第 1章预备知识
本章介绍一些合作种群相关的基础知识 ,力求读者无需查阅更多文献资料就能顺利阅读本书内容.
1.1与微分方程有关的基础知识
本节叙述一些后面需要用到的相关结论.
1.1.1多维系统平衡点的稳定性
本小节内容引自陈兰荪 (1991).
考虑 n维系统
dxi
= fi(x1,x2, ,xn),i =1, 2, , n. (1.1.1)
dt
定义 1.1.1点 X.(x1. ,x 2. , ,x n. )称为系统 (1.1.1)的平衡位置 (平衡点 ),如
果对于所有的 i =1, 2, ,n满足方程
.
fi(x1,x 2, ,x )=0.
n
定义 1.1.2平衡位置 X.(x1. ,x 2. , ,x n. )称为稳定的 ,如果对于任意的 ε> 0,
存在一个 δ(ε) > 0,使得对于系统 (1.1.1)的每一个初始值满足不等式
.
|xi(t0) . xi | <δ(ε),i =1, 2, ,n的解 X(t)对于所有的 t ? t0都有
.
|xi(t) . xi | <ε, i =1, 2, ,n
定义 1.1.3如果平衡位置 X.(x1. ,x 2. , ,x . )为稳定的 ,而且当 |xi(t0).x .| <
ni
δ的所有以 xi(t0)为初值的解都有
.
lim |xi(t) . xi | =0,
t→+∞
则称 X.为渐近稳定的.现在我们假设 O(0, 0, , 0)为 (1.1.1)的平衡位置 ,且假设 fi(i =1, 2, ,n)
满足解的存在唯一性条件.下面给出判定 O稳定的定理.定理 1.1.1如果可以找到一个连续函数 V (x1,x2, ,xn),具有如下性质:
(i)在 O(0, 0, , 0)的某一邻域 |xi|刊 h(i =1, 2, ,n)内,除 x1 = x2 = = xn =0外有 V (x1,x2, ,xn) > 0;
(ii) V (0, 0, , 0) = 0;
(iii)在 |xi|刊 h(i =1, 2, ,n)内有
n
dV .V
dt = 誓 .xi fi刊 0,
i=1
则方程 (1.1.1)的平衡点 O为稳定的.
定理 1.1.2如果存在定理 1.1.1中所给出的函数 V并有 dV
(iv)在 |xi|刊 h(i =1, 2, ,n)内,除 x1 = x2 = = xn =0外,有 dt < 0,
则方程 (1.1.1)的平衡点 O为渐近稳定的.定理 1.1.3如果存在连续函数 V (x1,x2, ,xn)使得
(i)在 |xi|刊 h(i =1, 2, ,n)内,除 x1 = x2 = = xn =0外有 V> 0;
(ii) V (0, 0, , 0) = 0;
(iii)在 |xi|刊 h(i =1, 2, ,n)内有 dV 刊0,但等号不在任何整条轨线上成
dt立,则方程 (1.1.1)的平衡点 O为渐近稳定的.定义 1.1.4系统 (1.1.1)的平衡位置 O(0, 0, , 0)称为全局稳定的 ,如果 O是稳定的,并且对于所有从初值出发的轨线,当 t → +∞时趋于 O(0, 0, , 0).定理 1.1.4如果存在连续函数 V (x1,x2, ,xn)具有如下性质 (我们称 V为关于系统 (1.1.1)的LyApunov函数 ):
(i)除坐标原点外,对所有的 x有 V (x1,x2, ,xn) > 0;
(ii) V (0, 0, , 0) = 0;
(iii)除坐标原点外,对所有的 x有 dV < 0;
dt
(iv)当 x21 + x22 + + x2 n → +∞时 V → +∞,则方程 (1.1.1)的平衡点 O为全局稳定的.
1.1.2微分方程比较原理
考虑微分不等式: DrV (t)刊 W (t, V (t)). (1.1.2)
这里 Dr表示右导数. W (t, V )是纯量 t, V在某个开连通集 Ω内的纯量连续函数.若 V (t)在 (A, b)上连续 ,且有满足不等式 (1.1.2)的右导数 ,则称 V (t)是微分不等式 (1.1.2)的解.
