第一章 引论

数学作为人类心智训练和精神遗产不可分割的一部分，已经拥有了至少2500年的历史。然而，在这漫长的岁月中，人们对该学科的性质尚未有一致意见，也没有形成一个广为接受的定义。
通过观察大自然，古代的巴比伦人和埃及人建立起一套数学知识，并以之作为进一步观察的基础。泰勒斯（Thales）也许提出了演绎法，早期毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的数学明显具有演绎的性质。毕达哥拉斯学派和柏拉图（Plato）注意到，他们通过演绎法获得的结论，在很大程度上与观察和归纳推理的结果一致。他们无法对这种一致性做出别的解释，便认为数学是对终极、永恒现实以及自然和宇宙固有性质的研究，而不是逻辑的一个分支或者科学技术所运用的一种工具。他们认定，要对经验做出正确解释，必先理解其中的数学原理。毕达哥拉斯学派有一句“万物皆数”的格言，柏拉图曾宣称“上帝乃几何学家”，都反映了这样的观念。
诚然，稍后的希腊怀疑论者曾质疑，推理或经验能否获取具有这种绝对性质的知识。不过与此同时，亚里士多德学派的科学也表明，通过观察和逻辑至少可以获得与现象一致的描述，因此经欧几里得（Euclid）处理后，数学就成为演绎关系的一种理想模式。它产生于那些与观察归纳的结论相一致的公设，是可以用于阐释自然的。
经院学派的观点在中世纪十分盛行，他们认为宇宙“秩序井然”，易于理解。到了14世纪，世人非常清楚地意识到，逍遥学派对运动和变化所持的定性观最好能被定量研究所取代。这两个概念，加上对柏拉图观点再次产生的兴趣使15世纪和16世纪的人们重新确信，数学在某些方面独立并先于经验的直觉知识。这种信念在库萨的尼古拉斯（Nicholas of Cusa）、开普勒（Kepler）和伽利略（Galileo）的思想中都留有印记，在某种程度上也出现于列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）的思想中。
认为数学乃构筑宇宙之基础的观念，在16世纪和17世纪又发生了变化。在数学中，变化的原因是时人对代数少加批判但更为实际地运用（代数学在13世纪初由阿拉伯人传入，随后在意大利得到发展）。在自然科学领域，变化归因于实验方法的兴起。于是，笛卡尔（Descartes）、波义耳（Boyle）等人所谈论的数学确定性被阐释为一种一致性，它可以在其推理特性中找到，而不是从任何表现出先验的本体论必然性中找到。
18世纪，微积分被极其成功地应用于解决科学和数学问题，此时人们重点关注的是运算而不是数学基础。19世纪，在重新分析无穷大时，为了给所涉及的概念找到满意的基础，人们付出了持久的努力，进而产生了一种更有批判性的态度。数学的严密性复兴了，人们发现欧几里得的公设只不过是一些假设，并不像康德（Kant）坚持的那样是绝对的综合判断。此类假设的选择非常随意——在彼此相容的条件下，允许它们与显而易见的感官证据相矛盾。19世纪末，由于数学分析中的算术化倾向，人们进一步发现，可以把超越所有直觉和分析的无穷概念引入数学，而不损害该学科的逻辑一致性。
如果数学的假设独立于感性世界，并且其原理超越了所有经验，那么这个学科充其量不过是赤裸裸的形式逻辑，更糟的情况是蜕化为符号上的同义反复。数学形式的符号化和算术化倾向在连续性的研究中获得了极大成功，但也导致了顽固的悖论，这一事实使人们对数学本质的兴趣越来越大——它在精神生活中的范围和地位，其原理和公设的心理学来源，其命题的逻辑力量及其作为对感官世界的阐释的有效性。
过去，数学被认为是研究数量或者空间和数字的学科，这种旧观点现在基本上已经消失。人们意识到，朴素的空间直觉会导致自相矛盾。这一事实颠覆了康德哲学中的公设观念。不过，数学家虽然不受外部感官知觉世界的控制，却仍然受其指引。连续性的数学理论来源于直接经验，但是最终被数学家采用的连续统定义却超越了感官想象。数学形式主义者由此得出结论：既然在数学的定义和前提中，直觉毫无用处，我们就没有必要解释公理，或是知道其中涉及的对象和关系的本质。直觉主义者则坚持认为，其中涉及的数学符号应该很好地表达思想。两种（或更多）观点认为数学定理的准确性不容置疑，但是，数学概念是由直觉暗示（而非定义）的看法却能很容易地解释这一点：数学演绎推理得出的结论与经验归纳得出的结论明显一致。导数和积分产生于大自然最明显的两个特征——多样性和可变性，但是，最终其抽象的数学定义却建立在元素的无穷序列极限的基础概念之上。一旦我们描绘出其发展轨迹，也就容易理解那些用来阐释自然的观点所具有的力量和丰富性了。
古希腊数学家试图用数表达对直线的比率或比例的直觉观点时，遇到了逻辑困境，由此促成了微积分的产生。他们认为数是离散的，而直线大概是连续的，这样一来，几乎立刻就触及了逻辑上不够完美（但是在直觉上很吸引人）的无穷小概念。然而，古希腊严密的思想却将无穷小排除在几何证明之外，并代之以穷竭法，这种方法可避开无穷小问题，但十分麻烦。古希腊科学家没有定量地解决变化的问题。在运动学中，没有哪种方法像穷竭法对几何学那样，使其避开芝诺（Zeno）悖论所展示的困境。不过，14世纪的经院哲学家对变量展开了定量研究，他们的方法在很大程度上是辩证的，但是也求助于图示。到了17世纪，这一研究方法使得引入解析几何以及变量的系统表示法成为可能。
