第1章 量子力学基础
1.1 量子力学的数学基础
自然界的现象、实验的结果，经过研究、思考、归纳总结，*后必须用*简单的语言加以抽象概括，而所说的*简单的语言就是数学工具，即通常用数学语言来表达运动规律。在经典力学的发展过程中，由于描述宏观物体运动规律，以及推导这些规律因果关系的需要，出现了微积分学。牛顿力学的发展创立了微积分学，它的发展推动了牛顿力学向更高、更完善、更抽象的阶段发展。经过拉格朗日(Lagrange)和哈密顿(Hamilton)的努力，把牛顿力学发展成了分析力学，即后来的经典力学。
在量子力学之前，海森堡(Heisenberg)的矩阵力学客观上为量子力学做了数学准备。当时就已经有了算符数学，后来德布罗意(de Broglie)和薛定谔(Schr?dinger)提出波动力学，再经过狄拉克(Dirac)的总结和抽象，形成了量子力学。在此过程中，算符数学就迅速地发展起来了。量子力学的规律必须用算符数学来描述，正如牛顿力学的规律必须用微积分学来描述一样，于是算符数学就成了量子力学的数学基础。
1.1.1 算符及其运算法则
一种数学运算就是把算符 作用到一个函数 上，得到一个新的函数 的过程。例如： ，则 ；或 则 。
1. 单位算符、零算符和逆算符
单位算符：算符 作用到函数 上，得到一个新的函数，而这个新的函数仍然是原先的函数 。这个算符就叫作单位算符，即 。
零算符：算符 作用到函数 上，其结果是零。这个算符就叫作零算符，即 。
逆算符：算符 与另一个算符 相乘得到的新算符是一个单位算符 ，则算符 就是算符 的逆算符，两者之间的关系为： 。
2. 算符的加法
算符 加上算符 然后作用到函数 上，等于先分别作用到函数 上，然后再相加。即 。算符的加法是可以交换的，即 。算符的加法满足分配律，即 。
3. 算符的乘法
算符 乘上算符 作用到函数 上，等于算符 作用到函数 上，然后算符 再作用上去，即： 。算符的乘法满足分配律，即： 。但一般来说是不满足交换律，即： 。
如果 ，称 和 是两个可对易的算符；如果 ，称 和 是两个反对易的算符。
例如：
并且
(1.1-1)
(1.1-2)
比较式(1.1-1)和式(1.1-2)，得 ，式(1.1-1)减去式(1.1-2)，得
(1.1-3)
从式(1.1-3)看出， ，所以 是一个单位算符。
有些特殊算符是可以交换的，如： ， ，这里 是常数，所以：
又如： 和 也是可以交换的，即 ，先对 求偏导和先对 求偏导，其结果一样。由于算符乘法的不可交换性，在乘法中应注意前乘和后乘的问题。
1.1.2 线性算符
量子力学中用到的算符都是线性算符，在运算中满足线性关系的算符，它们必须同时满足以下两个条件：
(1) 。
(2) 。
例如：则 是线性算符。则 也是线性算符。
推论：
(1)线性算符 加上线性算符 ，则 也是线性算符。
因为：
所以 是线性算符。
(2)若 和 都是线性算符，则 也是线性算符。
因为：
所以 也是线性算符。
1.1.3 本征函数和本征值
算符 作用在函数 上的结果等于一个常数 乘以该函数 ，即
(1.1-4)
满足式(1.1-4)的函数 就是算符 的本征函数，而 就是算符 的本征函数 的本征值。
或者说： 是属于算符 的本征值 的本征函数。
本征函数和本征值都是与算符密切相关的。本征函数是属于某个本征值的。一个本征值可以有几个本征函数。如： ； 。同一个算符可以有几个不同的本征函数和不同的本征值。如： ； ； 。
本征值可以是不连续的，称之为不连续谱或离散谱。把本征值与所要求的物理量联系起来。例：求算符 在 区间的本征函数和本征值，应满足单值、连续、有限和平方可积的条件。对这个问题就是解微分方程：
(1.1-5)
当 时， 是式(1.1-5)的解。当 时，要求 是有限的，则 必须是零。当 时，要求 是有限的，则 必须是零。如果 和 都是零，则 也是
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