第 1章 CopulA理论基础
CopulA函数的出现不仅将风险分析和多变量时间序列分析推向了一个新阶段，而且使得金融风险度量方法有了新的突破，即 CopulA可测度非椭球分布型分布（极端事件函数的分布）的风险，也可以准确地描述多变量分布的相关性。本章对 CopulA函数的定义与性质、CopulA相关性测度以及几种常用的 CopulA函数及 CopulA函数族进行了系统介绍。
1.1 CopulA函数的定义与性质
1.1.1 CopulA函数的定义与SklAr定理
1）CopulA函数的定义
Nelsen[1]给出了 N元 CopulA函数的严格数学定义。
定义 1-1 N元 CopulA函数是指具有以下性质的函数 C：
（1） . N [0,1] N，即函数 C的定义域为 IN .[0,1] N
CI.；
（2）C对它的每一个变量都是单调递增的；
（3）C的边缘分布Cu满足Cu() . C(1, ,1, u,1, ,1) . u，u.[0,1],
() 其中，
nnnn nn
n.[1, N] 。显然，若 F(), , FN() .是一元分布函数，令 u. Fx() 是一随机变量，则
1n nn
CFx ( (), F x n), Fx ( )) 是一个具有边缘分布函数 F(), , N()
. n( .N 1F .的多元分布
CoN(,) 函数。1特1别地,，二元,pulA函数C满足以下条件：
C的定义域为 2 . 0,1
（1） (,) I 0,1 . ；
（2） (,)
C有零基面，并且是二维递增的；
0,1 C1, v
（3）对任意变量 uv, ，满足Cu,1 u和 . v。假设F. x.、G. y.是一元分布函数，并且是连续的，令 ， .，
uFxvGy 则u、v都服从.0,1.区间上的均匀分布，换句话说， Cuv 是一个边际分布服从 .0,1.区间上的均匀分布的二元分布函数，并且对于定义域内,的任何一点 .uv. ，都
,有0 . , . ≤1 成立。
≤Cuv
CopulA函数的存在性和唯一性由 SklAr定理保证。
2）SklAr定理[2]
SklAr定理令 F为具有边缘分布 F(), , N() .的联合分布函数，那么，存在
1F 一个 CopulA函数 C，满足 Fx(, , x,, x) . ((), , ( ., Fx ))
CFx .Fx ), ( （1-1）
n nn NN
若F(), , N() ，则C唯一确定；1反1之，若NF(), , N()
F .连续11F .为一元分布，那么由式1（ 1-1）定义的函数 F是边缘分布F(), .的联合分布函数。
FN()
通过CopulA函数C的密度函数c和1边缘分,布 F1, F
(), N() .，可以方便地求出 N元分布函数 (, , x,., x) 的密度函数
Fx1. nN N
f(x,, x,, x) . cFx ,Fx ),, ()). ()
( (), . ( .Fx fx （1-2）
1 nN 11 nnNN nn
n.1
. (, ,u,.,(, ,u,.,u) .
其中， cu1 . n NCu1 . n uN) ；fn().是边缘分布 Fn().的密度
.u .u .u
1 nN
函数。
式（1-2）中，如果变量间的关系是独立不相关的，则 CopulA函数也是独立的，联合密度函数就是各边际密度函数的连乘积。如果变量间的关系是非独立不相关的，则这里的 CopulA函数表示的就是变量间的相关结构。
由此可见，CopulA函数为求取联合分布函数提供了一条便捷的通道，通过分布函数的逆函数和联合分布函数，可以推导出 CopulA函数，而通过 CopulA函数，能将边际分布和变量间的相关结构分开研究，减小多变量概率模型的分析难度，同时使分析过程更清晰。
1.1.2 CopulA函数的性质
CopulA函数具有优良的性质，它可以构造灵活的多元分布，由 CopulA函数导出的一致性和相关性测度对于严格单调递增变换都不改变，在运用 CopulA理论构建金融模型时可以将随机变量的边际分布和它们之间的相关结构分开来研究等。
根据 CopulA函数的定义，可以得到二元 CopulA函数的一些基本性质。
（1）对于变量 u和v，Cuv. 都是递增的，即若保持一个边缘分布不变，联
. ,
合分布将随着另一个边缘分布的增大而增大。
（2）C.0,v0 ，C.1,v. ， . ,1 u，即只要有一个边缘分布
. Cu ,0 . vCu 的发生概率为 0，相应的联合分布的发生概率就为 0；若有一个边缘分布的发生概率为 1，则联合分布由另一个边缘分布给出。
（3） ,,, .[0,1] ，如果u. , .v，那么
.uuvvuv
1212 1 212
(,) . ( ,) . Cu v (, ) . Cu v ≥0
Cuv Cuv (,)
22 2112 11
即若边缘分布 u、v的值同时增大，则相应的联合分布的值也增大。
（4）对任意的 ,, , [0,1] ，有
uu vv.
