第1章群论
群只有一种代数运算，因此比较容易深入讨论．群的左右单位元和逆元的相关问题应该仔细讨论，元素的阶对揭示群的结构起着重要的作用，通过群的阶可以给出群的一些重要性质，但一般来说，两个不同元素的阶无法决定它们的乘积的阶，元素的阶是研究群的一个重要工具．子群继承了群的一些重要性质，通过子群可以了解群的很多性质，但群与子群的关系是复杂而密切的．正规子群是一个重要的概念，具有很好的性质．对称群是一类性质比较清楚的群，它给群提供了很多重要而简明的反例．群的同态和同构让不同的群可以比较，使得群的分类简单明了。
1.1群的定义
1.1.1二元运算
问题1.1.1二元运算是什么？
从SxS到S的一个映射，称为S上的一个二元运算
问题1.1.2SxS上的映射，都是S上的一个二元运算吗？
不一定。设S一{(a1，n2，a3)a1，n2，a。都是实数）是3维欧氏空间，则内积不再是向量，因此内积不是二元运算。
1.1.2群的定义
问题1.1.3什么是群？
设G是一个非空集合，若在G上定义一个二元运算，满足
(1)结合律：对任何n扣，c∈G，有，则称G是一个半群(sem1group)，记作(G)若(G)还满足。
(2)存在单位元，使对任何有
(3)对任何有0.1∈G，使得，则称(G)是一个群(group)。
如果半群中也有单位元，则称为幺半群(mono1d)。
如果群适合交换律：对任何以，则称G为交换群或Abel群。
群中的乘法运算一般简记为ab。
问题1.1.4什么是群的可逆元？
如果ab=ba=e，那么就称血为一个可逆元(1nvert1bleelement)，并称b为n的逆元。可逆元的逆元通常记作
问题1.1.5从SxS到S的二元运算都满足结合律吗？
不一定。取S为实数全体所构成的集合，将映射。
定义为
则二元运算，不满足结合律．
问题1.1.6若SxS到S的二元运算满足交换律，则它一定满足结合律吗？
不一定。设R为实数，在RxR上，定义
则运算。满足交换律，但它不满足结合律。
问题1.1.7幺半群一定是群吗？
不一定。整数集Z对于乘法是一个幺半群，但它不是群。
问题1.1.8什么是左单位元和右单位元？
设G是一个半群，若存在使对任何有，则称为G的左单位元。
设G是一个半群，若存在，使对任何有，则称为G的右单位元。
问题1.1.9半群G的左单位元一定是半群G的右单位元吗？若半群G有左单位元和右单位元，则它们一定相等吗？
左单位元不一定是半群G的右单位元，若半群G有左单位元和右单位元，则它们也不一定相等。
设，定义则G是一个半群，并且n是G的左单位元，但ba≠b，因此n不是G的右单位元．明显地，是G的右单位元。
问题1.1.10什么是左逆元和右逆元？
设G是一个有单位元的半群，若，满足，则称为n的右逆元为的左逆元。
问题1.1.11若G是一个有单位元的半群，则G的左逆元一定是右逆元吗？
不一定。设G是所有正整数Z+到Z+的映射，则在复合作为乘法的运算下，G是一个半群，并且单位元e为恒等映射，令为定义Z+到Z+的映射为：当n为偶数时，当为奇数时，（1，则容易验证：但不等于，因此，n的左逆元不是它的右逆元。
问题1.1.12若G是一个有单位元的半群，若acG的左逆元6和右逆元c都存在，则n的逆元一定存在吗？
是的。若n∈G的左逆元和右逆元c都存在，则因此，并且故所以，o的逆元为6。
问题1.1.13若G是一个有单位元的半群，则有右逆元和左逆元c，则a-定是可逆元吗？
是的。由于，所以故，从而因此n是可逆元。
问题1.1.14若半群G有左单位元e，并且任意n∈G，存在6∈G，使得，则G-定是群吗？
不一定。设，定义，则G是半群，e是左单位元，并且，但没有左逆元，否则的话，由，可得，矛盾。所以，G不是群。
问题1.1.15若半群G有右单位元e，并且任意o∈G，存在6∈G，使得ab=e，则G-定是群吗？
是的。存在e∈G，使得对任意o∈G，有．对于o∈G，有，使得．对，存在c∈G，使得，因此故．另外，因此，e是G的单位元，并且6是o的逆元，所以，G是群。
问题1.1.16若半群G有右单位元，并且任意n∈G，存在，使得，则G-定是群吗？
