第1章 有限单元法数学基础——变分法
　　变分是求泛函极值的一种方法，求泛函极值的问题称为变分问题。本章介绍变分法的基本原理，即变分问题与边值问题的关系，并简单介绍里兹法与有限单元法解变分问题的基本思想[1]。
　　1.1 泛函与变分问题
　　1.1.1 泛函的概念
　　泛函就是以函数为自变量的函数，简称函数的函数。
　　例如有一函数y=y(x)，如果v又是y=y(x)的函数，则
　　(1.1.1)
　　称v为y的泛函。
　　泛函和复合函数的区别如下：复合函数，如在(1.1.2)式中，给定一个x值，得到一个y值，相应地有一个z值，x是y的自变量，y是z的自变量。泛函，如整条曲线y=y(x)是自变量，v是y(x)的函数，则v是y的泛函。
　　(1.1.2)
　　1.1.2 泛函极值的概念——变分问题
　　举例说明变分问题。
　　例1连接两点弧长的*短线
　　如图1.1.1所示，A，B是平面上的两个点，y(x)是通过A，B的曲线方程，曲线的圆弧长度是。
　　图1.1.1 曲线的弧长
　　两点弧长的*短线问题可分为以下两个问题。
　　1)弧长问题——泛函
　　从A点至B点曲线的弧长曲线长度l是曲线y(x)的函数，称l为y(x)的泛函，记作l[y(x)]。
　　2)弧长*短线问题——泛函极值问题
　　求满足式(1.1.3)所列条件的y，就是泛函的极值问题，或称为变分问题。
　　(1.1.3)
　　例2 质点沿曲线自由下滑的时间
　　已知质点沿曲线自由下滑如图1.1.2所示。
　　图1.1.2 质点沿曲线自由下滑
　　质点从A点沿y(x)滑至B点，所需时间为时间t是曲线y(x)的函数，称t为y(x)的泛函。
　　A、B两点的*速下降问题，即满足式(1.1.4)中条件的y(x)，就是变分问题。
　　(1.1.4)
　　1.2 泛函极值与变分
　　变分问题就是泛函的极值问题，泛函极值的计算方法类似于函数极值的计算方法。变分的概念为：在泛函v=v[y(x)]中，自变量y(x)的增量δy(x)是指满足同一边界两个y(x)的差，δy(x)称为自变量y的变分，如式(1.2.1)所示。
　　(1.2.1)
　　应注意以下两点。
　　(1)变分与微分的区别。
　　变分——对应于同一个x的两个y(x)之差：
　　微分——x变化引起的y的微分：
　　(2)若y0(x)固定，则有无限多种δy(x)。
　　泛函的变分：
　　(1.2.2)
　　其中，Δv为泛函的增量。
　　(1.2.3)
　　其中，δv为泛函的变分。
　　泛函的极值可根据泛函的极值条件进行计算：
　　(1.2.4)
　　与函数的极值一样，判别泛函的极大值与极小值还需考虑二阶变分。
　　1.3 变分问题与边值问题
　　有限元法是求解变分问题的有效手段，但地球物理问题主要用边值问题表述，因此需要讨论变分问题与边值问题的关系。欧拉方程是解变分问题的方法之一，具体思路是将变分问题转变为微分方程(欧拉方程)，然后解欧拉方程得到变分问题的解。利用极小位能原理与虚功原理可以将微分方程边值问题转化为变分问题，从而证明变分问题与边值问题是等价的。
　　1.3.1 欧拉方程
　　将变分问题写成一般形式：
　　(1.3.1)
　　设v在y(x)上取极值，任取一条与y(x)接近的曲线y(x)(图1.3.1)，y的变分为
　　(1.3.2)
　　图1.3.1y(x)的变分考虑到：
　　(1)两端点处的变分为零，则
　　(1.3.3)
　　(2)变分δy(x)对x的导数就是导数的变分，即
　　(1.3.4)

目录
前言
第一部分 有限单元法
第1章 有限单元法数学基础——变分法 3
1.1 泛函与变分问题 3
1.1.1 泛函的概念 3
1.1.2 泛函极值的概念——变分问题 3
1.2 泛函极值与变分 5
1.3 变分问题与边值问题 6
1.3.1 欧拉方程 6
1.3.2 极小位能原理和虚功原理 11
1.4 依赖多个自变量函数的泛函的变分问题 13
1.5 用里兹法与伽辽金法解变分问题 15
1.5.1 里兹法 15
1.5.2 伽辽金法 16
第2章 有限元方法 18
2.1 二维自然坐标 18
2.1.1 自然坐标的定义 18
2.1.2 插值函数 19
2.1.3 单元积分 20
2.2 高斯数值积分 24
第3章 二维拉普拉斯方程的有限单元法 26
