《量子系统的辛算法》介绍了量子系统的辛算法与简单应用，包括Hamilton系统辛算法的基本知识——辛积与辛结构，经典Hamilton系统的辛格式；分子系统经典轨迹的辛算法计算与简单分子系统微观反应和动力学的数值研究；定态Schr？dinger方程的辛形式以及在充分远空间上计算分立态和连续态的辛算法，计算基态与低激发态的虚时间演化法；含时Schr？dinger方程的辛离散与保结构计算以及在强激光场原子物理中的应用；立方非线性Schr？dinger方程的辛离散与辛算法以及一维立方非线性Schr？dinger方程的动力学性质和Bose-Einstein凝聚体干涉效应的数值研究；含时Schr？dinger方程的对称分裂算符-快速Fourier变换方法；量子系统Heisenberg方程的保等时交换关系-辛算法。

第1章[辛结构与Hamilton系统的辛算法]
Hamilton力学的基本定理指出，Hamilton系统的正则方程在辛变换下形式不变，系统的时间演化是辛变换的演化， 具有辛群对称性，相应地Hamilton系统有守恒量------辛结构。基于此， 1980年代初Ruth[2]和冯康[3]各自独立地提出了数值求解Hamilton系统的辛算法。辛算法就是保持Hamilton系统辛结构的差分法，它的第n步到第n + 1步的变换f：z^n + 1 =f(z^n)是一个辛变换，使离散化后的差分方程的辛结构守恒。辛算法具有长时间的计算稳定性和跟踪能力，所以， 应用辛算法求解Hamilton系统的正则方程，尤其在长时间﹑多步数的计算中和保持系统整体结构上较其他非辛算法有明显的优越性。 
section[辛结构与Hamilton力学]辛结构与Hamilton力学 !^[4]
19世纪英国天文学家Hamilton将在Euclid空间中研究的Newton力学转化成在辛流形上研究的Hamilton力学，这无论在理论研究和应用上， 还是在数学表述上，都是经典力学发展史上的重大突破。Newton力学用质点(组)在三维Euclid空间中的位置描述运动，它满足Newton运动方程。Lagrange力学用广义坐标和广义速度描述运动，它满足Lagrange方程。Hamilton力学用正则坐标q(t)=(q_1(t)， cdots，q_n (t))^ rm T和共轭正则动量p(t)=(p_1(t)， cdots，p_n (t))^ rmT以及它们的可微函数H(q，p)描述运动， H(q，p)是系统的总能量，称为Hamilton函数， 系统的运动满足Hamilton正则方程式
(1.1.1)可写成矩阵形式noindent 
其中偏导数H_q_i=  dfrac partial H partial q_i ， vspace1.5mmH_p_i  =  dfrac partial H partial p_i ，O和I分别是n times n零矩阵和单位矩阵， 2n times2n矩阵J称为(2n阶)标准辛矩阵， 它满足J^ - 1 = J^ rm T = -J。
在本书中， 上角标T表示向量和矩阵的转置。
再记z = (q，p)^ rm T= (z_1，  cdots， z_n， z_n +1， cdots， z_2n)^ rm T， H_z =(H_q， H_p)^ rm T=(H_z_1， cdots，H_z_2n)^ rm T，
正则方程(1.1.1)可写成更为紧凑的形式noindent 所以这个Hamilton系统总能量守恒，是保守系统。如果Hamilton函数H(q， p，  t)显含时间t， 则 noindent 显含时间Hamilton系统的总能量不守恒， 不是保守系统。
本书中出现的变量(如时间变量t，  tau ， 空间变量x， y等)和函数(如正则坐标q_i (t)， 正则动量p_i (t)，Hamilton函数H(q，p)等)都是实的；如遇到复的，将明确指出。上面使用的记号q， p， z， H_q ， H_p ， H_z ，T以及本节中使用的其他记号，在本书后面的章节中使用时将不再一一说明。
线性Hamilton系统的Hamilton函数是z的二次型， 即H(z，t) = dfrac12z^ rm TA(t) z， 其中A(t)^ rm T = A(t)，正则方程(1.1.3)特殊化成线性微分方程(组)
如果Hamilton函数不显含时间， H(z) =  dfrac12z^ rm TA z，A^ rm T=A， 正则方程(1.1.3)进一步简化成常系数线性微分方程记 
Re 为实数域， 设 Re ^2n是2n维的实线性空间， 它的每个元素称为向量，其中的e_1 ，  cdots ，e_2n 是 Re^2n中2n个线性无关的单位向量。描述n维Hamilton系统的每个运动的正则坐标和共轭正则动量组成的向量z(t)中的函数向量，这个运动在每一时刻t'给出的状态z(t') = (z_1 (t')， cdots，z_2n(t'))^ rm T是 Re ^2n中的向量。对时间步长 Delta t > 0，取t_0= Deltat为时间原点建立新的时间坐标；原Hamilton系统的运动在这个新的时间坐标中由描述。在中引进变换S:和逆变换。
详写之， 变换noindent 和逆变换noindent 描述系统能量的Hamilton函数H(z)在新坐标 tildez中变换成 tilde H( tilde z)：H(z) = H(S( tilde z)) = tilde H( tilde z)。因为 tildez(t)描述原Hamilton系统在新的时间坐标中的运动，它应该满足正则方程 vspace1.5mm dfrac rm d tilde z rm dt = J  dfrac partial  tilde H partial   tildez。将逆变换和变换分别代入正则方程 dfrac rm d tilde zrm d t = J  dfrac partial  tilde H partial   tildez的左端和右端， 得到
noindent 
其中 left(  dfrac partial S partial  tilde z right)和 left(  dfrac partial S^ - 1 partial z  right)=  left(  dfrac partial S partial  tilde z  right)^ -1是变换S和逆变换S^ - 1的Jacobi矩阵。
