《高精度解多维问题的外推法》是关于外推法在多维问题应用的专著。《高精度解多维问题的外推法》共10章，除阐述显式外推：Richardson外推与分裂外推在多维积分、有限元和有限差分的应用外，对于隐式外推：如基于多层网格法的τ外推、基于有限元内估计的局部有限元外推、稀疏网与组合技巧也有专章介绍。

第1章Richardson外推与分裂外推的算法分析
本章阐述Richardson外推与分裂外推算法原理、递推算法与后验误差估计。本章取材主要是Joyce(1971)、邓建中(1984)和吕涛等的专著(Liemetal，1995；吕涛等，1998)。
1.1多项式外推法
计算数学基本主题：对一个给定的连续问题(积分、积分方程、微分方程、积微方程等)先用网格步长h将其离散为代数问题，再借助计算机求出近似解。近似解T(h)的精度依赖于步长h，并且h越小，网格分割越细，T(h)的精度越高，而计算量则越大。在许多情形下，精确解a0不仅连续依赖于h>0：
（1.1.1）
而且存在与h无关的常数a1，a2    ；p1，p2    ，
使成立渐近展开式
(1.1.2)
对于光滑问题，展开式(1.1.2)经常是h的偶次幂；对于非光滑问题pi可能是分数，甚至出现形如h^pilnh的对数项。往后我们证明：含对数项的展开式也可以借助多项式外推法消去。
具有(1.1.2)的展开式的外推法称为多项式外推法(文献中把具有偶次幂展开式的外推法称为Romberg外推法)，它是Richardson外推法indexRichardson外推法的推广。1910年Richardson组合两个差分解：得到O(h^4)阶精度。Richardson称为h^2外推；Romberg在1955年利用Euler-Maclaurin求和公式导出了光滑函数积分的梯形求积公式的误差具有关于步长的偶次幂渐近展开式，Romberg的贡献是逐步使用Richardson-h^2i外推，i=1，2，    ，m，从而逐步消去渐近展开h^2，    ，h^2m等项，使得近似积分有越来越高的精度阶，由此建立了与数值积分中Gauss方法相媲美的求积方法：Romberg方法。然而Richardson和Romberg的贡献还在于外推法应用的普通性。事实上，当今计算数学的问题，几乎都可发现外推在提高精度方面奇迹般的效力。
1.1.1插值多项式与外推
如果近似有(1.1.2)的渐近展开，并且已有m+1个近似解T(hi)，i=0，
    ，m，linebreakh_0>h_1>    >hm>0，那么m次外推值Tm^(0)由线性方程组决定，这里Tm^(0)，a_1，    ，am是未知数，我们仅对求Tm^(0)有兴趣，展开式(1。1。2)表明Tm^(0)的精度为O(h_0^p_m+1)。
为了求出Tm^(0)，实际上并不需要解线性方程组(1。1。3)，而是寻求插值多项式，满足插值条件一旦得到插值多项式，f(0)=b_0=Tm^(0)就是我们需要的外推值。外推与插值多项式的这种关系，使我们可以应用插值多项式性质来研究外推算法。
为了简单起见，先讨论渐近展开为偶次幂情形。令x=h^2，相应的插值多项式问题成为求多项式满足插值条件
这个问题等价于求系数a0，    ，am满足线性方程
由于方程(1.1.6)的系数行列式是Vandermonde行列式，其值为，故插值多项式唯一存在。熟知，插值多项式有多种表达形式，每一种形式各有优点和缺点。
1)Lagrange插值公式
称为Lagrange插值基函数，有性质
Lagrange插值多项式的优点是插值多项式直接由插值条件(1.1.5)表达出来，
这有利于理论分析，但不利于实算，因为当改变结点和次数时，计算需从头开始。
2)Newton插值公式
Newton插值公式优点是当增加结点时，只需增加最后一项，而前面各项保持不变。Newton插值公式的另一个优点是容易推广到多元插值上，这在下面讨论分裂外推法index分裂外推法时用到。
3)Neville插值公式
Neville插值方法是递推算法：逐步由低次插值多项式构造出高次的插值多项式。下面引理表明Neville递推算法正确性。
