第1讲 整数环的假设
什么是整数？初看起来， 这是一个极其简单且平凡的问题. 我们从中小学开始认识整数， 熟悉并掌握了整数的加法与乘法运算， 并能够利用一些法则去化简整数的代数表达式. 但是， 我们并没有 (也不可能， 至少到目前为止) 用 “整体” 的观点去理解整数及其运算规则， 尽管这种 “整体” 的观点是构建代数学中的基本代数结构的本质所在.
从现在开始， 我们要采用这种 “整体” 的观点讨论整数、整数的运算及其运算规则， 从而可以进一步学习和探讨比较深入的代数学及其相关的数学内容， 这些内容可以看成是整数的 “整体” 观点的自然延伸、抽象与拓广. 我们首先严格化“整体” 的说法， 即使用朴素集合论的语言， 并利用关于自然数的基础知识， 给出整数、整数集、整数环的如下 “整体” 的解释.
假设 1.1 设 N 为自然数集: N = {0， 1， 2， }， 它的子集 Z+ = f1， 2， 3， }称为正整数集， 其元素称为正整数. 令 Z_={-1，-2，-3， }， 它是对应于正整数集的负整数集， 其元素称为负整数; 再取这些相关集合的并集， 就得到整数集:整数集 Z 中的任何元素称为一个整数.
整数集 Z 上有两个基本运算: 整数的加法运算 “+” 与整数的乘法运算 “×”(通常也记为“ ”， 或者直接并列两个整数， 以表示它们的乘积); 这两个运算满足如下八条运算规则: 8a， b， c 2 Z， 有
(1) 加法结合律: (a + b) + c = a + (b + c);
(2) 加法交换律: a + b = b + a;
(3) 有零元素: 存在 0∈Z， 使得 a + 0 = 0 + a = a;
(4) 有负元素: 存在 -a∈Z， 使得 a + (-a) = (-a) + a = 0;
(5) 乘法结合律: (a b) c = a (b c);
(6) 有单位元: 存在 1∈Z， 使得 a 1 = 1 a = a;
(7) 乘法关于加法的分配律: a (b + c) = a b + a c， (b + c) a = b a + c a;
(8) 乘法交换律: a b = b a.
所有整数构成的集合 Z， 带有加法与乘法两个运算， 并满足上述八条运算规则， 称为有单位元的整数交换环， 简称为整数环.
注记 1.2 本讲关于整数环的假设的含义是指:
(1) 对整数的这些众所周知的基本事实， 我们不探究其逻辑推导细节， 只是罗列这些结果并随时应用它们;
(2) 我们默认整数环 Z 是通过自然数集合 N、自然数的运算及其运算规则构造出来的.
特别地， 整数的加法与乘法运算都可以通过自然数的加法与乘法运算来描述. 在此基础上， 还可以证明: 任何两个非零整数的乘积均不为零.
关于自然数的公理化定义， 自然数的运算及其规则， 整数、整数环的更严格的定义， 以及这方面的详细论述可查阅相关文献， 比如文献 [1-2] 等.
假设 1.3 在整数环 Z 中， 两个整数乘积为零当且仅当它们中至少一个为零.
练习 1.4 直接根据前面整数的运算规则说明: 任何整数×整数 0 = 整数 0.
注记 1.5 按照下面的方式， 还可以定义整数的减法运算 (非基本运算):
即， 整数的减法运算是由加法与取负运算复合得到的一个新的运算. 读者不难验证: 减法运算不满足结合律与交换律.
注记 1.6 在假设 1.1 中， 我们用到集合的一些相关概念. 通俗来说， 一个集合是由它的所有元素构成的一个整体; 要确定一个集合， 就是要明确它是由哪些元素组成的. 比如， 自然数集 N 是所有自然数构成的一个集合， 整数集 Z 是所有整数构成的一个集合; 地球上所有人构成的集合为 “人类”， 国籍为中国的所有人构成的集合为“中国人”; 等等， 集合的例子不胜枚举.
按照通常的做法， 一般用大写英文字母表示一个集合， 而集合的元素用小写英文字母来表示. 比如， 集合 X、集合 X 的元素 x 等等.
称一个集合 Y 是另一个集合 X 的一个子集， 记为， 如果Y中的任意元素 y (记为 y∈Y ) 必包含于 X 中 (即 y∈X). 比如， 自然数集 N 是整数集 Z的一个子集; 集合 “中国人” 是集合 “人类” 的一个子集; 等等. 一个集合的若干子集的交集， 由所有这些子集的公共元素组成; 一个集合的若干子集的并集， 由属于这些子集的所有元素合并得到. 集合 X 的子集 Yi(i∈ I) 的交与并通常写成形式: 即有下列等式
把前面的整数环中的整数 “抽象” 成一般的元素， 把整数的加法与乘法运算“抽象” 成一般元素的运算， 并要求满足完全相同的运算规则， 就得到 “抽象代数”中的有单位元的交换环的概念.
定义 1.7 (交换环) 设 R 是一个非空集合， 在 R 上定义了两个 “抽象” 的运算， 一个是加法 “+”， 另一个是乘法 “ ”. 如果这两个运算满足前面整数环假设中的全部八条规则 (这里需要把整数集 Z 替换成集合 R)， 则称 R 是一个有单位元的交换环， 简称为交换环.
注记 1.8 在上述交换环的定义中， 如果只考虑加法运算及其相应的运算规则， 我们将得到下面的可换群的概念. 可换群也是一个基本的代数学概念， 以后将有很多篇幅讨论它们， 以及它们的一般形式: 群的概念. 现在引入可换群是因为它和交换环等概念的密切联系.
定义 1.9 (可换群) 设 G 是一个非空集合， 在 G 上定义了一个 “抽象” 的加法运算 “+”. 称 G 是一个可换群或交换群， 也称其为 Abel 群， 如果它的加法运算满足前面整数环假设中的前四条规则: 对 a， b， c ∈G， 有
(1) 加法结合律: (a + b) + c = a + (b + c);
(2) 加法交换律: a + b = b + a;
(3) 有零元素: 存在 0 ∈ G， 使得 a + 0 = 0 + a = a;
(4) 有负元素: 存在-a∈ G， 使得 a + (-a) = (-a) + a = 0.
练习 1.10 (i) 设 R 是任意给定的交换环， 有加法零元素 0 及乘法单位元 1， 用 a 表示元素 a 2 R 的负元素. 利用交换环的运算规则， 推导下列等式
在此基础上， 按照自然方式给出交换环 R 中的元素 a 的倍数的定义: na， n∈Z. 对可换群 G， 考虑类似的问题: 定义一个元素的任意整数倍数.
(ii) 证明: 在任意交换环 R 中， 乘法关于减法运算的分配律成立， 即对任意元素 a， b， c∈R， 有下列等式
a(b-c) = ab-ac.
例 1.11 整数环 Z 是一个交换环 (交换环的第一个例子); 整数集 Z 关于其加法运算构成一个可换群， 也称其为整数加法群.
通过对整数及其运算的讨论， 尤其是考虑到整数加法与乘法运算所满足的运算规则的假设， 我们抽象出了交换环与可换群的概念. 交换环与可换群是抽象代数中*基本的概念， 也是随后将要讨论的主要代数对象之一， 它们的具体实例还有很多， 以后将陆续给出.
在整数环 Z 中， 任给两个整数 m， n， 可以做加法、乘法运算， 分别得到整数: m + n， m n 2 Z. 按照注记 1.5 的方式， 也可以对它们做减法， 得到整数: m-n.
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