不一定。设，e≠n，定义则G是半群，e是右单位元，但n没有右逆元，否则的话，由可得矛盾．所以，G不是群。
问题1.1.17若半群G有左单位元e，并且任意o∈G，存在6∈G，使得ba=e，则G-定是群吗？
是的．证明与前面问题类似。
容易知道，若e是群G的单位元，则
问题1.1.18设G是群，满足则定是单位元吗？
是的。由于，故，所以，
问题1.1.19设G是半群，若对于任意o，b∈G，都存在x，可∈G，使可，则G定是群吗？
不一定。设G={e，o），e≠o，定义则G是半群，存在n，e，使得，并且，但n没有逆元，否则的话，由可得，矛盾．所以，G不是群。
问题1.1.20设G是半群，若对于任意n，beG，方程xa=b，ay=b都有解，则G-定是群吗？
是的．取定则由有解可知存在，使得．对于任意，由有解可知存在，使得，故对任意成立，因此为的右单位元．
类似地，由xa=血有解可知存在，使得．对于任意，由有解可知存在使得故对任意成立，因此力G的左单位元，从而，由可知为G的单位元，不妨记
对于任意acG，由方程都有解，可得可，因此，z=可，从而z是n的逆元，所以，G是群．
明显地，在交换群中，对于是一定成立的。
问题1.1.21设G是群，则一定成立吗？
不一定。在非交换群S3中，设，则，故并且，因此，
问题1.1.22存在l，2，3阶的非循环交换群吗？
不存在。设K4=<e，n，6，c，乘法表为
则K4是克莱因四元群(Kleinfour-group)，K4是阶最小的非循环交换群．
1.1.3群的性质
问题1.1.23群中的消去律成立吗？
成立。设群G中的元素n，b，c满足或，则．
问题1.1.24若G是一个半群，并且在G中消去律成立，则G定是群吗？
不一定。设G为所有非零整数，则G在整数的乘法下是一个半群，并且在G中消去律成立，但G的元素不一定有逆元，因此G不是群。
问题1.1.25若G是一个有单位元的有限半群，并且在G中消去律成立，则G-定是群吗？
是的。对于任意o∈G，由于G是有限的，故一定存在正整数m>n>0，使得，故由”可得因而，所以，G是群．
问题1.1.26群中的元素的乘积的逆是什么？
设n，6是群G中的两个元素，则
明显地，若G是交换群，则对任意，都有。
问题1.1.27若群G中的任意两个元素，都有，则G-定是交换群吗？
是的。对任意n，6∈G，都有，另外，由可知ab=阮对任意o，beG都成立，因此，G一定是交换群。
明显地，若G是交换群，则对任意都有，反过来呢？
问题1.1.28若群G中的任意两个元素都有，则G-定是交换群吗？
是的。由于，并且，故所以，对任意n，b∈G成立，所以，G是交换群。
问题1.1.29若群G中的任意两个元素o，b∈G，都有(ab)3=a3b3和(ab)5=a5b5，则G-定是交换群吗？
是的。由可知ababab=aaabbb.故baba=aabb.类似地，由知道ababababab=aaaaabbbbb，故，因此，因而，再根据可知a，所以，对于任意，都有ba=ab。
问题1.1.30若群G中的任意两个元素n，bcG，都有(ab)3=a3b3，则G-定是交换群吗？
不一定．设G为所有满足当时，有的3x3矩阵，则容易验证，对于任意，有是单位矩阵，因此，对于任意，都有，但G不是交换群。
问题1.1.31设G是群，若任意非单位元，的阶都是，则G-定是交换群吗？
是的．由于，故对于任意n∈G都成立．因此对于任意，有，所以，G是交换群。
问题1.1.32设G是群，若任意非单位元，n的阶都是3，则G-定是交换群吗？
不一定．设z，可，z∈23，则所有形如的矩阵在矩阵乘法下构成一个27阶的群G，并且对于任意aeG，n的阶都是3，但对于故bc≠cb，所以，G不是交换群，
问题1.1.33元素个数最少的非交换群是什么？
容易验证，1，2，3，4，5阶群都一定是交换群，对称群S3是6阶的非交换群，因此阶最小的非交换群的阶是
问题1.1.34设G是群。若，则定成立吗？
不一定．在克莱因四元群K4={e，a，b，ab）中，但
问题1.1.35设G是群，a-定有平方根吗？即一定存在，使得吗？
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