那么，由(1.1.12)确定的pj^(i)(x)，按归纳假设(1.1.13)有
这就得到证明。
Neville插值算法可以按表1.1.1的那样生成，每增加一个新的插值点，
只增加最后一行元素的运算。
利用微分中值定理可以证明插值多项式的误差为
其中xi位于xi，    ，xi+m和x之间。
1.1.2多项式外推算法及其推广
既然外推值等于插值多项式在h=0的值，利用Neville插值公式(1.1.12)代入xi=h_i^2，立刻得到Romberg外推算法：
应用(1.1.14)可以得到Romberg外推indexRomberg外推的误差估计，
为此注意
类似，若T(h)的展开式为
在对应的插值多项式pm^(i)(x)中取x=0，并
令Tm^(i)=Pm^(i)(0)为a0的近似，
相应于展开式(1.1.16)的多项式外推法如下：
其误差为
如果T(h)具有更一般的渐近展开式
其中0具有高阶近似，但对一般网参数选择hi，
利用(1.1.17)不能作进一步外推，常用的参数选择是
有类似的递推算法：
下面用归纳法证明算法1。1。1的合理性。对于j=0，
由(1.1.19)知T0^(0)=T0(h_0)有渐近展开
这里aj^(j)，aj-1^(j)，    是与h0无关的常数，故
代入(1.1.21)中得
ak^(j+1)是与h0和i无关的常数，这就证明了算法1.1.1是逐步消去渐近展开项的过程，并且
对于展开式中含有h对数项情形，如在展开式中同时有h^p_1项和h^p_1lnh项，为了消去这两项仅需两次调用程序
现在证明如下：因为

第1章Richardson外推与分裂外推的算法分析1
1.1多项式外推法1
1.1.1插值多项式与外推2
1.1.2多项式外推算法及其推广4
1.1.3外推系数与外推算法的稳定性和收敛性7
1.1.4后验误差估计12
1.2分裂外推法15
1.2.1多变量渐近展开16
1.2.2分裂外推的通推算法18
1.2.3分裂外推的组合系数计算21
1.2.4分裂外推算法的稳定性分析22
1.2.5分裂外推的后验误差估计28
1.2.6分数军展开式与逐步齐次分裂外推消去法30
第2章推广Euler-Maclaurin求和公式与一维超奇积分的外推37
2.1经典Euler-Maclaurin和公式与外推37
2.1.1梯形公式的Euler-Maclaurin渐近展开37
2.1.2带偏差的梯形公式的Euler-Maclaurin渐近展开41
2.2 基于Mellin变换的Euler-Maclaurin展开式在奇异与弱奇异积分的应用45
2.2.1Riemann-Zeta函数46
2.2.2Mellin变换及其逆变换47
2.2.3弱奇异积分的Euler-Maclaurin展开式48
2.2.4带参数的弱奇异积分的Euler-Maclaurin展开式53
2.2.5带参数的奇异积分的Euler-Maclaurin展开式56
2.3超奇积分的Euler-Maclaurin展开式及其外推59
2.3.1超奇积分的Hadamard有限部分及其性质60
2.3.2超奇积分的Mellin变换63
2.3.3在[0，∞)区间上的超奇积分的Euler-Maclaurin展开式63
2.3.4有限区间上的奇异和超奇积分的Euler-Maclaurin展开式65
2.3.5有任意代数端点奇性函数的积分及其Euler-Maclaurin展开式69
2.4带参数的超奇积分的数值方法及其渐近展开71
2.4.1带参数的超奇积分的推广Euler-Maclaurin渐近展开71
2.4.2超奇积分的推广Romberg外推78
2.5变数替换方法与收敛的加速84
2.5.1sinn变换方法84
2.5.2双军变换方法87
2.5.3反常积分的变换方法88
第3章多维积分的Euler-Maclaurin展开式与分裂外推算法90
3.1多维积分的Euler-Maclaurin展开式91
3.1.1多维偏矩形积分公式与多参数Euler-Maclaurin展开式91
3.1.2分裂外推法及其通推算法93
3.1.3变换方法与收敛加速97
3.2多维弱奇异积分的数值算法——变量替换法98
3.2.1面型弱奇异积分98
