱导随机共振的产生.文献[43]考虑系统的滞后及分数阶的记忆性，研究了时滞对分数阶线性系统中随机共振的影响.神经系统的基本结构单位是神经元，其放电过程涉及复杂的物理化学过程，表现出丰富的非线性动力学行为.噪声在神经元系统中能否将信息协同放大，引起了学者们的广泛关注.Hodgkin等[44]在20世纪50年代提出了Hodgkin-Huxley(H-H)模型，用来研究神经元的放电特性和同步行为.为了进一步简化H-H模型，Hodgkin等在保留易兴奋神经细胞再生激发激励的主要特征上，提出了二维FitzHugh-Nagumo(FHN)神经元模型[45].Alarcon等[46]在一定条件下，对二维FHN进行简化，得到了FHN神经元模型.噪声驱动的FHN神经元模型也引起了学者们的广泛关注.文献[47]研究了带有时滞的FHN神经元系统中的随机共振，发现信号周期和时滞反馈的变化可以引起系统周期性的随机共振.文献[48]研究了由关联的乘性和加性噪声共同激励下的FHN神经元系统，发现噪声关联强度能够增强随机共振效应，而时滞和加性噪声强度能够削弱随机共振效应.实验还发现，在某些神经系统中，噪声具有非高斯性[49;50].文献[51]研究了非高斯噪声和加性周期信号共同激励下FHN神经元系统的随机共振效应，发现非高斯噪声有利于该系统信号的响应增强.文献[52]对非高斯噪声驱动的FHN神经系统中的随机共振进行研究，发现其中的周期信号是调制信号，并发现在FHN神经元系统中出现双重随机共振现象.非高斯噪声可以使系统出现丰富的非线性现象，并且有利于增强神经元系统的信号响应.
　　1.3振动共振及其研究现状
　　2000年，Landa等[53]从随机共振现象中得到启迪，将随机共振系统中的噪声用高频率的周期信号代替，继而观察到一种有趣的动力学现象，即振动共振现象.振动共振现象表明，在不同频率周期信号共同激励的动力系统中，通过调节外加高频周期信号的幅值，系统响应在低频信号处的幅值出现与随机共振相似的共振峰，从而使微弱低频信号得到放大.这种不同频率周期信号同时激励下的非线性系统响应问题引起了人们的广泛关注，一方面是由于振动共振发生的前提是两种不同频率信号缺一不可，而在如脑动力学[54]、激光物理[55]、声学[56]、神经科学[57]等众多领域中，高低两种频率信号是切实存在的.并且，在信号处理中发现，低频信号在系统中常携带有用信息，这里的高频信号可以对信息的传播起调制作用.另一方面是由于振动共振与随机共振现象非常类似，噪声能够提高信号的传播效果.根据两者的相似性，不难推得高频信号同样能够促进弱低频信号的传播，且后者的信号传播效率高于前者的传播效率.另外，由于高频信号是确定的，相比于噪声，信号更易于控制和调节.因此，对振动共振现象及其特性的探究有十分重要的现实意义和广泛的应用前景.
　　振动共振在非线性系统中的应用越来越广泛，学者们经过不懈的努力，在该方向取得了丰硕的成果.Gitterman[58]通过理论解析的方法，证明了振动共振机理.Chizhevsky等[59;60]在双稳垂直腔激光系统和光学系统中，给出了振动共振行为存在的实验证据.文献[61]通过数值模拟和实验表明，振动共振在随机系统中是一种增强弱非周期二进制信号检测和恢复的有效方法.随着研究的深入，学者们在双稳系统[62-65]、Duffing振子系统[66-68]、六次方振子系统[69]、神经网络动力系统[70-72]、基因调控网络[73]、生态系统[74]等诸多系统中发现了振动共振行为.此外，除了对上述系统中的经典振动共振现象进行研究之外，还探究了其他因素对振动共振的影响.例如，文献[75]讨论了势函数不对称性如何影响振动共振，结果发现势阱的不对称会引起额外的共振.Rajasekar等[76]分析了在双稳系统中势阱深度和势阱位置不同时振动共振的一些特征.Yang等[77]考虑时间延迟在系统中的作用，分析得到时间延迟能够在单一系统乃至耦合系统中诱导出新的振动共振行为.Hu等[78]发现在可激系统中高频信号和时间延迟的协同作用可以强化微弱的低频信号.Jeevarathinam等[79]考虑多重时间延迟对单一Duffing振子振动共振以及耦合Duffing振子模型中信号传递的影响，结果发现在恰当的条件下，信号能够无衰减地进行传播.与此同时，带有分数阶系统中的振动共振现象也被讨论，得出分数阶阻尼能够引起新的共振模式[80;81]的结论.越来越多的学者们将目光聚集到多稳系统[82;83]的研究.Jeyakumari等[84]证明了在具有三阱势的阻尼五次振荡器中振动共振行为的存在.同时，在有时间延迟的多稳系统中[85]，振动共振行为也被讨论.文献[86]将振动共振现象扩展到一个具有周期性势阱的系统，在多稳垂直腔面发射激光系统的相关实验[87]也证实了此现象的存在.在多稳系统的研究中，三稳系统