应用这种新型分析方法，加之自由使用具有启发性的无穷小和更广泛地运用数的概念，短时间内就产生了牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）的算法，它们构成了微积分。但是，即便在这个阶段，该学科的逻辑基础仍然缺乏明确概念。18世纪的数学家致力于寻找这样的基础，虽然几乎没有获得什么成就，却在很大程度上将微积分从连续运动和几何量的直觉中解放出来。19世纪初，导数成为基本概念，随着数学家严格定义了数和连续性，到19世纪后半叶，一个坚实的基础就此完成。为了对连续性那种模糊、本能的感觉做出解释，数学家付出了大约2500年的努力，最终形成了精确的概念。这些概念由逻辑定义，表现出超越感官经验世界的推断。经过深思熟虑的研究，直觉，或者对表面上无法充分表达的经验要素的所谓直接认识，终于被严格定义的抽象理性概念所取代，这些概念是让科学和数学思想变得简洁的宝贵工具。
如今，微积分的基础定义——导数和积分的定义——在该学科的教科书中表述得非常清楚，掌握相关运算也非常容易，人们似乎忘记了当初研究这些基本概念所遭遇的艰辛。通常来说，清晰充分地理解一门学科背后的基础概念，要等到其发展的相对后期才能实现。微积分的兴起就恰如其分地说明了这一规律。微积分最初提供的规则表述精确，易于使用，在某种程度上导致数学家对这个学科的逻辑发展所要求的细致工作无动于衷。他们设法利用产生于空间直觉的传统几何与代数的概念建立微积分。然而，到18世纪，详细阐述基础概念所面临的固有困难变得越来越明显，谈论“微积分的形而上学”成为惯例；言下之意是，数学已无力为微积分的基础给出令人满意的说明。19世纪，由于采用精确的数学术语，基本概念得以澄清，人们在自然界的具体直觉（也许潜藏在几何与代数中）和富于想象力思索的神秘主义（也许兴盛于先验的形而上学之上）之间，终于找到了一条安全的路线。于是，导数在其整个发展过程中，便摇摇晃晃地夹在速度（这个科学上的现象）和运动（这个哲学上的纯理性概念）之间。
积分的历史与此相似。一方面，它为近似值或误差补偿的实证主义思想提供了充分的阐释机会，这两种观点基于科学测量承认的近似性质和叠加效应公认的学说。另一方面，唯心主义的形而上学认为，在感官知觉有限论之外，人类经验和推理可以，但只能可望而不可即地逐渐接近超验无穷大。只有形成于19世纪的精确数学定义，才能使导数和积分保持它们作为抽象概念的本来地位，这种抽象概念也许衍生自物理描述和形而上学解释，但是又独立于两者。
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本文的目的就是追溯这两个概念的发展历史，从它们发端于感觉经验到最终确立为数学抽象——依靠无穷序列极限的思想，根据形式逻辑加以定义。我们将发现，微积分的历史称得上是一个非凡的惊人实例，展现了数学概念是在摆脱了我们最初的直觉产生的所有感性认知后缓慢形成的。在最终的微积分里，导数和积分是从序数的角度，而非连续量和可变性的角度来综合定义的。尽管如此，它们却是努力将我们对最后两个概念的感觉印象加以系统化所产生的结果。这说明，微积分在其早期发展阶段，为何会与几何或者运动的概念以及不可分量和无穷小的解释有密切关系，那是因为这些观点都产生于连续性的朴素直觉和经验。
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庞加莱（Poincaré）曾说过，如果数学家沦为抽象逻辑的猎物，他们将永远走不出数论和几何公设的范畴。自然界将连续统和微积分问题扔给数学家，因此我们完全可以理解，竟有一个类似物理学中顽固的原子论的思想，试图通过不可分元素来描画几何学所说明的宇宙。但是，数学的进一步发展已经表明，为了保存该学科的逻辑一致性，这样的想法必须放弃。产生导数和积分的概念的基础最初是在几何中发现的，因为，尽管几何证明具有不容置疑的特性，人们仍然认为几何是对感性世界的抽象化、理想化。
然而，人们近年来越来越清楚地认识到，数学是对普遍关系的研究，任何源自感官知觉、对这些关系先入为主的看法，都不能妨碍我们探索这些关系应该是什么。因此，微积分逐渐摆脱几何学，并通过导数和积分的定义而依赖自然数的概念，所有传统的纯数学（包括几何）都可由自然数概念推导出来。现在，数学家们感到，集合论为微积分提供了必需的基础，从牛顿和莱布尼茨的时代起，人们就开始探索这些基础了。但是，我们却不能自以为是地断言，在直觉将所有这些从原始的变化和多样性观点中提炼出的毫不相干的概念联系在一起的过程中，这会是最后一个步骤。人类天然会把对自己最有价值的思想具体化，不过，若对导数和积分起源有一个公正评价就会清楚地认识到，任何认为这些概念的建立就是微积分概念发展的终结的观点，都是毫无根据的盲目乐观。