第1章 弹性结构振动与波概述
空中和水下运载器都是由各种弹性结构组成的，无论是运载器主体的壳体结构还是内部各种辅助结构都可以简化为梁、板、桁架和壳体等各种形状的连续弹性体，其中板和壳体又是*基本的结构形式。这些结构的振动特性在工程上早就受到关注，因为它是航空航天、海洋工程、化工设备和建筑工程等许多工程领域的基础性问题。本章先对此问题作简要介绍。
弹性结构中的振动与波有三种处理方法。第一种是严格弹性理论或称三维弹性理论 [1，2]。从弹性力学的本构方程出发，导出振动位移满足的矢量波动方程。解此方程*常用方法是引入位移的标量势和矢量势，得到它们分别满足的标量和矢量波动方程。然后寻求这两个波动方程在给定边界条件下的解。第二种是近似理论，用各种板、壳理论直接列出振动位移满足的控制方程，然后寻求这些方程在给定边界条件下的解。近似理论的解直接而且简单，应用比较广泛，不过近似理论通常只适合于低频范围。第三种是数值计算方法，适用于任意形状结构，并已开发出以有限元方法 (FEM) 为基础的多个商用软件。有限元方法就是将弹性结构离散成有限个单元，这些单元满足弹性力学的应力–应变关系，构成数值计算模型。所以，数值计算方法的基础仍是弹性理论。
本章*先介绍三维弹性理论的基本方程。然后主要应用近似理论导出梁、薄板、薄圆柱壳和薄球壳的振动方程，并给出特定 (主要是简支) 边界条件下的解，这些解是后面讨论结构有水介质负荷时振动与声辐射的基础。另外，为了将振动与结构波联系起来，特别讨论了各种结构中有关波的类型和特性，例如相速度频散曲线，为后面分析振动与声辐射的机理奠定基础。*后，简要介绍数值计算方法的思路。
1.1 结构振动三维弹性理论
弹性体是一种连续介质，质点的振动能够以波的形式在弹性体内传播，称为弹性波。与流体介质只能存在纵振动不同，弹性介质可以同时存在纵振动和剪切振动，因此弹性体中的振动和波要比流体介质中的纵振动和声波复杂得多。
对于均匀各向同性弹性体，在线弹性范围内应力和应变只需两个常数联系。在直角坐标中，位移矢量 u = (ux， uy， uz)，线形变是
(1.1.1)
切形变是
(1.1.2)
体形变是
(1.1.3)
弹性体中任意一个面上的应力包括法向应力和切向应力，例如 x = 常数的面上作用有法向应力 τxx 和切向应力 τxy， τxz，三个坐标面共有 9 个应力分量，其中独立的分量是 6 个，因为*。均匀各向同性弹性体的本构方程即广义 Hooke 定律是
(1.1.4)
描述应力–应变关系的两个 Lame 常数 λe， μe 也可以用工程上常用的杨氏模量 E和泊松比* 表示，可以证明它们之间的换算关系是
(1.1.5)
(1.1.6)
将本构方程写成张量形式便于推广到其他正交曲线坐标系中，令 τij 为应力张量，γij 为应变张量，且定义
(1.1.7)
注意 γij 与 εij 的区别，在直角坐标系中，γxx = εxx， γxy = (1/2) εxy， * 。均匀各向同性弹性体的本构方程可以表示成
(1.1.8)
其中，δij 为单位张量。应力张量与应变张量一样也是对称的。例如在球坐标中它有 6 个分量 *， *。在没有外力作用时，弹性体中密度为 ρe 的介质微元的运动方程是
(1.1.9)
将式 (1.1.4) 代入得到
(1.1.10)
写成矢量形式是
(1.1.11)
根据矢量场理论，位移矢量总可以表示成
(1.1.12)
其中，*是标量位移势函数，它所对应的分量是无旋的，因为恒有表示与转动无关的位移分量；A 是矢量位移势函数，它所对应的分量表示纯转动(切向) 分量，散度恒为零*。代入式 (1.1.11)，矢量波动方程被分解成两个方程
(1.1.13)
其中，* 是无限弹性介质中的纵、横波速度
(1.1.14a)
利用换算关系式 (1.1.5)，纵、横波速度也可以用 E， σ 计算：
