文摘
第一部分算术
2014年GCT复习指南数学
第一章算术
第一章算术〖1〗
第一节数的概念、 性质和运算
1.自然数和整数
我们在数物体的时候， 用来表示物体个数的1， 2， 3， …叫做自然数。 一个物体也没有， 用0表示。 0也是自然数， 自然数是整数。
2.分数和百分数
将单位 “1” 平均分成若干份， 表示这样的一份或几份的数叫做分数。 表示其中一份的数是这个分数的单位。 分数有真分数、 假分数、 带分数等。 把 “1” 平均分成多少份的数， 称为分数的分母； 表示取了多少份的数， 称为分数的分子。
分子比分母小的分数称为真分数。 如12、 34。
分子比分母大或者分子、 分母相等的分数称为假分数。 如 43、 65、 22。
一个整数和一个真分数合成的数， 称为带分数。 如 213、 425。
两个自然数相除， 它的商可以用分数表示。 如a/b=ab(b≠0)。
两个数的比， 也可用分数表示。 如a∶b=ab(b≠0)。
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。 百分数也叫百分率或者百分比。 百分数通常用 “%” 来表示。
3.小数
把整数 “1” 平均分成10份， 100份， 1000份， …， 这样的一份或几份是十分之几， 百分之几， 千分之几， …， 它们可以用小数表示， 小数分为有限小数、 无限小数、 循环小数等。 小数的末尾添上 “0” 或者去掉 “0”， 小数的大小不变。 循环小数是指一个小数的小数部分从某一位起， 一个数字或者几个数字依次不断地重复出现， 这样的依次不断重复出现的数字， 称为这个循环小数的循环节。
4.数的整除
在整数除法中， 当整数a除以整数b(b≠0)， 除得的商正好是整数而无余数时， 则称a能被b整除或称b能整除a。 当a能被b整除时， 也称a是b的倍数。 b是a的约数。 能被2整除的数称为偶数， 通常也称为双数。 不能被2整除的数称为奇数， 通常也称为单数。
一个数的约数的个数是有限的， 其中最小的约数是1， 最大的约数是它本身； 一个数的倍数的个数是无限的， 其中最小的倍数是它本身。 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数， 所有公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 几个数公有的约数叫做这几个数的公约数， 所有公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
一个数只有1和它本身两个约数， 叫做质数 (素数)。 一个数， 如果除了1和它本身， 还有其他约数， 叫做合数。 公约数只有1的两个数， 叫做互质 (素) 数。 分子与分母互质的分数称为最简分数。
分数的分子和分母都乘以或者都除以相同的数 (零除外)， 分数的大小不变。
5.数的四则运算
(1) 加法
把两个数合并成一个数的运算称做加法。 数的加法运算满足交换律和结合律， 即
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
(2) 减法
已知两个数的和与其中的一个加数， 求另一个加数的运算， 叫做减法， 减法是加法的逆运算。
(3) 乘法
求几个相同加数的和的简便运算， 叫做乘法。 相乘的两个数叫做因数， 乘得的数叫做积， 数的乘法满足交换律、 结合律和分配律， 即有
a×b=b×a, (a×b)×c=a×(b×c)
(a+b)×c=a×c+b×c
(4) 除法
已知两个因数的积与其中一个非零因数， 求另一个因数的运算， 叫做除法。 已知的积叫做被除数， 已知的一个非零因数叫做除数， 求出的未知因数叫做商。
(5) 运算定律
①加法交换律
a+b=b+a
②加法结合律
a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
③乘法交换律
a×b=b×a
④乘法结合律
a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)
⑤乘法分配律
a×(b+c)=a×b+a×c
(a-b)×c=a×c-b×c
(6) 运算性质
①交换性质
