第8章　色噪声激励的拟可积哈密顿系统随机平均法
　　白噪声因为有无穷大能量，在现实中并不存在，它只是一个理想化的数学模型，现实中的噪声都是色噪声. 色噪声的一类模型乃由高斯白噪声通过线性或非线性滤波器产生(见2.6.1节和2.6.2节). 由线性滤波器产生的噪声常称为有理噪声，因为其功率谱密度是频率的有理式. 分数高斯噪声实际上也是高斯白噪声通过一种特殊的滤波器产生的色噪声. 色噪声可为宽带噪声或窄带噪声. 色噪声也可以在某个频域内为宽带噪声，其余频域内为窄带噪声(见2.5.3节)，如分数高斯噪声. 窄带噪声也可由谐和加白噪声或宽带噪声合成，也可由谐和函数随机化形成(见2.6.3节). 本章论述四种情形色噪声激励的拟可积哈密顿系统随机平均法：平稳宽带噪声，宽带频域的分数高斯噪声，谐和加宽带噪声及窄带随机化谐和噪声.
　　8.1　平稳宽带噪声激励
　　考虑平稳宽带噪声激励的拟哈密顿系统(Deng and Zhu，2007)，其运动方程为
　　(8.1.1)
　　式中为广义位移矢量，为广义动量矢量；是平稳宽带噪声，其相关函数为，功率谱密度为. 是小的线性和/或非线性阻尼系数；是小的随机激励幅值. 是与系统(8.1.1)相应的哈密顿系统的哈密顿函数，假设它是可分离的，即
　　(8.1.2)
　　对大多数动力学系统，可进一步假设
　　(8.1.3)
　　记，于是系统(8.1.1)可改写成
　　(8.1.4)
　　式(8.1.4)描述平稳宽带噪声激励的拟可积哈密顿系统. 下面分单自由度与多自由度两种情形叙述利用广义谐和函数的平稳宽带噪声激励下拟可积哈密顿系统随机平均法.
　　8.1.1　单自由度系统
　　4.4节中叙述了平稳宽带噪声激励的单自由度非线性系统的幅值包线随机平均法与能量包线随机平均法，此处给出了这种系统随机平均法的另一种推导. 考虑受平稳宽带噪声激励的单自由度拟哈密顿系统(Zhu et al.，2001)，其运动方程为
　　(8.1.5)
　　时，式(8.1.5)化为单自由度哈密顿系统. 假设函数与满足如下四个条件：①；②存在，使得且；③存在，使得且；④对所有，有. 则该哈密顿系统在平衡点(b，0)邻域V内有周期解族
　　(8.1.6)
　　式中a为幅值，
　　(8.1.7)
　　为瞬时频率，a，b与哈密顿函数之间关系为
　　(8.1.8)
　　由于频率依赖于a，，称和为广义谐和函数(Xu and Chung，1994). 将展成傅里叶级数
　　(8.1.9)
　　将上式对作平均得
　　(8.1.10)
　　上式表明，是平均频率. 在下面作随机平均时，将采用下列近似式
　　(8.1.11)
　　对拟线性系统，为常数.
　　鉴于为小量，V域内系统(8.1.5)具有如下随机周期解族
　　(8.1.12)
　　式中
　　(8.1.13)
　　皆为随机过程. 将式(8.1.12)看成从Q，P到A，的广义范德堡变换，(8.1.12)中**式对t求导减去第二式，得
　　(8.1.14)
　　式中
　　(8.1.15)
　　(8.1.12)中的第二式对t求导后代入(8.1.5)第二式，得
　　(8.1.16)
　　联立式(8.1.14)和式(8.1.16)，得
　　(8.1.17)
　　式中
　　(8.1.18)
　　由式(8.1.17)知，为快变过程，为慢变过程. 根据哈斯敏斯基定理(Khasminskii，1966；1968)，当时，依概率收敛于一维马尔可夫扩散过程. 该极限过程可用下列形如(4.1.26)的平均伊藤随机微分方程描述
　　(8.1.19)
　　式中为单位维纳过程. 按(4.1.27)和(4.1.28)，可得如下漂移系数与扩散系数
　　(8.1.20)
　　鉴于式(8.1.20)中被积函数对的周期性，式中的时间平均可代之以对的平均. 为得到、的显式，宜将、展成傅里叶级数
　　(8.1.21)
　　式(8.1.21)中各系数均为A的函数. 式(8.1.21)代入(8.1.20)，完成对的积分与对平均后，得
　　(8.1.22)

目录
前言
第8章　色噪声激励的拟可积哈密顿系统随机平均法1
8.1　平稳宽带噪声激励1
8.1.1　单自由度系统2
8.1.2　多自由度系统11
8.2　分数高斯噪声激励23
8.2.1　非内共振情形24
8.2.2　内共振情形31
8.3　谐和与平稳宽带噪声共同激励42
8.3.1　单自由度系统42
8.3.2　多自由度系统63
