序（张景中） / iii
前言 / v
第 一部分
毕达哥拉斯悖论与第 一次数学危机
第 1 章 几何定理中的“黄金”：勾股定理 / 2
古老的定理 / 2
勾股定理的广泛应用及其地位 / 8
第 2 章 秘密结社：毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派 / 12
智慧之神：毕达哥拉斯 / 12
毕达哥拉斯学派的数学发现 / 16
毕达哥拉斯学派的数学思想 / 24
勾股定理证法赏析 / 35
第3 章 风波乍起：第 一次数学危机的出现 / 45
毕达哥拉斯悖论 / 45
第 一次数学危机 / 50
第4 章 绕过暗礁：第 一次数学危机的解决 / 58
欧多克索斯的解决方案 / 58
同途殊归：古代中国的无理数解决方案 / 65
第5 章 福祸相依：第 一次数学危机的深远影响 / 70
第 一次数学危机对数学思想的影响 / 70
欧几里得和《几何原本》 / 75
第 一次数学危机的负面影响 / 82
第 二部分
贝克莱悖论与第 二次数学危机
第6 章 风起清萍之末：微积分之萌芽 / 86
古希腊微积分思想 / 86
微积分在中国 / 104
第7 章 积微成著：逼近微积分 / 116
蛰伏与过渡 / 116
半个世纪的酝酿 / 121
第8 章 巨人登场：微积分的发现 / 133
牛顿与流数术 / 133
莱布尼茨与微积分 / 143
巨人相搏 / 150
第9 章 风波再起：第 二次数学危机的出现 / 153
贝克莱悖论与第 二次数学危机 / 153
弥补漏洞的尝试 / 158
第 10 章 英雄时代：微积分的发展 / 166
数学英雄 / 166
分析时代 / 172
第 11 章 胜利凯旋：微积分的完善 / 183
分析注入严密性 / 183
分析的算术化 / 196
第三部分
罗素悖论与第三次数学危机
第 12 章 走向无穷 / 204
康托尔与集合论 / 204
康托尔的难题 / 217
第 13 章 数学伊甸园 / 220
反对之声 / 220
赞誉与影响 / 228
第 14 章 一波三折：第三次数学危机的出现 / 232
罗素悖论与第三次数学危机 / 232
悖论分析与解决途径 / 239
第 15 章 兔、蛙、鼠之战 / 246
逻辑主义 / 246
直觉主义 / 254
形式主义 / 260
第 16 章 新的转折 / 268
哥德尔的发现 / 268
数理逻辑的兴起与发展 / 274
附录 哥德尔证明 / 285
第 一步：哥德尔配数 / 286
第 二步：构造自指命题 / 296
第三步：证明哥德尔不完全性定理 / 300
参考文献 / 307
