自然界中存在许多迷人的图形，小至一个分子，大至整个宇宙，你都可以发现无处不在的数学结构和神 奇的数学之美。
斑马的条纹是如何形成的？
天体的运行轨道为什么呈椭圆形？
蜂窝的结构为什么是六边形？
雪花的形状是如何产生的？
本书从一个简单常见的问题入手——雪花的形状是如何产生的，探讨这种既规则又不规则的图形为何会存在。石榴、海星、花瓣中也隐藏着形形色 色的图形，在这些图形背后，是主宰着自然甚至整个宇宙的数学法则。
数学可以帮助我们理解这些形态各异又令人着迷的图形，隐藏在这些图形中的数学原理也是人类社会科学研究和技术发展的基础。我们可以用数学解释自然界中的法则，这些法则也可以为我们所用，帮助我们理解自然、社会和人类自身。
第1 章
雪花是什么形状的？
雪花是什么形状的？一片雪花静静地躺在我的衣袖上，在街灯的照射下微微闪着光。天空中还有一片片一碰就碎的雪花，轻轻地飘落下来。天气非常寒冷，但这正合我意，因为这样我就可以在雪花融化之前，认真地观察它们的形状了。但我的两只耳朵已经冻得有点儿麻木了。
单凭肉眼也可以看出我衣袖上的这片雪花呈现出一个明显的形状，而不是毫无规律的一团。我专门买了一个放大镜，在它下面，这片雪花绽放出一种摄人心魄的美。它看起来就像用洁净的水晶制成的蕨草，更准确地说，它像是由六棵根部相连、形态一致的蕨草组成的。规律性与随意性、有序与无序、图形与无意的随性集中在这片雪花上，形成了一个奇怪的混合体。它呈现出堪称完美的六方对称，六个部分的形状一模一样，而这种形状从未出现在欧几里得几何中。这不是一种毫无规律的形状，但是你也无法在任何词典中找到这种形状的名称。
你可以找到“树枝晶体”（dendrite）这个词，但是科学家用这个词指代某一类形状，而不是某一个具体的形状。这个词来源于希腊语中表示“树”的词。树是什么形状？答案是：树形。但是，雪花不是树，不是蕨草，也不是羽毛。
雪花就是雪花，它的形状呈雪花形。
接着，又一片雪花飘落下来。这片雪花也是六方对称的形状，神奇的是，它与蕨草的形状有所区别，与第一片雪花不太一样。看起来，“雪花形”这个表达会导致一个问题。据说，任何两片雪花的形状都不会完全相同。但是，作为一名专业从事数学研究的人，我可能会认为这句话要么毫无价值，要么有些夸张。如果深入研究，自然界中任何两个事物都会有所不同。或许，你可以找到两个一模一样的电子，但我认为这种可能性也不大。如果仅考虑低倍放大镜下可以观察到的差异，考虑到地球40亿年历史中曾经飘落下来的不计其数的雪花，那么在某时某地出现两片完全相同的雪花应该是可能的吧？但是，如果计算一下可能性，你就会发现答案未必那么肯定。假设我的眼睛可以分辨100个细微特征，每片雪花可能具备也可能不具备这些特征，那么一共可以形成1030种不同的形状。可见，无论如何，我都难以在这么多片不同形状的雪花中找出完全相同的两片来。
同大多数人一样，我从可以看懂百科全书的时候起，就对雪花的形状有所了解。但在这之前，我只是在书本上看过雪花的照片，或偶尔看过真实的雪花。这天晚上，我第一次掏出放大镜认真观察。我惊奇地发现，百科全书说得不错，这些雪花有点儿像蕨类植物的叶子，轮廓呈清晰的六角形。在数学家的眼中，它们就是典型的六角形。有的雪花是标准的六角形，六条线都是直线，因此它们具有相同的形状。我想，那句形容雪花形状千变万化的经典说辞要么是没有把这些雪花包含进去，要么本身就是一种诗意的破格。但其他雪花怕是只能算作与六角形相差几个辈分的远亲了，而这正是我要研究的对象。
雪花这样的形状到底是如何形成的呢？整个过程非常神秘。但是，站在这个寒冷彻骨的冬夜里，我清楚地知道它肯定与冰有关。雪花是由冰形成的，所以这个过程肯定与冰有关。
我用冰箱制成的冰都是方块状的。当然，我们虽然称之为方块，但实际上它们只是大致呈现出方块的形状。它们没有变成六角形，也不像羽毛状的蕨类植物的叶片。而且，这些冰都是用模具制成的。只要买到合适的模具，你可以制成满满一冰箱的泰迪熊状或六边形冰块，但这样做其实是在自欺欺人。云层上方是没有制作雪花的专用模具的。在那里，冰在没有人干预的情况下聚集到一起，呈现出了某种图形。但是，无论云层上方发生了什么，都肯定与冰有着某种关系。
杰克冻人