3.1 位场向上延拓的有限单元法 26
3.1.1 边值问题 26
3.1.2 变分问题 28
3.1.3 位场延拓有限单元法程序设计 29
3.2 二维均匀电场电阻率法的有限元算法 39
3.2.1 边值问题 39
3.2.2 变分问题 40
3.2.3 有限单元法程序设计 42
第4章 二维亥姆霍兹方程的有限单元法 52
4.1 点源二维电场的计算方法 52
4.1.1 边值问题 52
4.1.2 变分问题 53
4.1.3 点源二维电场有限单元法程序设计 54
4.1.4 傅里叶反变换方法与程序设计 54
4.2 大地电磁场的计算方法 65
4.2.1 边值问题 65
4.2.2 变分问题 69
4.2.3 有限单元法程序设计 70
第二部分 边界单元法
第5章 边界元法数学基础 75
5.1 狄拉克函数 75
5.2 格林公式 77
5.3 基本解 78
5.4 第二类修正贝塞尔函数 81
第6章 边界元数值方法 83
6.1 单元分析 83
6.2 高次元法与样条边界法 84
6.2.1 二次与高次元法 84
6.2.2 样条边界元法 88
6.3 三维边界单元法 89
6.3.1 边界积分方程的建立 89
6.3.2 边界单元法计算过程 90
第7章 二维拉普拉斯方程的边界单元法 93
7.1 二维均匀电场直流电阻率法中的边界单元法 93
7.1.1 用边界元法计算均匀场中水平地形条件下二维不均匀体的异常 93
7.1.2 均匀场中起伏地形条件下二维不均匀体的异常 111
7.2 均匀场中二维模型奇异积分解析表达式的推导 123
第8章 二维亥姆霍兹方程的边界单元法 126
8.1 点源二维电场的边界单元法 126
8.1.1 点源二维地形模型的边界单元分析 126
8.1.2 点源二维地电断面的边界单元解法 133
8.1.3 点源场中二维模型奇异积分解析表达式的推导 152
8.2 边界单元法在二维大地电磁场数值计算中的应用 155
8.2.1 二维大地电磁场边值问题 156
8.2.2 二维大地电磁场基本解 159
8.2.3 Hx型波的解 161
8.2.4 Ex型波的解 168
第三部分 时间域电磁法中的三维数值模拟方法
第9章 三维时域有限差分正演原理 177
9.1 控制方程与有限差分离散 177
9.1.1 无源媒质中的Maxwell方程组 177
9.1.2 Yee晶胞格式与有限差分离散 179
9.1.3 有源媒质中的Maxwell方程组 187
9.2 激励源的施加与边界条件 190
9.3 稳定性与数值色散 193
9.3.1 稳定性条件 193
9.3.2 数值色散 194
9.4 并行计算技术 195
9.4.1 基于共享内存的CPU多核多线程并行计算 195
9.4.2 基于CPU+GPU的并行计算 196
9.4.3 性能对比 197
9.5 三维正演算法在隧道模型瞬变电磁计算的应用 198
9.5.1 非均匀网格方案 198
9.5.2 低频近似和边界条件 200
9.5.3 空气电导率近似 201
9.5.4 隧道三维复杂模型的瞬变电磁响应 202
第10章 电磁场直接时域矢量有限元正演方法 211
10.1 边值问题 212
10.2 矢量有限单元法求解 213
10.2.1 变分方程 213
10.2.2 Whitney型插值函数 214
10.2.3 单元分析 216
10.2.4 源的加载 220
10.2.5 稳定性条件 220
10.2.6 计算区域的网格剖分策略 220
10.3 实例分析 221
10.3.1 三层模型与线性数字滤波解的对比 221
10.3.2 低阻块体模型模拟 223
10.4 三维复杂模型瞬变电磁回线源响应模拟 227
10.4.1 浅海水下地形起伏模型计算 227
10.4.2 浅海低阻模型计算 229
10.4.3 电性源地空系统模拟 230
第11章 求解电磁场的有限体积法 234
11.1 有限体积控制方程与数值离散 234
11.2 初始场求解 239
11.3 时间域后推欧拉离散 241
11.4 时间域迭代求解数值算例 241
参考文献 247
附录 249
附录一 时间域矢量有限元瞬变电磁三维正演程序说明 249
附录二 时域有限差分瞬变电磁三维正演程序说明 250