于是得到noindent 
与z(t)满足的正则方程(1.1.3)比较可得 left( dfrac partial S partial  tilde z  right)J left(  dfracpartial S partial  tilde z  right)^ rm T = J。容易验证noindent
 这里的符号  Leftrightarrow 表示等价，即其前后的关系互为充分必要条件。若变换S的Jacobi矩阵满足 left( dfrac partial S partial  tilde z  right)^ rm TJ left( dfrac partial S partial  tilde z  right) = J，则称变换S为辛变换。依据(1.1.6)， 若变换S， S^ rm T和S^ -1中之一为辛变换， 则另两个也是辛变换。若2n阶矩阵A满足A^ rmTJA = J， 则称A为辛矩阵；容易验证， 若矩阵A， A^ rm T和A^- 1中之一为辛矩阵， 则另两个也是辛矩阵。 '
thHamilton力学基本定理1  正则方程在辛变换下形式不变。详言之，如果S是辛变换， z = S( tilde z)， H(z) = H(S( tilde z)) = tilde H( tilde z)， 则在辛变换S之下正则方程(1.1.3)变为
thHamilton力学基本定理2正则方程的解由一个时刻到另一个时刻是一个辛变换。详言之，设z(t)是正则方程(1.1.3)的解，  Delta t > 0是时间步长，则变换S： z(t)  to  tilde z(t) = z(t +  Delta t) =S(z(t))是辛变换。特别地，线性正则方程的解由一个时刻到另一个时刻是一个线性辛变换。
对 Re ^2n中任意二向量x != !x_1，e_1 !+ ! cdots !+noindent 
容易验证， 辛积满足
(1)  th双线性  对和 alpha ， beta ， gamma in  Re ， 
(2)  th反对称性  对x，y  in  ， left langle x，y right rangle = -  left langle y，x  right rangle ;特别地， left langle x，x  right rangle = 0;
(3)  th非退化性  对每一非零向量x  in  Re ^2n， 必有y  in  Re^2n， 使 left langle x，y  right rangle  ne 0。
偶数2n维线性空间 Re ^2n上定义了
辛积之后， 即  Re ^2n，left langle x，y  right rangle  ， 称为辛空间。 vspace1mm辛积有明确的几何意义。因 beginarrayccendarray  right|是 vspace1.5mm Re ^2n中由坐标向量e_i 与e_n + i张成的坐标面上的两个向量 left( x_i ，x_n +i right)与 left( y_i ，y_n + i  right)张成的平行四边形的有向面积， 故辛积  langle x，y 
 rangle是 Re ^2n中向量x与y张成的超平行多面体在n个坐标面e_1 -e_n + 1 ，  cdots， e_n - e_2n上投影而成的平行四边形的有向面积的代数和。设 tilde S是 Re ^2n上的线性变换，  tilde S:z  to  tildez =  tilde S(z)， 它将 Re ^2n中的一组基 linebreak e_1 ，写成矩阵形式就是 
tilde S(e_1  cdots e_2n ) != ! (e_1，一方面 vspace-2mmnoindent 另一方面， vspace-2mmnoindent 所以， 线性变换 tilde S对应着一个变换矩阵S，noindent 变换矩阵S就是这个线性变换 tildeS的Jacobi矩阵；反之， 每个2n times 2n矩阵对应 Re^2n中的一个线性变换。
因此， 在不致引起混乱时， 本书对线性变换tilde S和对应的变换矩阵S不加区分， 都记作S。
特别地， 如果tilde S是 Re ^2n上的非异线性变换， 则它将 Re^2n中的一组 ziju-0.08基 e_1 ，  cdots ，e_2n 变为另一组基  tilde e_1 ，  cdots ， tilde e_2n  ，它的Jacobi矩阵是非异矩阵。若S为线性辛变换， 则它的变换矩阵满足S^ rm TJS = J，故而是辛矩阵。
可以验证， 线性辛变换保持辛积守恒。事实上，若S是线性辛变换， 
则对x，y  in  Re ^2n，thHamilton力学基本定理3线性正则方程的任意两个解保持辛积守恒。
详言之， 设是线性正则方程的两个解， 
则这只需证明
值得注意的是， 线性正则方程的两个解保持辛积守恒，而一般的正则方程则不然！这很容易验证。

考虑 Re ^2n上的辛变换，规定两个辛变换S和W的相继进行为它们的乘积=， 则容易验证，两个辛变换的乘积仍是辛变换、辛变换相乘满足结合律、恒等变换是辛变换、辛变换的逆变换是辛变换。所以，  Re^2n上的所有辛变换在规定两个辛变换的相继进行为它们的乘积之后构成Lie群，称为2n阶辛群， 记作。
如果2n阶矩阵满足，则称为无穷小辛矩阵。可以验证:
(1) 如果2n阶矩阵是无穷小辛矩阵， 则它的指数变换 exp(B)是辛矩阵。
(2) 如果2n阶矩阵是无穷小辛矩阵， 且行列式 righ是阶单位矩阵， 则F = (I + B)^ - 1(I -B)是辛矩阵。将对应的线性变换F称为的Cayley变换。
可以验证， 所有2n阶无穷小辛矩阵在矩阵加法和数乘下构成线性空间，再添加对易子运算[A，B] = AB - BA后构成Lie代数， 记作 rmSp(2n)， 它是辛群 rm sp(2n)的Lie代数。
依据上述Hamilton力学基本定理2和常微分方程的解的存在与唯一性定理，便得下面的定理. 