1 212
|(,) .Cuv ( , )|| uu| .|
Cu v v.v|
2 11 21 21
（5）若uv独立，则 ,.uv。
Cuv
、2
其中，性质（ 1）～（ 3）可以扩展到三维甚至更高维的情况，但性质（ 4）、
（5）只在二维情况下才成立。
N元 CopulA函数C,,.,（简记为 C）的一些基本性质如下。
,, un
（1）对于任意变量 un0,1 .n.1,2, ., N.，Cuu 2., .都是非减的；n Cuu n n ,1 ；
1
（2）Cu. n . 1,,2,0, uN .0 ，Cun .C1,.,1, u,1, un
（3）对任意的变量 uvn, n0,1 ,n.1,2, ., N，均有
.,
.,,.,u 1, 2,.,
Cuu Cvv vn. u.
≤.N
12 n
n vn
n.1
（4）C.CC
；
（5）若变量 un0,1 n.1,2, ., N.相互独立，且用 C.表示独立变量的 CopulA
函数，则CCuu .1,,.,uNNu。
2 n
n.1
1.2 基于 CopulA的相关性测度
对随机变量 x , 作严格的单调变换，
Nelson[1]指出：(,x,, x) 相应的 CopulA
1nN
函数不变，这是 CopulA研究和度量随机变量相依性结构特有的优势，比线性相关更规范，适用的范围更广。以下我们仅介绍两种经常用到的一致性和相关性测度指标。
1.2.1 KendAll秩相关系数.
在金融风险管理中，通常会考虑资产价格的运动方向。如果运动方向一致，风险分散很难实现。要想分散风险，应该是一种资产价格下降时，另一种资产价格上升。设(,xy)( , ) 是独立同分布的向量， .x， yy.y，令
、xy,
122 212
.1.Px.(1 .x2)( y1 .y2) 0.Px .(1 .x2)(xx,1y1 .y2) .0. （1-3）
于是.就度量了 x与 y变化的一致性程度。可以证明 2(.1 . y1 .y) .1 （1-4）
Px x2)( 2 0 从式（ 1-4）可以看出 .在[.1，1]，设(,x1 y1) 相应的连接函数是Cuv，Schweizer
(,)和 Wolff [3]证明了.可由相应的 CopulA函数给出： 4 1100Cuv Cuv (,)d (,).1 （1-5）
很明显，对严格单调递增的函数 s与 t，有 .sx( 1) .sx( 2)ty ( 1) .ty (). 0(x1 .x2)( y1 .y2)0 （1-6）
2 .所以.的值对严格单调增的变换是不变的，这就充分说明了 .作为 x、y的相关性指标所具有的优点。此外，对于椭圆族的 CopulA函数，主要是指 GAuss CopulA和 t-CopulA（1.2.2节将作介绍），可以得到.的另一表达式如下：
2
Arcsin .
.其中，参数 r表示椭圆分布与相应的椭圆 CopulA间的相关系数。该结论也提供了相关系数r的一种估计方法，我们可以通过逆函数得到 r的无偏估计。当我们用相应的椭圆 CopulA函数描述相关关系时，如果二阶矩存在，则 r可以由 PeArson相关系数替代，如果二阶矩不存在，就必须使用 KendAll秩相关系数.（简称 KendAll.）。在这种情形下， KendAll.很有优势，因为它总是存在的，而且容易估计。尤其是针对金融中经常出现的后尾分布。
1.2.2 SpeArmAn秩相关系数r
SpeArmAn秩相关系数 r（简称 SpeArmAn r）考察的是变化的协调性，即当一种（组）金融资产发生了变化，另一种（组）资产是否也会发生变化，朝什么方向变，变化的幅度又是多大等。
设(x，y)有联合分布 H(x，y)，它们相应的边缘分布是 F(x)和 G(y)，x0 .xy,0 .y 且(, ～FxGy() () ，即x、y独立。假定 (,)(,xy) 也独立，令
x0 y0) 00 xy与 00
3[ {( .x0)( yy 0) .0} .Px .x0)( yy 0) .0}] （1-7）
Px . {( . 这里，x与x0同分布，而且独立，因此可以将 x0看做 x的一个重复观察， y与 y0的关系也是如此。而 x0与 y0是独立的，因此 (xx0)( yy 0) .0 表示(x，y)的变化与
独立的x与 y变化相一致，这个概率的大小自然也反映了一种相关性。很显然，它对严格0单调增0的变换也是不变的，因而它可以用 CopulA函数表示。当(, )
xy的 CopulA函数 C(u，v. (), .()
)给定以后，其中， uFxv Gy ，Schweizer和 Wolff [3]证明了 SpeArmAn .可由相应的 CopulA函数给出：
1211110000d,312uvCuvC uv ., .duv.3 （1-8）