3.2.2多维弱奇异积分的Du.y转换法100
3.3多维弱奇异积分的分裂外推法102
3.3.1正方体上的多维弱奇异积分的多变量渐近展开式102
3.3.2多维单纯形区域上的积分106
3.3.3多维曲边区域上的积分111
3.3.4多维弱奇异积分的分裂外推法的数值试验113
3.4多维齐次函数的弱奇异积分的外推法114
3.4.1多维积分的单参数渐近展开115
3.4.2多维齐次函数的定义与积方法116
3.4.3齐次弱奇异函数的近似积与渐近展开118
3.4.4积分变换与收敛加速122
3.4.5算例126
3.5曲面上积分的高精度算法130
3.5.1转换曲面积分到球面积分130
3.5.2球面数值积分与Atkinson变换131
3.5.3光滑积分的算例138
3.5.4奇点的处理139
3.5.5奇异积分的算例142
3.5.6Sidi变换与曲面积分的加速收敛方法144
3.5.7Sidi方法的进一步改善149
3.6奇点在区域内部的多维弱奇积分的分裂外推152
3.6.1多维位势型积分与Du.y变换方法152
3.6.2奇点在原点的多维弱奇异积分的多参数渐近展开154
3.6.3奇点在任意内点的多维弱奇异积分的多参数渐近展开156
第4章基于三角剖分的有限元外推法159
4.1变系数椭圆型偏微分方程的线性有限元近似的外推159
4.1.1三角形区域上积分的积方法与误差的渐近展开160
4.1.2二阶椭圆型偏微分方程的有限元近似168
4.1.3分片一致剖分下的线性有限元近似的误差与渐近展开170
4.2二次有限元近似解的渐近展开与外推179
4.2.1Poisson方程的Dirichlet问题的二次有限元解与外推179
4.2.2辅助引理及其证明180
4.2.3定理4.2.1的证明183
4.2.4渐近后验估计与算例189
4.3一类拟线性椭圆型偏微分方程有限元近似的渐近展开与外推190
4.3.1一类拟线性椭圆型偏微分方程有限元近似的L∞范数估计190
4.3.2一类拟线性椭圆型偏微分方程的有限元误差的渐近展开与外推193
第5章椭圆型偏微分方程的等参多线性的有限元分裂外推算法195
5.1二阶椭圆型方程的有限元近似与分裂外推196
5.1.1线性椭圆型偏微分方程的Dirichlet问题及其有限元近似196
5.1.2线性问题有限元误差的多参数渐近展开197
5.1.3全局细网格点的高精度算法205
5.1.4算例208

5.2特征值问题的有限元近似与分裂外推212
5.2.1问题的提出212
5.2.2特征值问题的有限元误差的多参数渐近展开213
5.2.3算例216
5.3拟线性椭圆型偏微分方程的有限元误差的多参数渐近展开217
5.3.1一类拟线性椭圆型偏微分方程的有限元方法及其误差的多参数渐近展开217
5.3.2算例221
第6章基于区域分解的多二次等参有限元分裂外推方法223
6.1二阶椭圆型偏微分方程组的多二次等参有限元的分裂外推方法223
6.1.1二阶椭圆型方程组及其有限元近似方程223
6.1.2Hermite二次内插与相关的积公式225
6.1.3有限元误差的多参数渐近展开230
6.1.4算法和算例234
6.2 拟线性二阶椭圆型偏微分方程的多二次等参有限元的分裂外推方法237
6.2.1拟线性二阶椭圆型方程的多二次等参有限元方法237
6.2.2d二次等参有限元误差的多参数渐近展开239
6.2.3分裂外推与后验估计246
6.2.4算例248
6.3抛物型偏微分方程的多二次等参有限元的分裂外推方法250
6.3.1二阶线性抛物型偏微分方程的多二次等参有限元法250
6.3.2半离散等参多二次有限元误差的多参数渐近展开253
6.3.3全离散等参多二次有限元误差的多参数渐近展开259
6.3.4全离散有限元解的分裂外推法与后验误差估计260
6.3.5算例261
6.4二阶线性双曲型偏微分方程的多二次等参有限元的分裂外推方法264
6.4.1二阶线性双曲型偏微分方程及其离散方法264
6.4.2半离散有限元误差的多参数渐近展开266
6.4.3全离散有限元误差的多参数渐近展开269
