第1章 材料应力应变曲线格式化算式的原理和应用
将各种材料的应力应变曲线格式化成为量纲为一的二项式函数曲线，就能将原来只用于胡克(Hooke)定律的比例定律概念加以扩充，使胡克定律延伸到材料的比例极限以上，展现为弹性模量定律、割线模量定律、切线模量定律和用割线模量定律与切线模量定律合建起来的折算模量定律;并建立这四个定律之间的、以弹性模量定律为比较对象的三个新的比例定律，并通过这三个新的比例定律将建立在胡克定律基础上的各种线性理论直接转换为在实际应力应变曲线上的非线性的理论。这种用说明材料应力应变曲线自身本构关系的函数来说明固体力学中的线性理论和非线性理论关系的做法，彻底地消除了建立非线性理论工作中的麻烦与困难。
此外，采用解析函数来表达材料自身的本构关系，就能将用胡克定律计算出的各种各样的线性理论应力汇集在一起，共存于一种统一的格式化的算式中，构成一种强度稳定综合理论新体系。这个新体系具有高度的学术和实用价值。
1.1材料应力应变曲线的格式化算式
1.1.1割线模量定律的格式化算式的拟定
用材料试件和实验方法测定出的材料应力应变实验曲线显示了弹性体内应力发展变化的规律。比例极限σP将该实验曲线分为线性和非线性两部分，弹性模量E将应力σ和应变ε之间的线性函数关系显示为胡克定律
因为弹性模量E是常数σ与ε成正比，所以式(111)常被称为比例定律。
非线性部分用Es=σ/ε将应力和应变的函数关系显示为割线模量定律
在材料的应力应变实验曲线上有屈服极限σs。为了便于说明和应用材料应力应变实验曲线的上述规律性，用一个近似等于材料屈服极限σs的应力常量σ。和弹性模量E将材料应力σ和应变ε格式化为量纲为一的数
这两个量纲为一的数使胡克定律在图1.1.1中的坐标系(y=σ，=ε)中简化为
将此定律的使用范围向比例极限以上延伸，就得到弹性模量定律
式中，角标L显示弹性模量定律与胡克定律的区别。
材料应力应变曲线的这种格式化使割线模量定律展示为
应力应变曲线上的任意C点的两个坐标y=σ，=ε的比值E=σ/是材料割线模量的量纲为一的数。在以Es为纵坐标、以σ为横坐标的图1.1.2中，利用材料应力应变曲线上的割线模量Es与应力σ的对应数据，绘出了曲线PCS。割线模量定律可用通过此曲线上C点处的直线。C的斜率表示为
在比例极限点P和屈服极限点S的连接直线PS上选出一点C1，使C1点的纵坐标与C点的纵坐标Es相等，将C1点的横坐标记为σ，则参数m就能用C1和C两点之间的应力数值来确定。
直线OC1的斜率为
参数C的数值就显示了用C点确定的直线。C与用C1点确定的直线。C1的两个斜率s与之间的几何关系。用直线PS为斜边的直角三角形的几何关系能确定C1点的纵坐标值为
从上面的两个算式得出C1点的横坐标值为
式(1.1.10)是用直线QC1的斜率c为自变量的直线PS的数学表达式。
利用c和m这两个显示C1点和C点的对应坐标之间关系的参数，就得到曲
线(
PCS上C点的横坐标σ的数学表达式
这是用s为自变量c和m为参变量来显示C点应力σ的二项式函数。在此函数中用待定值A取代二项式函数中的第一项σ，用待定值B取代二项式函数中
的第二项中的[σs(σsσP)]，就得到以c，s为自变量和用四个参变量A，B，c，m表示曲线(的二项式函数
式中，四个参变量(A，B，c，m)的任何一种组合都显示一条具体的曲线。所以此二项式函数是一个曲线族方程。
曲线(与直线PS有两个共同的端点P和S，它们是此曲线族方程中的两条曲线。
用S点的坐标值就能确定
用P点的坐标值就能确定
(1)若取m=1.0，曲线族方程就变形为
(2)再取c=1.0，则此曲线族方程中就有
曲线族方程就再变为
从图1.1.2中可以看出，使C点和C1点重合于直线PS上的C2点，就有坐标C1点纵坐标值的表达式(1.1.10)就成为算式(1.1.1u)。所以直线PS是用c=1.0和m=1.0两个具体的数值从(曲线族中得到的一条直线。显然，若c和m取用其他的组合数值，则(曲线就不会是直线PS。
(3)若取A=0，B=c=1.0，m=1.0，则得到，
这是比例极限以下的割线模量定律，即胡克定律。
以上的分析说明，显示曲线的二项式函数是割线模量定律的格式化算式，它能描述割线模量定律曲线的各种形状。
1.1.2割线模量定律的格式化算式中常数的取值
割线模量定律σ=Esê的格式化算式数A和B已经在前面用曲线(的两个端点S和P处的坐标值确定为
式(1.1.20)是在割线模量定律的格式化算式中取
而得到的表达胡克定律的一个算式。
以上情况说明割线模量定律的格式化算式(1.1.12)能适应材料应力应变曲
线的各种形状。为便于其应用，将该式称为PL(c，m)s算式，这个名称中的几个字母有以下含义:
(1)PL两个字母说明比例极限σ(roortionallimit)是材料应力应变曲线上的一个特征点，它将应力应变曲线分割为线性和非线性两部分。线性部分在σ>σP区域，取用材料常数:A=0，B=c=1.0，m=1.0，Es=E=1.0，就得到胡克定律。非线性部分在σ二σ区域，用材料常数A，B，c，m来显示非线性部分曲PCS的几何形状。
(2)s表示此式是割线模量定律的格式化算式，式中采用的自变量是割线模量定律中的φ=1/。式中的材料常数是割线模量定律的常数。
1.1.3割线模量定律的格式化算式的一阶导数与应用
割线模量定律的格式化算式PL(c，m)s有一阶导数(切线模量)
式(1.1.22)又可用应力σ为变量表示为
在比例极限σ
处应该有连续的一阶导数Et=E=1.0，即
用此条件得出
将式(1.1.25)整理成
这是σ，，c和m之间的又一个几何关系。在图中取c=1.0，绘出了这种几何关系曲线。
(1)在c=1.0时，用此几何关系可得到确定PL(1，m)s算式中参数m的条件
(2)在m=1.0时，可得到确定PL(c，1)s算式中参数c的条件
以上的分析说明，在比例极限σ
处取用条件Et=E=1.0，就使胡克定律及其
延长线(弹性模量定律)成为割线模量定律曲线的切线。这是PL(c，m)s算式的一个十分重要的属性，在确定PL(c，m)s算式的四个常数时应该充分利用。PL(c，m)s算式(1.1.12)又可写为
这个对数方程说明，可根据曲线上每个点的坐标(工=ε，y=σ)，在初选σ，和m的条件下，用统计方法求得与它们相匹配的常数c。
在应力应变曲线上用两个互相对应的应变ε=ε=1.0与应力σ可从式(1.1.2d)得到一个等式
式(1.1.δ0)说明c和m的相互关系能用三个已知应力σ，，
(1.1.δ0)
来确定。
T式(1.1.δ0)与式(1.1.2)的差值为(m)，则
在此方程中只有一个待定值m，用σ，三个已知应力就可确定m。再用
此m值和式(1.1.2)确定c。
上述分析说明，用三个已知应力σ，，
和比例极限σ
处有连续的一阶导
数Et=Es=1.0共四个条件完全确定了常数A，B，c，m。
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