1.2.3 CopulA函数的尾部相关
按照 Joe[4]、Schmidt和 StAdtmuller[5]给出的定义，随机变量之间的尾部相关是指条件概率的极限，即给定一随机变量超出指定置信水平下的特定分位数函数值，另一随机变量超出相应置信水平下特定分位数函数值的条件概率。尾部相关性可以衡量当随机变量 X大幅度增加或者大幅度减少时，随机变量 Y也发生大幅度增加或者大幅度减少的概率。
在金融风险测度中，可以利用 CopulA的尾部相关系数将尾部相关性量化，这样风险管理者可以根据尾部相关性，预测到当一个市场发生大幅下跌时另一个市场发生大幅下跌的概率。
关于 CopulA函数的尾部相关性分析我们将在 1.3节中作详细论述，这里只给出 CopulA尾部相干性的定义。对于分布函数分别为 F、G的随机变量 X、Y，若 X、Y的连接函数是 C，则 X、 Y基于该 CopulA函数的上尾相关系数 .U和下尾相关系数.L定义如下： 12 . (
1 PY .1 .| .1 1 1 C ,) （1-9）
U( ) .lim ( .G ( .)X.F ( )) .lim
C
PY .1()| 1 (,) （1-10）
L()lim ( .G . X.F ( )) .lim
0 0
其中，表示置信水平。 , .，当.0 时，称 X、Y上（下）尾渐
0,1 ()
UL UL
近相关；当() .0 时，称 X、Y上（下）尾渐近独立。
UL
1.3 常用的 CopulA函数与相关性分析
金融相关性分析中常用的 CopulA主要有两大类：椭球 CopulA类和阿基米德 CopulA类。椭球 CopulA类可以由椭球分布得到，很容易从二元情形推广到多元情形。二元阿基米德 CopulA类包含许多参数族，各个阿基米德 CopulA族可以由相应的生成元函数得到，并且当生成函数满足一定条件时，可以得到多元阿基米德 CopulA。
1.3.1 CopulA函数的分类
1）N元 GAuss CopulA函数
根据文献[6]，可将 N元 GuAss CopulA分布函数和概率密度函数分别表示为 . 1111212,,,;,,,Nuuu .u （1-11）
Cuu N
Cuu
exp （1-12）
112121,,,;Nu
. 2 . 其中，.是对角线元素为 1的对称的正定矩阵，而
.则是与矩阵.对应的行列式值； ,, , .1 则是标
是相关系数矩阵为.的标准 N元 GAuss分布函数，
准 N元 GuAss分布函数的逆函数；,,,，，n.1, 2,., N； .是单位矩阵。
12N1nnu
2）N元 t-CopulA函数
根据文献[6]，可将 N元 t-CopulA分布函数和概率密度函数分别表示为 u.
Cuu .
11112,12,,,;,,,,NvvvvuvTTuTuTN
vN. 1
.1 .1
Tv 1. 2 1 12vvNuTuTuN vv 22.1. v x 212ddxxdvNNx1.x（1-13）
2
vN
.
N.1 .vN v 2
1 .1 .
. 1
1
. v .
cuu. 2 ., N ,v
1,, u;.
22 . v .1. 2 N . N .2 v 2 .1 （1-14）
n
1
2 n.1 . v. 其中，.是对角线元素为1的对称的正定矩阵，
.则是与矩阵.对应的行列式值； .,v, .是相关系数矩阵为.、自由度为v的标准N元t分布函数，T1v则是
T,,
自由度为v的一元t分布函数Tv的逆函数；xx1,,x2., xN；1,,.2.,.N ， nn1 ， ., N。
un.1,2,
3）阿基米德 CopulA函数
根据文献[7]，阿基米德 CopulA分布函数的具体表达式为 Cuu11212,,,NuuuuN （1-15）
.N 0 ，.1. 对于任意的0≤≤，
其中，是生成元，它满足 un ≤ 且0 ，t 1
n.1
都有t.0,
t.0 ，也就是说，是一个凸函数，并且是减函数。1 是 的逆，且在[0,.) 区间上是单调的。
此外，对无参数的生成元.0进行组合，还可以构造出双参数二元阿基米德 CopulA函数。一个常用的双参数二元阿基米德 CopulA函数生成元.2;,.的组合式为[8]
2 .;, .t （1-16）
t . 0
其中，0, .≥1;.0.t.二阶可微且t.0t.在.0,1.区间非减。1 uv
.tt , uvuv 的生成元，（1-16）例如， 0 1 为 CopulA函数Cu. v 运用式，
.
可以得到.t;,t1 ，其中，0,.≥1 ，根据式（1-15）给出的阿基
2
米德 CopulA函数的表达式，通过生成元.2 .t和其逆函数. t;, .;, . 12，可以
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