(1.1.14b)
标量势*满足标量 Helmholtz 方程，矢量势 A 满足矢量 Helmholtz 方程。*是附加条件 (gauge condition)，保证从 Φ 和 A 的 4 个分量唯一地确定 u 的 3 个分量 [2]。如果切变模量*，意味着 *，只有纵波，退化成流体介质。
当材料有损耗时，常用复波速的虚部描述损耗。假设纵、横波速度都是复数*，*，实部 cL 和 cT 表示实际速度，虚部 ζL 和 ζT是相应的损耗因子。复数纵、横波速度又对应复数杨氏模量 E，但泊松比 σ 通常假设为实数。
单频简谐振动和波是今后主要讨论的情况。在单频情况下，所有物理量都按角频率 ω 振动，用时间因子 e.iωt 描述，时间因子的取法详见 2.1 节讨论。让
*
空间变化部分满足的波动方程是
(1.1.15)
其中，* 是对应的波数。考虑材料吸收时假设 cL， cT 和 kL， kT都是复数。
若弹性体与流体接触，理想流体中不存在切向位移，界面上的边界条件是
*
若流体是空气，设为真空，则有自由边界条件
*
作为例子，对无限大平板应用三维弹性理论可以得到平板振动和波的精确解。设平板厚度为 h，h = 2b。板面与 xy 平面平行，垂直方向为 z 轴，见图 1.1.1。板的材料特性用 ρe， λe， μe 表示。考虑二维问题，波运动与 y 轴无关。设板中位移*。因为 y 方向位移*，矢量势 A 唯一不等于 0 的分量是*。按矢量势表示法得到位移和应力
(1.1.16)
图1.1.1 无限大弹性平板坐标系
将两个标量势所满足的波动方程在直角坐标系中分离变量，平板中的场可以设为
(1.1.17)
在自由边界条件下有
(1.1.18)
得到关于 AL，BL，AT，BT 四个常数满足的方程组，方程组有解的条件是系数行列式等于 0，由此导出平板振动的特征方程：
(1.1.19)
它可以分解成两个独立的方程，即真空中平板振动的著名 Rayleigh-Lamb方程：
对称振动特征方程
(1.1.20a)
反对称振动特征方程
(1.1.20b)
对于给定的角频率 ω(或无因次频率 fh)，由特征方程可以解出相应的特征波数K。对应的特征波形式为*，令 K = ω/cph，cph 是波的相速度，即等相位面传播的速度。相速度与频率的关系曲线称为频散曲线或色散曲线。图 1.1.2 就是根据式 (1.1.20) 计算得到的钢板中的相速度频散曲线， 每一条曲线代表一种波型。自由平板中的波统称为 Rayleigh-Lamb 波或 Lamb 波。弹性板中有两组波，一组是对称模式 s0， s1， s2， * ，另一组是反对称模式 a0， a1， a2， * 。这些波的相速度频散曲线在许多书和文献中都有。图 1.1.2 是我们计算的真空中钢板 Lamb 波相速度频散曲线。横坐标取频率与厚度乘积 fh(MHz mm)。两个*低阶模式 s0和 a0 可以从低频一直存在到高频，也就是没有频率截止现象。当 * 时，s0和 a0 模式的相速度都趋于半空间的 Rayleigh 波速度 cR，其值略小于切变波速度cT。而所有高阶波都存在截止，在截止点相速度趋于无限大。波只有在截止点以上才能传播。当 *时，所有高阶波相速度先围绕 cL 徘徊后下降并*终趋于 cT。图中同时画出了薄板近似的弯曲波相速度和纵波 (伸缩波) 相速度频散曲线，将在后面讨论。
对称波 s0， s1， s2， * ，对应 BL = 0，AT = 0，
*
x 方向的位移相对于 z 轴对称，z 方向位移相对于 z 轴反对称。对称振动的示意图见图 1.1.3(a)。s1 以上的高阶对称波有截止，在截止频率相速度趋于无限大，*。由对称振动的频率方程得到
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