小时候，我的卧室窗户内侧玻璃上的杰克冻人a——因为结冰而形成的羽毛状和树叶状图案，是冰雪留给我的最早记忆之一。
我家住的是带飘窗的房子，位于联排住宅的末端。冬天，我们用煤炭取暖。到了晚上，炉火逐渐变弱，最终熄灭。空气中的水遇到冰冷的窗户就会冷凝，到了深夜还会结冰。因此，每天早晨，窗玻璃上就会布满树叶状的冰，给人一种置身卢梭b笔下超现实丛林的感觉。
当然，那时候的我肯定不会有这种感觉。但是这些冰真的很好看，也令我困惑不已。现代家庭大多采用中央供暖系统，因此我们不大可能在窗户上看到这样的冰。但是，如果在结冰的天气里将车停在户外，第二天你就可以看到车窗，甚至整个车身上都有这样的图案。看来，在不受干扰时，冰很容易形成这种树叶状的图案，而它需要的条件就是寒冷。但是，云层中没有窗户，雪花又是怎样形成的呢？而且，窗玻璃上的杰克冻人也不是六角形，而是一堆乱蓬蓬的树叶状图案。然而，我们仍可以从这些树叶状的冰开始研究，这似乎是一个好主意。下面我们来看看它们到底是如何形成的。
冰可以形成各种各样的形状。即使在天上的云层中，也有针状、管状和三角形（尽管比较少见）的冰，更不用说金字塔形、子弹形和冠柱形的冰块了。此外，云层中还可以形成冰雹。竟然还有冰雹！几年前，我们曾经在明尼阿波利斯遭遇过一次冰雹。下午三四点钟的时候，天突然变得阴沉沉的，仿佛午夜提前降临了。高尔夫球大小的冰雹从天而降，在汽车上砸出了坑，吓得路人四处奔逃。冰雹的重量，再加上大风的作用，把大树连根拔起。那次冰雹发生在春天。当明尼苏达州进入漫长的冬季之后，你会发现各种形态的冰——雪堆、冰柱……明尼苏达州有很多湖，每到冬天都是一幅冰天雪地的景象。
冰是什么？冰是冻结的水。那么，水是什么？化学课本告诉我们，水分子非常简单，包含两个氢原子和一个氧原子。但是，这种简单成分具有欺骗性，因为水是最微妙、最难以理解的液体之一。水可以溶解非常多的化学物质，是生命体的一个重要组成成分。
我经常想，广袤宇宙的深处肯定有其他形式的生命。它们是由不同的物质构成的，但是从复杂程度、自组织等更深层次的特征来看，它们与地球生命有着相似之处。外星生命可能不会把遗传信息储存在DNA（脱氧核糖核酸）编码中，它们可能不是由碳构成的，可能不需要水，可能不需要星体、大气，它们甚至可能不是由物质构成的（比如，我们可以假设某种生命形式是由某颗恒星表面上纵横交错的磁旋涡构成的）。但是，在我们发现这些生命体之前（也可能除我们之外，再也没有其他生命体了），我们目前知道的生命形式都严重依赖水的特性。
也正是出于这个原因，美国国家航空航天局对木星的卫星木卫二产生了兴趣。木卫二的表面覆盖着半英里a厚的冰层，似乎并不适宜生命的存活。但是，有确凿证据表明，木卫二的冰层下方有大量液态水，深度超过60英里。也就是说，木卫二上的水比地球表面全部海洋的储水量还要多。由于受到木星潮汐力的反复作用，木卫二星核的温度比较高，所以可以提供能量。地球最大的湖之一——沃斯托克湖，位于南极冰层下大约2英里深。我们知道沃斯托克湖水中有细菌，那么木卫二的冰层下为什么不能有细菌存在呢？
水是一种独特的化学物质，除了液态以外，它还可以变成气态（蒸汽）和固态（冰）。只有气态的水看起来比较简单。
前 言
第一部分 图形的原理
第1章 雪花是什么形状的？ 002
第2章 自然界中的图形 011
第3章 宇宙中的图形 033
第二部分 图形中的数学世界
第4章 一维世界的图形 050
第5章 镜像对称 065
第6章 旋转对称 084
第7章 镶嵌图形 103
第8章 斑点与条纹 125
第9章 三维世界的图形 150
第10章 缩放与螺旋 175
第11章 时间的对称性 194
第三部分 简单与复杂的图形
第12章 复杂性和突变 220
第13章 大自然中的分形 239
第14章 混沌中的秩序 260
第15章 自然法则的秘密 292
第16章 答案终于揭晓了！ 316
斯图尔特对当代数学的介绍精准到位，信息量丰富，达到了众多数学科普作家梦寐以求的高度。
——《自然》
斯图尔特拥有敏锐的历史感，在介绍数学概念时善于借助类比，旁征博引，很少有数学家可与之媲美。
——《新科学家》
斯图尔特的语言清晰易懂……
——《书单》
斯图尔特是一位伟大且多产的数学科普作家。
——《泰晤士报》