6.4.4全局细网格的分裂外推算法与算例273
第7章有限差分法的高精度外推与校正法278
7.1差分方程近似解的分裂外推算法278
7.1.1差分方程的构造与离散极大值原理278
7.1.2光滑边界区域上差分近似解的误差的多参数渐近展开284
7.1.3长方体上差分近似解的误差的多参数渐近展开292
7.1.4算例298
7.2两点边值问题的差分方程解的高精度校正法302
7.2.1一维问题的高精度差分格式302
7.2.2Sturm-Liouville特征值问题的四阶差分法304
7.2.3拟线性两点边值问题的四阶差分法309
7.3多维椭圆型微分方程的高精度校正法311
7.3.1二维Laplace算子的差分格式311
7.3.2二维半线性问题的高精度校正法313

7.3.3二维特征值问题的高精度校正法314
7.3.4二维变系数散度型椭圆型偏微分方程的高精度校正法318
7.3.5二维变系数散度型椭圆型偏微分方程的特征值问题的高精度校正法323
7.3.6二维拟线性散度型椭圆型偏微分方程的高精度校正法324
7.3.7多维散度型椭圆型偏微分方程的高精度校正法328
7.3.8算例331
7.4L形区域特征值问题的高精度校正法332
7.4.1L形区域特征值问题333
7.4.2L形区域特征值问题的九点差分格式与特征值估计335
7.4.3L形区域特征值问题的校正方法337
7.5基于Laplace反演的发展方程的高精度校正方法338
7.5.1Laplace变换及其数值反演338
7.5.2基于Zakian反演的双曲型方程的高精度校正方法339
7.5.3基于Zakian反演的一类Volterra型积微方程的高精度校正方法341
7.6有限体积法及其分裂外推342
7.6.1数值解二阶椭圆型偏微分方程的有限体积法342
7.6.2有限体积法的分裂外推算例343
第8章基于多网格的τ外推法346
8.1二网格法的τ外推346
8.1.1多网格法的基本思想346
8.1.2二网格的算法348
8.1.3二层网格算法的磨光性质与逼近性质350
8.1.4二层网格算法的收敛性证明351
8.1.5二网格迭代的磨光性质的证明352
8.1.6二网格迭代的逼近性质的证明354
8.1.7二网格迭代的τ外推357
8.2多层网格法的τ外推359
8.2.1三网格的V-循环算法359
8.2.2三网格算法的收敛性证明361
8.2.3辅助定理及其证明362
8.2.4一类新的磨光过程365
8.2.5τ外推的高精度证明367
8.2.6算例368
第9章基于内估计的有限元外推370
9.1有限元的内估计370
9.1.1有限元的负范数估计370
9.1.2有限元子空间的内估计性质373
9.1.3有限元误差的局部渐近展开不等式375
9.2基于内估计的一类非标准的有限元外推377
9.2.1相似子空间的定义377
9.2.2常系数二阶椭圆型偏微分方程的局部有限元外推377
9.2.3变系数二阶椭圆型偏微分方程的局部有限元外推383
9.3局部相似子空间的构造387
9.3.1一般描述387
9.3.2平面三角形单元的嵌套子空间388
9.3.3平面矩形元与三维元的子空间390
9.4对特殊边值问题的应用390
9.4.1对Neumann问题的应用390
9.4.2对Dirichlet边值问题的应用391
第10章稀疏网格法与组合技巧394
10.1稀疏网格法394
10.1.1有限元空间的多水平分裂394
10.1.2二维稀疏网397
10.1.3高维稀疏网400
10.1.4稀疏网上的有限元方法402
10.2组合技巧403
10.2.1二维稀疏网组合技巧的分裂形式404
10.2.2二维稀疏网组合技巧的一般形式405
10.2.3三维组合技巧407
10.2.4满网格与稀疏组合网格的数值比较411
10.2.5组合技巧、分裂外推和稀疏网方法的数值结果比较414
10.3多维矩形积公式的组合方法419
10.3.1多元乘积型矩形积公式419
10.3.2组合方法.421
10.3.3算例423
评注425
参考文献431
后记439
索引440
丛书442