《线性算子的谱分析（第二版）》：
绪论
——从矩阵的特征值到线性算子的谱理论
数学研究问题的基本方法是把问题数量化、简单化，用其数字特征来刻画问题的本源特性．但是专业的数学书籍给读者的第一印象往往都是抽象而难懂。我们认为：数学不应该成为一门让人费解的科学。
准确了解数学研究的原始动力（为什么要研究这样的问题，研究问题的来源和背景）是十分重要的，或者是说从一些简单的例子里，去掉数学词汇的抽象、数学定理的外饰，返璞归真是理解和学会数学基本方法。绪论拟从线性代数、数学分析和微分方程中的一些实例展开，引申、抽象出本书要研究的问题。只有从实例才能感悟数学，学会如何从问题中使用类比、联想等方法，归纳出一些基本的数学思想方法，进而去解决未知的问题。对最基本、最简单数学结构的感悟与理解是学会数学、学懂数学最为关键的一步。
本书的书名中有两个关键词，一是“线性算子”：二是“谱”，这两个词汇对于具有高等数学基础的读者来说可能是完全陌生的。绪论的内容将从这两个关键词展开。
通俗地说，线性算子就是一种线性运算，或者称之为“映射”，一个元素通过这种运算被转变成另一个元素，
运算始终是数学研究的基本对象。高等数学中研究的主要对象微分、积分、矩阵都可以看成是运箅，并且都是线性运算．即满足：其中A是n维空间中的线性变换（矩阵）。
一般地，把这样一些运算T（连同其定义的范围）称为算子，满足条件（0.1.1）的运算称为是线性算子，其中r（T）是T的定义域。
本书以线性变换、微分、积分这些具有线性性质的运算为应用背景，来研究线性算子的谱理论，“谱”正是反映这种运算本质的数字特征。对于n维空间中线性变换A来说，这个线性算子的“谱”实际上就是我们在线性代数中熟知的“特征值”。我们从下面的例子里来看矩阵的特征分解：
0.1.1 有限维空间矩阵运算的特征值
例0.1.1设A是从到的对称矩阵，
其中
尽管矩阵中的数字很简单，但是我们从直观上并不能看出这个线性运算（线性变换）的运算特征。学过线性代数的读者知道，A的运算特征是由它的特征值来确定，并且：
（1）A是对称的线性变换；
（2）A的特征值是实的；
（3）A的属于不同特征值的特征向量相互正交；
（4）4可以化为对角矩阵。对称矩阵一定正交相似于一个对角矩阵。
具体做法为：
（i）求解-1是特征值．其中入=2是A的2重特征值，是单重特征值。
（ii）A=2时，求出其基础解系如下：
（iii）该基础解系不正交，将其单位正交化：
当A=-l时，求出其特征向量并单位化：
成为中的一组标准正交基．在这组标准正交基下，矩阵A成为对角矩阵，即：令，则
注1在新的坐标系下，线性变换4有最简单的标准型。
注2由于是A的特征向量，有
对于，在原来的正交下，其中
在空间构造一组新的正交基（它们是由对称矩阵A确定的，则其中是z在上的投影。
由于A是线性的，这说明，矩阵A酌特征值确定了一组正交基，对于任何的，只要知道z在上的投影，则A作用的方式一目了然，即
注3数学处理问题的原则是把复杂的问题简单化．在确定了特征值和特征向量以后，在每一个特征子空间上，A作用的形式是最简单的（放大、缩小特征值的倍数）。令P，P2，P3是在上的投影（算子），则（0.1.7）在这里．A分解成3个投影变换（算子）的线性组合。
0.1.2无穷维空间函数按坐标分解
高等数学研究的主要运算是微分、积分，它们作用的对象是函数．我们注意到，与瓞”空间中线性变换A相同，微分、积分运算都是线性运算，不同的是A把一个札维向量变成n（或m）维向量，而微（积）分把一个函数映射成另一个函数。
我们希望通过类比和联想，把有限维空间处理问题的这种方式，把矩阵运算的分解（0.1.6）和（0.1.7）类比地推广到微分、积分运算上．这是线性算子谱分析理论要研究和处理的问题。
但是我们同时注意到，函数一般来说不能用有限个数刻画f可能可以用无穷多个数刻画）。为了考虑算子的分解，首先要研究函数的分解，给出类似于（0.1.4）中向量的分解的形式．事实上在数学分析里我们已经有这样分解的例子：
例0.1.2（Taylor展开）如果函数满足很好的性质，则在它的收敛半径内，有即：函数可以和一个可数无穷数列一一对应，这和一个向量在n维空间的展开完全类似，区别在于）是“正交系”，
下面的我们熟知的Fourier展开就是一种在正交系中的展开。
例0.1.3Fourier级数其中f可以和这无穷数列一一对应。
类似于，在这个函数空间上定义内积（参阅1.1.2节例1.1.19）（0.1.11）空间中构成坐标系的函数列为且，即形成空间中的一组标准正交基．并且有，于是，这意味着，对于函数有为函数，在这个坐标系下的坐标，即
（1）我们在函数空间建立了一个正交坐标系；
（2）每一个函数在这个坐标系下和一组（可数多个）数一一对应，其中系数是，和的内积，即，（x）在ek上的投影。
与有限维的情况加以对照：在中，有
二者之间的区别是什么？是有限维空间，而函数空间是无穷维的．无穷维求和是一个极限过程。
提示在无穷维空间，要考虑极限是不是存在．如果存在，极限的收敛是在什么意义下（即等号成立的意义）。
……
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