8.4　窄带随机化谐和噪声激励80
8.4.1　单自由度系统81
8.4.2　多自由度系统84
参考文献94
第9章　含遗传效应力的拟可积哈密顿系统随机平均法96
9.1　含滞迟恢复力的拟可积哈密顿系统96
9.1.1　滞迟恢复力的等效化96
9.1.2　等效拟可积哈密顿系统随机平均100
9.2　含黏弹性力的拟可积哈密顿系统113
9.3　含分数阶导数阻尼力的拟可积哈密顿系统127
9.4　含时滞力的拟可积哈密顿系统145
参考文献156
第10章　高斯白噪声激励下拟广义哈密顿系统随机平均法158
10.1　拟不可积广义哈密顿系统158
10.2　拟可积广义哈密顿系统163
10.2.1　非内共振情形164
10.2.2　内共振情形170
10.3　拟部分可积广义哈密顿系统174
10.3.1　非内共振情形175
10.3.2　内共振情形180
参考文献195
第11章　捕食者-食饵生态系统的随机平均法196
11.1　**Lotka-Volterra捕食者-食饵生态系统196
11.1.1　确定性模型196
11.1.2　随机模型198
11.1.3　随机平均199
11.1.4　平稳概率密度201
11.2　捕食者饱和与捕食者竞争的生态系统203
11.2.1　确定性模型203
11.2.2　随机模型205
11.2.3　随机平均205
11.3　色噪声激励下的生态系统208
11.3.1　低通滤波噪声激励211
11.3.2　随机化谐和噪声激励214
11.4　时滞生态系统217
11.4.1　确定性模型217
11.4.2　随机模型221
11.4.3　随机平均222
11.5　复杂环境中的生态系统225
11.5.1　确定性模型225
11.5.2　平衡和稳定性225
11.5.3　修正的Lotka-Volterra模型229
11.5.4　随机模型和随机平均法230
参考文献235
第12章　随机平均法在自然科学中的若干应用238
12.1　活性布朗粒子运动238
12.1.1　确定性活性布朗粒子运动238
12.1.2　随机活性布朗粒子运动241
12.1.3　随机活性布朗粒子群体运动263
12.2　反应速率理论274
12.2.1　克莱默斯反应速率理论274
12.2.2　受能量扩散支配的反应速率276
12.2.3　多维势能*面上的反应速率279
12.2.4　色噪声情形的反应速率282
12.2.5　用宽带噪声激励的拟可积哈密顿系统随机平均法预测色噪声情形的
反应速率284
12.3　费米共振291
12.3.1　费米共振的Pippard模型291
12.3.2　随机激励下费米共振的*次穿越时间292
12.3.3　随机激励下费米共振的反应速率301
12.4　DNA分子的热变性304
12.4.1　DNA分子的PBD模型305
12.4.2　DNA分子的平稳运动307
12.5　生物大分子的构象变换311
12.5.1　构象变换的模型及其运动312
12.5.2　构像变换的随机动力学314
12.5.3　DNA分子的变性过程318
参考文献321
第13章　随机平均法在技术科学中的若干应用325
13.1　涡激振动325
13.1.1　Hartlen-Currie尾流振子模型325
13.1.2　脉动风激励下的Hartlen-Currie模型-共振情形327
13.1.3　脉动风激励下的Hartlen-Currie模型-非共振情形334
13.1.4　非线性结构振子情形338
13.2　随机激励的多机电力系统342
13.2.1　随机激励的单/多机电力系统模型342
13.2.2　随机平均344
13.2.3　多机电力系统可靠性347
13.3　船舶滚转运动351
13.3.1　不规则海浪激励下船舶滚转运动方程351
13.3.2　平均伊藤随机微分方程353
13.3.3　船舶倾覆概率357
13.4　拟哈密顿系统的概率为1渐近稳定性361
13.4.1　随机微分方程的概率为1李亚普诺夫渐近稳定性361
13.4.2　*大李亚普诺夫指数363
13.4.3　拟不可积哈密顿系统概率为1李亚普诺夫渐近稳定性366
13.4.4　拟可积哈密顿系统概率为1李亚普诺夫渐近稳定性370
13.5　拟哈密顿系统非线性随机*优控制382
13.5.1　受控的拟哈密顿系统383
13.5.2　拟不可积哈密顿系统随机*优控制384
参考文献394
索引397