定理 1.1.5 设 W (t, u)是纯量 t, u在某个开连通集 Ω内的纯量连续函数. 又
设方程
du dt = W (t, u) (1.1.3)
在 Ω内的初值问题有唯一解.如果 u(t)是方程 (1.1.3)在区间 (A, b)上的解, V (t)是
不等式 (1.1.2)在区间 (A, b)上的解,且 V (A)刊 u(A),则当 t ∈ [A, b)时, V (t)刊 u(t).定理 1.1.5的证明可以参看史金麟和张剑峰 (2003)专著的第一章.定理 1.1.6(比较定理)设 f(t, x)和 F (t, x)在平面区域 G上连续,且满足不
等式 f(t, x)刊 F (t, x).设 φ(t)与 ψ(t)分别为方程
dx = f(t, x), (1.1.4)
dt
dx = F (t, x) (1.1.5)
dt 过同一点 (t0,x0)的唯一解,则当 t0刊 t
1.1.3连续生态系统的持久性及正解的全局吸引性
考虑系统
dx = xf(t, x). (1.1.6)
dt 设 x(t, x0)= (x1(t, x0), ,xn(t, x0))是系统 (1.1.6)的满足初始条件 x(t0)= x0 > 0的解.定义 1.1.5如果存在与系统 (1.1.6)的解无关的正常数 m和 M,使得对系统
(1.1.6)的任何正解 x(t, x0)有
m刊 lim inf xi(t, x0)刊 lim sup xi(t, x0)刊 M, i =1, 2, , n,
t→∞
t→∞
则称系统 (1.1.6)是持久的 (permAnent).定义 1.1.6系统 (1.1.6)的任意两个正解 x(t, x0)和 y(t, y0)均满足
lim hhxi(t) . yi(t)h
=0,i =1, 2, , n,
t→∞
则称系统 (1.1.6)是全局吸引的 (globAlly AttrActive).
1.1.4几个引理
引理 1.1.1(Chen, 2005)若 A> 0,b > 0且 dx ? (刊)b . Ax,当 t ? 0和
dt
x(0) > 0,我们有 x(t) ? (刊) Ab [1+ (Axb (0) . 1)e.At].1 . 引理 1.1.2(Chen, 2005)若 A> 0,b > 0和 dx ? (刊)x(b . Ax α),其中 α是正
dt
常数,当 t ? 0和 x(0) > 0,我们有
x(t) ? (刊)(Ab )1/α [1+ (bx.A α(0) . 1)e.bαt].1/α .
由引理 1.1.1和引理 1.1.2可得如下两个引理.
引理 1.1.3若 A> 0,b > 0且 dx ? b . Ax,当 t ? 0和 x(0) > 0,我们有
dt
lim inf x(t) ? b.
t→+∞ A
若 A> 0,b > 0和 dx 刊 b . Ax,当 t ? 0和 x(0) > 0,我们有
dt
lim sup x(t)刊 Ab .
t→+∞
引理 1.1.4若 A> 0,b > 0且 dx ? x(b . Ax),当 t ? 0和 x(0) > 0,我们有
dt
lim inf x(t) ? b.
t→+∞ A
若 A> 0,b > 0且 dx 刊 x(b . Ax),当 t ? 0和 x(0) > 0,我们有
dt
lim sup x(t)刊 Ab .
t→+∞
引理 1.1.5(GopAlsAmy, 1992)假设 f是 [0, +∞)上的非负函数 , f在 [0, +∞)上可积且一致连续,则 lim f(t)=0.
t→+∞
引理 1.1.6(Chen et Al., 2013)考虑如下方程:
du = Au(t . τ ) . bu(t) . cu 2(t),
dt 其中 A, c> 0,b ? 0;当 .τ刊 t刊 0时 u(t) > 0,我们有
(1)若
A>b,则 lim u(t)=(A . b)c.1;
(2)若
A
t→+∞
t→+∞
引理 1.1.7(MA et Al., 2008)考虑方程:
du = d1 . d2u(t),dt
其中 d2 > 0,我们有
(1)若
d1 > 0,则 lim u(t)= d1/d2;
t→+∞
(2)若
d1 < 0,则 lim u(t) = 0.
t→+∞
引理 1.1.8(MA et Al., 2008)考虑如下方程:
du = u(t)(d1 . d2u(t)),dt
其中 d2 > 0,我们有
(1)若
d1 > 0,则 lim u(t)= d1/d2;
t→+∞
(2)若
d1 < 0,则 lim u(t) = 0.