a+b-c=a-c+b; a-b-c=a-c-b
a×b÷c=a÷c×b; a÷b÷c=a÷c÷b(b≠0, c≠0)
② 结合性质
a+b-c=a+(b-c)=a-(c-b)
a-b-c=a-(b+c)
a×b÷c=a×(b÷c)(c≠0)
a÷b×c=a÷(b÷c)(b≠0, c≠0)
a÷b÷c=a÷(b×c)(b≠0, c≠0)
(7) 四则混合运算
在四则运算中， 加法和减法叫做第一级运算， 乘法和除法叫做第二级运算， 在一个没有括号的算式中， 如果只含有同一级运算， 要从左往右依次计算； 如果含有两级运算， 要先做第二级运算， 后做第一级运算， 在一个有括号的算式中， 要先算小括号里面的， 再算中括号里面的， 等等。
第二节比和比例
1. 比
两个数a与b相除称为a与b的比， 记为a∶b。 a∶b= ab， a为比的前项， b为比的后项， ab 为比值。
2. 比的性质
(1) a∶b=ka=kb
(2) a∶b=ma∶mb(m≠0)
3. 比例
两个相等的比称为比例， 记为a∶b=c∶d， a, d称为比例的外项， b, c称为比例的内项， 也记为 ab=cd。
4. 比例的基本性质
(1) a∶b=c∶dad=bc
(2) a∶b=c∶dd∶b=c∶aa∶c=b∶d
(3) ab=cda+bb=c+dda－bb=c－dd a+ba－b=c+dc－d
(4) 若 aa1=bb1=cc1， 即a∶b∶c=a1∶b1∶c1， 则
a+b+ca1+b1+c1=aa1=bb1=cc1
5. 正比例与反比例
若y=kx(k≠0, k为常数)， 则称y与x成正比， k为比例系数。
若y=kx (k≠0， k为常数)， 则称y与x成反比， k为比例系数。
第三节典型例题精解
例1若ab=20, bc=10， 则
a+bb+c的值为 （）。
（A） 1121（B） 2111（C）
11021（D） 21011
答案： （D）
分析： 因为ab=20, bc=10， 可用特值代入， 设a=200， b=10， c=1， 则a+bb+c=21011。
例2设A, B两车分别从甲、 乙两地同时出发， 沿同一公路相向匀速行驶， 两车第一次相遇于距甲地20公里处仍继续前行， 当分别到达乙、 甲两地后立即按原速原路返回， 途中第二次相遇于距乙地10公里处， 则甲、 乙两地相距 （） 公里。
（A） 35（B） 40（C） 45（D） 50
答案： （D）
分析： 设甲、 乙两地相距S公里， A从甲到乙， B从乙到甲。
第一次相遇时A行走的路程为20公里， B行走的路程为 (S-20) 公里，
第二次相遇时A行走的路程为 (S+10) 公里， B行走的路程为 (2S-10） 公里，
它们两次相遇共走了3个全程， 因为走3个全程的时间相同， 故3个全程的距离差是1个全程距离差的3倍， 因此
(2S-10)-(S+10)=3［(S-20)-20］， 所以S=50公里。
例3某股民用30000元买进甲、 乙两种股票。 在甲股票下跌10%， 乙股票升值8%时全部卖出， 赚得1500元， 则该股民原来购买的甲、 乙两种股票所用钱数的比例为 （）。
（A） 2∶3（B） 3∶2（C） 1∶5（D） 5∶1
答案： （C）
分析： 设该股民原来购买的甲、 乙两种股票所用钱数分别为a∶b，
所以有
a+b=30000
0.9a+1.08b=31500， 解得a=5000， b=25000， a∶b=1∶5。
例4已知a、 b、 c是三个正整数， 且a＞b＞c， 若a、 b、 c的算术平均值为 143， 几何平均值是4， 且b、 c之积恰为a， 则a、 b、 c的值依次为 ()。
(A) 8， 4， 2 (B) 6， 5， 3 (C) 12， 6， 2 (D) 4， 2， 8
答案： (A)
分析： 根据已知条件求解下列方程组
a+b+c3=1433abc=4a=bc解得 a=8b=4c=2或 a=8b=2c=4
但因已知a＞b＞c， 故舍去后一组， 故正确答案为 (A)。
例5把 25 的分子加上4， 要使分数大小不变， 分母则应变为 ()。
(A) 5 (B) 9 (C) 10 (D) 15
答案： (D)
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