第1章基于声线法研究高斯行波对球形粒子的声辐射力
目前对声镊中微小粒子所受的声辐射力的研究主要有两种方法。其中声线法适用于当声波的波长相对散射体较小、衍射被忽略时的情况，此时只考虑声波的粒子性而不考虑其波动性，可以用声线的疏密来表示声场的强弱，即用声波的射线理论来计算声辐射力。声射线法算法简单、计算速度快、可靠性好，但是其适用范围窄，仅限于物体的尺寸远大于声波波长的情况。
第二种方法是散射法，是运用声场理论来计算声辐射力。它以声波的解析理论为基础，将入射声波用级数展开，利用声学边界条件给出声波散射系数的解析表达式，并根据声波的辐射理论来计算目标粒子的声辐射力。它适用于声波波长大于或近似等于散射体的尺寸。
1.1声线法
声射线几何近似，简称声线法W，是基于几何声学的方法，广泛运用于海洋声学及建筑声学的研究中。声线法使用声线或者声锥跟踪的方法计算声的传播过程，可用于封闭、半封闭或者完全开放的空间。当声波的频率较高，即声波的波长小于反射面时，可以用几何声学中反射面的概念把声的传播看成是沿着声线传播的声能，此过程中忽略了声的波动性能。声线模型的使用条件是反射面尺寸远大于声波的波长，同时反射面的粗糙度远小于波长。
同理，在高频超声下，当反射体的尺度远大于声波的波长时，我们可以只关注超声的粒子性而忽略其波动性，因此声线法也可以处理高频超声下的一些问题。利用声线法可以快速并且有效地分析声波在粒子内部的能量转移情况，从而得出声波对粒子作用的辐射力情况。
受几何光学在光慑子理论部分研究的启发Lee等将几何声学的方法应用于声辐射力的求解之中。声波和物质相互作用伴随着动量的交换，从而表现为声波对物体力的作用。在声线法中，声辐射压力由两部分组成，一部分是沿着声波传播方向的散射力，它由声波的反射所引起，大小正比于声强；另一部分是梯度力，它的方向为声强梯度方向，与声场的能量梯度有关，指向声场强度*大处。
如图1.1所示，假设一束功率为P的声线以入射角0、入射到球形微粒上时，在粒子表面及内部发生一系列反射以及折射，能量发生改变，PR、PT\PT2R、PT2RKPT2Rm、 分别表示经小球m次折反射后而出射的散射声线的功率，其中i?和:T分别表示声波能量反射和折射系数，且都小于1。如图1.1标注，取逆时针方向为正，则这些出射声线与入射声线的正向延长线的夹角分别为因此，该束尸线对"右i子球施加的沿Z方向（即该声线入射方向）的力Fz，即为Z方向上每秒内该声线产生的变化量，因此
(1.1)
其中，P/c为Z方向上每秒入射的动量；C为声波在介质中的传播速度。同理，在方向上，由于入射声线动量为零，因此动量的改变量为
(1.2)
因此，将其映射到复平面上粒子所受的合力为
(1.3)
利用欧拉公式
(1.4)
如图1.1可知
(1.5)
再分别取实部，虚部相等，则散射力分量为
(1.6)
梯度力分量为
(1.7)
其中，久和分别为入射角和折射角；和分别为能量反射系数和折射系数;Fs为沿着声波传播方向的散射力；Fg为指向声场强度*大处的梯度力。
由于声波辐射对物体产生的力常常表现为压力，从而通常称为声辐射压力。然而在特定的声场分布下，声波对物体也可产生一拉力，即形成束缚粒子的势阱。声镊是利用声波与物质间动量传递的力学效应形成的三维梯度声学势阱，当粒子直径远大于超声波长时，如果把微小粒子放入以超声声束的焦点为中心的一定区域内，则微粒就会自动移向超声声束会聚中心，并在焦点附近被稳定地捕获住。
假设一系列具有强度梯度的声束入射到粒子球上，当声线入射在介质与粒子的交界面上时，动量发生了转移，从而产生了声辐射压力。如图1.2所示，声线a，b从介质入射到粒子上，可由几何声学确定声线传播的路径。声线在进入和离开粒子球面时发生折射，同时在表面也产生一定的反射。反射作用产生沿着声线方向的散射力，使得粒子向着声束方向运动。我们着重分析声线与小球发生折射作用而施加在小球上的梯度力。图1.2中入射声线a，b沿Z轴传播，即初始动量方向为沿Z轴方向，当声线经过两次折射离开小球时，声线传播方向发生了改变，即动量有了改变。
由于动量守恒，根据矢量叠加原理，声束传递给小球一个与该动量变化量大小相等、方向相反的动量，从而产生力Fa，Fb施加在粒子球上，即梯度力作用使得粒子向着声束焦点处运动。
当声场具有强度梯度时，如图1.3所示，声线a与小球发生折射作用使小球获得的动量较大，从而产生较大的巧，从而使得粒子向着声场强度较大处运动。
只有当声波在粒子表面的折射作用占主导地位时，即当所产生的将粒子拉向声束焦点附近的梯度力远大于沿着声线方向的散射力时，才能够实现声束对粒子的捕获作用。这里我们可以采用以下方法来实现：一是选取声阻抗较为匹配的粒子与介质，从而减小声线在粒子上的反射作用；二是粒子中的声速应该略低于介质中的声速，从而避免全反射。
声线法具有理论方法较为直观、计算速度快等优势，在计算超声对微小粒子的声辐射力以及声线追踪等方向得到了具体的应用。
1.2高斯行波对球形粒子的声辐射力
本节主要研究利用声线法求解高斯聚焦声束对球形微粒的声辐射力，推导声辐射力公式，给出仿真计算，并分析和讨论仿真结果。
1.2.1轴向声辐射力
高斯声束的示意图，如图1.4所示，其中，y为径向坐标，以声轴中心为参考点，为轴向坐标，A为波长，为波数。高斯声束的声斑半径随坐标按双曲线的规律而扩展。它对应声波*细部分，即束腰。一般规定，当振幅减小到极大值的时，对应的声波截面半径作为超声波的名义声波截面半径，即。
当球形粒子正好处于髙斯声束的轴线上时，由于声辐射力沿着横向位置对称，相互抵消，我们只考虑轴线的声辐射力Fz。
如图1.5所示，为高斯聚焦超声的中心点，为入射声线和粒子交点与球心的连线和z轴的夹角，和分别为入射角和折射角，y和z分别为纵坐标和横坐标。
当超声功率为P，入射在半径为r的微球上时，高斯超声的声场表达式为
(1.8)
其中，为声波束腰中心的声强；为传播介质中的特征阻抗，在空气中。
球形粒子所受辐射力等于单位时间内在单位面积上所受声场的能量，则轴向声辐射力
(1.9)
其中，
(1.10)
为声波在介质水中的速度。
(1.11)
(1.12)
其中，Zlt厶分别为介质与粒子中的声阻抗。
1.2.2横向声辐射力
当球形粒子不关于高斯超声轴线对称时，我们要考虑横向辐射力对粒子的作用[u，12]。
如图1.6所示，为高斯聚焦超声的中心点，为入射声线和粒子交点与球心的连线和轴平行线的夹角，为点与入射声线轴的交点的连线和轴的夹角。和分别为入射角和折射角，和分别为点和点的纵坐标和横坐标。
将单束声线对粒子的作用力分为散射力和梯度力两个部分，散射力沿着声线传播方向，梯度力与之垂直，指向声强梯度较大的方向：
(1.13)
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