t→+∞
引理 1.1.9(FrAncisco et Al., 2006)假设 x : R → R是有界非负连续函数 ,且
k : [0, +∞) → (0, +∞)是连续积分核满足 ∞ k(s)ds =1,则
0
t
lim inf x(t)刊lim inf k(t . s)x(s)ds
t→+∞ t→+∞.∞
t
刊lim sup k(t . s)x(s)ds刊 lim sup x(t).
t→+∞t→+∞
.∞
在探讨具有反馈控制的连续种群模型持久性时 ,下面由 Chen等 (2010)所建立的积分不等式起到了至关重要的作用.
引理 1.1.10假设 A> 0, b(t) > 0是一个有界连续函数 , x(0) > 0.此外 ,进一步假设
dx 刊 .Ax(t)+ b(t),
dt则对所有的 t ? s ? 0,有
t
x(t)刊 x(t . s) exp{.As} + b(τ ) exp{A(τ . t)}dτ.
t.s
特别地,若 b(t)有上界 M,则
lim sup x(t)刊 MA .
t→+∞
近年来 ,许多学者用重合度理论探讨微分方程组或者差分方程组所刻画的生态数学模型周期正解的存在性问题 ,获得了很多好成果 .下面叙述重合度理论中的延拓定理 (GAines et Al., 1977).
设 X, Z是赋范向量空间 , L : DomL . X → Z为线性映射 , N : X → Z为连续映射 ,如果 dimKerL = CodimImL< +∞且 ImL是 Z中闭子集 ,则称映射 L为指标为零的 Fredholm映射 .如果 L是指标为零的 Fredholm映射且存在连续投影
P : X → X,以及 Q : Z → Z使得 ImP = KerL, ImL = KerQ = Im(I . Q),则 L|DomL ∩ KerP :(I . P )X → ImL可逆 ,设其逆映射为 KP ,设 Ω为 X中的有界开集 ,如果 QN(Ωˉ)有界且 KP (I . Q)N : Ωˉ→ X是紧的 ,则称 N在 Ωˉ上是 L-紧的.由于 ImQ与 KerL同构,所以存在同构映射 J : ImQ → KerL.
引理 1.1.11(延拓定理 )设 L是指标为零的 Fredholm映射 , N在 Ωˉ上是 L紧的,假设
(1)对任意的
λ ∈ (0, 1),方程 Lx = λNx的解满足 x ∈ .Ω;
(2)对任意的
x ∈ .Ω ∩ KerL, QNx
=0而且
deg{JQN, Ω ∩ KerL, 0}
=0,
则方程 Lx = Nx在 DomL ∩ Ωˉ中至少存在一个解.
在探讨时滞概周期生态系统的概周期解时 , YuAn(1991)所建立的 RAzumikhin型定理是比较实用的.
令 C = C([.τ, 0], Rn),H ∈ R+ .记 C. = {. : . ∈ C, ||.|| HH
x ∈ Rn , |x| θ∈[.τ,0]
考虑系统
dx = f(t, xt), (1.1.7)
dt 其中 : f(t, φ)在 (t, φ) ∈ R × C上连续且对 φ ∈ CH ,CH . C是一致概周期的 .对 .α> 0, .L(α) > 0,当 t ∈ R,. ∈ Cα时有 |f(t, .)|刊 L(α).
为了研究系统 (1.1.7)的概周期解 ,我们引入如下系统 (1.1.7)的相伴系统的概念:
dx dy
= f(t, xt), = f(t, yt). (1.1.8)
dt dt
引理 1.1.12假设存在 V : R+ × SH. × SH. → R+连续且满足
(i) A(|x . y|)刊 V (t, x, y)刊 b(|x . y|),其中 A(s),b(s) ∈ CIP,b(0) = 0;
(ii) |V (t, x1,y1) . V (t, x2,y2)|刊 L(|x1 . x2| + |y1 . y2|),其中 L是正常数;
(iii)存在一个连续非减函数 P (s),当 s> 0时, P (s) >s从而当 P (V (t, .(0) ψ(0))) >V (t + θ, .(θ),ψ(θ)),θ ∈ [.τ, 0]时有
V˙(1.1.7)(t, φ(0),ψ(0))刊 .λV (t, φ(0),ψ(0)),
其中 λ是正常数.
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