thHamilton力学基本定理4正 ziju-0.03则方程(1.1.3)的解由一个单参数辛群;生成。详言之， 若z(

目录 
序言 
前言 
第1章辛结构与Hamilton系统的辛算法1 
1.1辛结构与Hamilton力学1 
1.2Hamilton系统的辛格式9 
1.2.1一般经典Hamilton系统的辛格式10 
1.2.2不显含时间的线性Hamilton系统与可分Hamilton系统的辛格式13 
1.2.3显含时间可分Hamilton系统的辛格式17 
1.2.4显含时间可分线性Hamilton系统的辛格式21 
参考文献26 
第2章分子系统经典轨迹的辛算法计算28 
2.1A2B模型分子经典轨迹的辛算法计算29 
2.2双原子分子反应系统经典轨迹的辛算法计算32 
2.3强激光场中双原子分子动力学的辛算法计算34 
2.4激光场中一维共线氢分子离子(H2+)动力学的辛算法计算37 
2.4.1经典理论模型37 
2.4.2激光场中一维共线——系统经典运动的辛算法计算39 
2.4.3双色激光场中一维共线——的动力学行为45 
2.5激光场中三维氢分子离子(H2+)系统的经典动力学46 
2.5.1激光场中三维氢分子离子(H2+)的经典理论模型47 
2.5.2初态的选取与辛算法计算50 
2.5.3单色场中三维氢分子离子的动力学行为53 
2.5.4不同电离判据下氢分子离子动力学行为的异同56 
2.5.5双色激光场中三维氢分子离子的动力学行为56 
2.6推导约化质量举例60 
2.6.12粒子系统的约化质量60 
2.6.2具有C2v对称性的3粒子系统A2B的约化质量61 
2.6.3氢分子离子系统的约化质量64 
参考文献69 
第3章定态Schr"odinger方程的辛形式与辛算法72 
3.1一维定态Schr"odinger方程的辛形式72 
3.2一维定态Schr"odinger方程的辛\!--\!矩阵法74 
3.3一维定态Schr"odinger方程的辛\!--\!打靶法75 
3.4一维定态Schr"odinger方程连续态的保Wronskian算法83 
3.5二维定态Schr"odinger方程的辛\!--\!打靶法87 
3.6计算定态Schr"odinger方程分立态的虚时间演化法92 
参考文献102 
第4章含时Schr"odinger方程的辛算法计算104 
4.1量子系统是一个无穷维Hamilton系统104 
4.2基于完备基展开和伪分立态近似的辛算法105 
4.3含时Schr"odinger方程的空间辛离散------空间变量离散法117 
4.4强激光场中的一维模型原子------基于渐近边界条件的辛算法124 
参考文献136 
第5章立方非线性Schr"odinger方程的辛算法与Bose-Einstein凝聚的数值研究138 
5.1一维非线性Schr"odinger方程138 
5.2一维立方非线性Schr"odinger方程的辛算法计算148 
5.3一维立方非线性Schr"odinger方程的动力学性质152 
5.4Bose-Einstein凝聚体干涉效应的数值研究157 
5.4.1两个凝聚体的干涉158 
5.4.2三个凝聚体间的干涉162 
参考文献166 
第6章数值求解含时Schr"odinger方程的对称分裂算符-快速Fourier变换方法168 
6.1对称分裂算符\!-Fourier变换法168 
6.1.1二阶对称分裂算符法168 
6.1.2二阶对称分裂算符-Fourier变换方法170 
6.1.3Fourier积分的数值计算171 
6.2快速Fourier变换方法172 
6.3双色激光场中一维氢原子的高次谐波181 
参考文献186 
第7章Heisenberg方程的保等时交换关系-辛算法188 
参考文献191 
索引192 
致谢194 
《现代物理基础丛书》已出版书目196